2015届高三数学理第一轮总复习周周练素材八

2015 届高三数学(理)第一轮总复习周周练素材: (八) 班级:__________ 姓名:__________ 学号:__________

一、选择题 1+2i 1.若复数 z 满足 =i(i 为虚数单位),则 z 的虚部为( z A.2i B.2 C.1 D.-1 )

→ → → 2.已知 O,A,B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C,满足 2AC+CB=0,则OC =( ) → → → → A.2OA-OB B.-OA+2OB 2→ 1→ 1→ 2→ C. OA- OB D.- OA+ OB 3 3 3 3 3.已知向量 a=(1,-cos θ),b=(1,2cos θ)且 a⊥b,则 cos 2θ 等于( ) A.-1 B.0 1 2 C. D. 2 2 4.已知平面向量 a,b 的夹角为 60° ,a=( 3,1),|b|=1,则|a+2b|=( ) A.2 B. 7 C.2 3 D.2 7 π 5.向量 a=(2,0),b=(x,y),若 b 与 b-a 的夹角等于 ,则|b|的最大值为( ) 6 A.4 B.2 3 4 3 C.2 D. 二、填空题 3 a+3i 6.若复数 (a∈R,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为______. 1-2i 7.已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|= 2,(a-b)⊥a,向量 a 与 b 的夹角为________. 8.已知向量 a=(-1,1),b=(3,m),a∥(a+b),则 m=________. → → → 9.设 G 为△ABC 的重心, 且 sin AGA+sin BGB+sin CGC=0, 则 B 的大小为 . → 10.在△ABC 中,E,F 分别为 AB,AC 的中点.P 为 EF 上任一点,实数 x,y 满足PA+ S1 → → xPB+yPC=0.设△ABC,△PBC,△PCA,△PAB 的面积分别为 S,S1,S2,S3,记 =λ1, S S2 S3 =λ2, =λ3,则 λ2· λ3 取最大值时,2x+y 的值等于________. S S 三、解答题 11.已知 a=(sin θ,cos θ),b=( 3,1). (1)若 a∥b,求 tan θ 的值; (2)若 f(θ)=|a+b|,△ABC 的内角 A,B,C 对应的边分别为 a,b,c,且 a=f(0),b=f(- π π → → ),c=f( ),求AB· AC. 6 3 12.已知 m=(2cos x+2 3sin x,1),n=(cos x,-y),满足 m· n=0. (1)将 y 表示为 x 的函数 f(x),并求 f(x)的最小正周期; A (2)已知 a,b,c 分别为△ABC 的三个内角 A,B,C 对应的边长,若 f( )=3,且 a=2, 2 求 b+c 的取值范围.

参考答案 1+2i ?1+2i?×?-i? z= = =2-i. i i×?-i? → → 2.A 由 2AC+CB=0 知点 A 是线段 CB 的中点, → → → → → → 所以 2OA=OC+OB,故OC=2OA-OB. 3.B a⊥b?1-2cos2θ=0?cos 2θ=0. 1 4.C |a+2b|2=a2+4a· b+4b2=4+4×2×1× +4=12,所以|a+2b|=2 3. 2 → → 5.A 设OA=a=(2,0),OB=b=(x,y), → 则 b-a=|AB|, π π 因为 b 与 b-a 的夹角等于 ,即∠OBA= , 6 6 1.D

→ 由|OA|=|a|=2, → |OB|=|b|, 根据正弦定理 |a| |b| = 得: π sin∠OAB sin 6 |b|=4sin∠OAB≤4, π 当∠OAB= 时,|b|取到最大值 4. 2 a+3i ?a+3i??1+2i? ?a-6?+?2a+3?i a+3i 6.6 = = ,因为复数 (a∈R,i 为虚数单位) 5 1-2i ?1-2i??1+2i? 1-2i 是纯虚数,所以 a-6=0 且 2a+3≠0,解得 a=6. π 7. 由(a-b)⊥a 知,(a-b)· a=a2-a· b=1-a· b=0,所以 a· b=1, 4 a· b 1 2 设向量 a 与 b 的夹角为 θ,则 cos θ= = = , |a||b| 2 2 π 所以 θ= . 4 8.-3 由 a=(-1,1),b=(3,m),知 a+b=(2,m+1), 因为 a∥(a+b),所以-(m+1)=2,解得 m=-3. 9.60° 因为 G 为△ABC 的重心, → → → GA+GB+GC=0, → → → 所以GB=-(GA+GC), → → → 又 sin AGA+sin BGB+sin CGC=0, → → 所以(sin A-sin B)GA+(sin C-sin B)GC=0. → → 又GA与GC不共线, 所以 sin A-sin B=sin C-sin B=0, 所以 sin A=sin B=sin C,所以 A=B=C=60° . 3 S1 1 1 10. 由题意知 =λ1= ,即 S1= S, 2 S 2 2 1 所以 S2+S3=1-S1= S, 2 S2+S3 1 1 两边同除以 S,得 = ,即 λ2+λ3= , S 2 2 1 所以 =λ2+λ3≥2 λ2λ3, 2 1 1 所以 λ2· λ3≤ ,当且仅当 λ2=λ3= ,此时点 P 位于 EF 的中点,延长 AP 交 BC 于 D, 16 4 则 D 为 BC 的中点, → → → → → → → 由PA+xPB+yPC=0,得 xPB+yPC=-PA=AP, → → 1 → → 1→ 1 → AP=PD= (PB+PC)= PB+ PC, 2 2 2 1 1 3 所以 x= ,y= ,所以 2x+y= . 2 2 2 11.解析:(1)因为 a∥b,所以 sin θ- 3cos θ=0, 所以 sin θ= 3cos θ,故 tan θ= 3. (2)因为 a+b=(sin θ+ 3,cos θ+1), 所以 f(θ)=|a+b|= ?sin θ+ 3?2+?cos θ+1?2

= 5+2 3sin θ+2cos θ π = 5+4sin?θ+ ?. 6 所以 a=f(0)= π 5+4sin = 7; 6

π 所以 b=f(- )= 5+4sin 0= 5; 6 π π 所以 c=f( )= 5+4sin =3. 3 2 b2+c2-a2 7 5 由余弦定理可知,cos A= = . 2bc 30 7 → → → → 故AB· AC=|AB||AC|cos A=bccos A= . 2 12.解析:(1)由 m· n=0,得 2 2cos x+2 3sin xcos x-y=0, 即 y=2cos2x+2 3sin xcos x =cos 2x+ 3sin 2x+1 π =2sin(2x+ )+1, 6 π 所以 f(x)=2sin(2x+ )+1,其最小正周期为 π. 6 A π π (2)因为 f( )=3,则 A+ =2kπ+ ,k∈Z, 2 6 2 π 因为 A 为三角形内角,所以 A= . 3 4 4 由正弦定理得 b= 3sin B,c= 3sin C, 3 3 4 3 4 3 4 3 4 3 2π π b+c= sin B+ sin C= sin B+ sin( -B)=4sin(B+ ), 3 3 3 3 3 6 2π π 1 因为 B∈(0, ),所以 sin(B+ )∈( ,1], 3 6 2 所以 b+c∈(2,4], 所以 b+c 的取值范围为(2,4].


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