高中数学教学论文 含参不等式恒成立问题的求解策略

含参不等式恒成立问题的求解策略
“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来,其以覆 盖知识点多,综合性强,解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面,在解决 这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思 想对锻炼学生的综合解题能力,培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合 实例谈谈这类问题的一般求解策略。 一、判别式法
若所求问题可转化为二次不等式,则可考虑应用判别式法解题。一般地,对于二次函数
f (x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0, x ? R) ,有

1)

f

(x)

?

0对

x

? R 恒成立 ?

?a ???

? ?

0
;
0

2)

f

(x)

?

0对

x

? R 恒成立 ?

?a ???

? ?

0 . 0

例 1.已知函数 y ? lg[ x 2 ? (a ?1)x ? a 2 ] 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围。

解 : 由 题 设 可 将 问 题 转 化 为 不 等 式 x 2 ? (a ?1)x ? a 2 ? 0 对 x ? R 恒 成 立 , 即 有
? ? (a ?1)2 ? 4a 2 ? 0 解得 a ? ?1或a ? 1 。 3
所以实数 a 的取值范围为 (??,?1) ? (1 ,??) 。 3
若二次不等式中 x 的取值范围有限制,则可利用根的分布解决问题。
例 2.设 f (x) ? x2 ? 2mx ? 2 ,当 x ?[?1,??) 时, f (x) ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围。

解:设 F (x) ? x2 ? 2mx ? 2 ? m ,则当 x ?[?1,??) 时, F(x) ? 0 恒成立

当 ? ? 4(m ?1)(m ? 2) ? 0即? 2 ? m ? 1时, F(x) ? 0 显然成立;
y

当 ? ? 0 时,如图, F(x) ? 0 恒成立的充要条件为:

x

?

?? ? 0

??F (?1) ? 0 解得 ? 3 ? m ? ?2。

? ??

?

2m

?

?1

?2

综上可得实数 m 的取值范围为[?3,1) 。

-1 O x

二、最值法 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法,其一般类型有:
1) f (x) ? a 恒成立 ? a ? f (x)min
2) f (x) ? a 恒成立 ? a ? f (x)max
例 3.已知 f (x) ? 7x2 ? 28 x ? a, g(x) ? 2x3 ? 4x2 ? 40 x ,当 x ?[?3,3] 时, f (x) ? g(x) 恒成立,求实数 a 的取值范围。 解:设 F (x) ? f (x) ? g(x) ? ?2x3 ? 3x2 ? 12 x ? c ,
则由题可知 F(x) ? 0 对任意 x ?[?3,3] 恒成立
令 F ' (x) ? ?6x2 ? 6x ? 12 ? 0 ,得 x ? ?1或x ? 2
而 F(?1) ? ?7a, F(2) ? 20 ? a, F(?3) ? 45 ? a, F(3) ? 9 ? a,
∴ F (x)max ? 45 ? a ? 0
∴ a ? 45即实数 a 的取值范围为[45,??) 。
例 4.函数 f (x) ? x2 ? 2x ? a , x ?[1,??) ,若对任意 x ?[1,??) , f (x) ? 0 恒成立,求实数 x
a 的取值范围。 解:若对任意 x ?[1,??) , f (x) ? 0 恒成立,
即对 x ?[1,??) , f (x) ? x2 ? 2x ? a ? 0 恒成立, x
考虑到不等式的分母 x ?[1,??) ,只需 x2 ? 2x ? a ? 0 在 x ?[1,??) 时恒成立而得
而抛物线 g(x) ? x2 ? 2x ? a 在 x ?[1,??) 的最小值 gmin (x) ? g(1) ? 3 ? a ? 0 得 a ? ?3 注:本题还可将 f (x) 变形为 f (x) ? x ? a ? 2 ,讨论其单调性从而求出 f (x) 最小值。
x
三、分离变量法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问题转化为求主元
函数的最值,进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值,但它思路更清晰,操作性更强。 一般地有:
1) f (x) ? g(a)(a为参数)恒成立 ? g(a) ? f (x)max

2) f (x) ? g(a)(a为参数)恒成立 ? g(a) ? f (x)max
实际上,上题就可利用此法解决。
略解: x2 ? 2x ? a ? 0 在 x ?[1,??) 时恒成立,只要 a ? ?x2 ? 2x 在 x ?[1,??) 时恒成

立。而易求得二次函数 h(x) ? ?x2 ? 2x 在[1,??) 上的最大值为 ? 3 ,所以 a ? ?3 。

例 5.已知函数 f (x) ? ax ? 4x ? x2 , x ? (0,4] 时 f (x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。

解: 将问题转化为 a ? 4x ? x 2 对 x ? (0,4] 恒成立。 x

令 g(x) ?

4x ? x2 x

,则 a ?

g ( x) m in

由 g(x) ?

4x ? x2 ? x

4 x

?1 可知

g(x)

在 (0,4] 上为减函数,故

g ( x) m in

?

g(4)

?

0

∴ a ? 0即 a 的取值范围为 (??,0) 。
注:分离参数后,方向明确,思路清晰能使问题顺利得到解决。 四、变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时,若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位” 思考,往往会使问题降次、简化。
例 6.对任意 a ?[?1,1] ,不等式 x2 ? (a ? 4)x ? 4 ? 2a ? 0 恒成立,求 x 的取值范围。
分析:题中的不等式是关于 x 的一元二次不等式,但若把 a 看成主元,则问题可转化为一 次不等式 (x ? 2)a ? x2 ? 4x ? 4 ? 0 在 a ?[?1,1] 上恒成立的问题。

解:令 f (a) ? (x ? 2)a ? x2 ? 4x ? 4 ,则原问题转化为 f (a) ? 0 恒成立( a ?[?1,1] )。

当 x ? 2 时,可得 f (a) ? 0 ,不合题意。



x

?

2

时,应有

? ? ?

f f

(1) ? (?1)

0 ?

0

解之得

x

?

1或x

?

3。

故 x 的取值范围为 (??,1) ? (3,??) 。

注:一般地,一次函数 f (x) ? kx ? b(k ? 0) 在[?, ? ]上恒有 f (x) ? 0 的充要条件为

? ? ?

f f

(? (?

) )

? ?

0 0



四、数形结合法 数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微”,这充分说明了数形结合思想 的妙处,在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道,函数图象和不等式有着密切 的联系:

1) f (x) ? g(x) ? 函数 f (x) 图象恒在函数 g(x) 图象上方;

2) f (x) ? g(x) ? 函数 f (x) 图象恒在函数 g(x) 图象下上方。

例 7.设 f (x) ? ? x2 ? 4x , g(x) ? 4 x ?1 ? a ,若恒有 f (x) ? g(x) 成立,求实数 a 3

的取值范围.

y

分析:在同一直角坐标系中作出 f (x) 及 g(x) 的图象

如图所示, f (x) 的图象是半圆 (x ? 2)2 ? y 2 ? 4( y ? 0)

g(x) 的图象是平行的直线系 4x ? 3y ? 3 ? 3a ? 0 。

-4-4

要使 f (x) ? g(x) 恒成立,

-2

O

x

则圆心 (?2,0) 到直线 4x ? 3y ? 3 ? 3a ? 0 的距离

? 8 ? 3 ? 3a

满足 d ?

?2

5

解得 a ? ?5或a ? 5 (舍去) 3
由上可见,含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多,方法也多种多样,但其核心思想还
是等价转化,抓住了这点,才能以“不变应万变”,当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。


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