2017_2018版高中数学第一章常用逻辑用语3.3全称命题与特称命题的否定学案(含答案)北师大版选修2_1

3.3 学习目标 全称命题与特称命题的否定 1.理解全称命题与特称命题的否定的意义 .2.会对全称命题与特称命题进行否 定.3.掌握全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题. 知识点一 全称命题的否定 思考 尝试写出下面全称命题的否定,并归纳写全称命题否定的方法. (1)所有矩形都是平行四边形; (2)每一个素数都是奇数; (3)任意 x∈R,x -2x+1≥0. 2 梳理 写全称命题的否定的方法:(1)更换量词,将全称量词换为存在量词;(2)将结论否定. 全称命题的否定是______命题. 知识点二 特称命题的否定 思考 尝试写出下面特称命题的否定,并归纳写特称命题否定的方法. (1)有些实数的绝对值是正数; (2)某些平行四边形是菱形; (3)存在 x∈R,x +1<0. 2 梳理 写特称命题的否定的方法:(1)将存在量词改写为全称量词;(2)将结论否定. 特称命题的否定是______命题. 类型一 全称命题的否定 例 1 写出下列全称命题的否定: (1)任何一个平行四边形的对边都平行; (2)数列:1,2,3,4,5 中的每一项都是偶数; (3)任意 a,b∈R,方程 ax=b 都有唯一解; (4)可以被 5 整除的整数,末位是 0. 反思与感悟 全称命题的否定是特称命题,对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否 定. 跟踪训练 1 写出下列全称命题的否定: (1)p:每一个四边形的四个顶点共圆; (2)p:所有自然数的平方都是正数; (3)p:任何实数 x 都是方程 5x-12=0 的根; (4)p:对任意实数 x,x +1≥0. 2 类型二 特称命题的否定 例 2 写出下列特称命题的否定,并判断其否定的真假. (1)p:存在 x>1,使 x -2x-3=0; (2)p:有些素数是奇数; (3)p:有些平行四边形不是矩形. 2 反思与感悟 特称命题的否定是全称命题, 写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词. 跟踪训练 2 写出下列特称命题的否定,并判断其否定的真假. (1)有些实数的绝对值是正数; (2)某些平行四边形是菱形; (3)存在 x,y∈Z,使得 2x+y=3. 类型三 特称命题、全称命题的综合应用 例 3 已知函数 f(x)=x -2x+5. (1)是否存在实数 m,使不等式 m+f(x)>0 对于任意 x∈R 恒成立,并说明理由; (2)若存在一个实数 x,使不等式 m-f(x)>0 成立,求实数 m 的取值范围. 2 反思与感悟 对于涉及是否存在的问题,通常总是假设存在,然后推出矛盾,或找出存在符 合条件的元素.一般地,对任意的实数 x,a>f(x)恒成立,只要 a>f(x)max;若存在一个实数 x, 使 a>f(x)成立,只需 a>f(x)min. 跟踪训练 3 已知 f(x)=3ax +6x-1(a∈R). (1)当 a=-3 时,求证:对任意 x∈R,都有 f(x)≤0; (2)如果对任意 x∈R,不等式 f(x)≤4x 恒成立,求实数 a 的取值范围. 2 1.已知 a>0 且 a≠1,命题“存在 x>1,logax>0”的否定是( A.存在 x≤1,logax>0 C.任意 x≤1,logax>0 B.存在 x>1,logax≤0 D.任意 x>1,logax≤0 ) 2.设 x∈Z,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集.若命题 p:任意 x∈A,2x∈B,则命题 p 的否 定是( ) B.任意 x?A,2x?B D.存在 x∈A,2x?B A.任意 x∈A,2x?B C.存在 x?A,2x∈B 1 3.命题“对任意一个实数 x,都有 >0”的否定是____________________. 2x+4 4.由命题“存在 x∈R,x +2x+m≤0”是假命题,得实数 m 的取值范围是(a,+∞),则实 数 a=________. 5.已知函数 f(x)=x -mx+1, 命题 p: “对任意 x∈R, 都有 f(x)>0”, 命题 q: “存在 x∈R, 2 2 使 x +m <9”.若命题 p 的否定与 q 均为真命题,求实数 m 的取值范围. 2 2 1.对含有全称量词的命题进行否定需两步操作:第一步,将全称量词改写成存在量词,即将 “任意”改为“存在”;第二步,将结论加以否定,如:将“≥”否定为“<”. 2.对含有存在量词的命题进行否定需两步操作:第一步,将存在量词改写成全称量词;第二 步,将结论加以否定.含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题.注意命题中可能省 略了全称或存在意义的量词,要注意判断. 3.全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,因此在书写时,要注意量词以 及形式的变化,熟练掌握下列常见词语的否定形式: 原词语 是 都是 大于 小于 任意的 所有的 否定词语 不是 不都是 不大于 不小于 某个 某些 原词语 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个 能 等于 否定词语 一个也没有 至少有两个 至多有(n-1)个 至少有(n+1)个 不能 不等于 提醒:完成作业 第一章 §3 3.3 答案精析 问题导学 知识点一 思考 (1)将量词“所有”换为:“存在一个”然后将结论否定,即“不是平行四边形”,所 以原命题的否定为“存在一个矩形不是平行四边形”;用同样的方法可得(2)(3)的否定: (2)存在一个素数不是奇数; (3)存在 x∈R,x -2x+1<0. 梳理 (2)特称 知识点二 思考 (1)先将存在量词“有些”改写为全称量词“所有”, 然后将结论“实数的绝对值是正 数”否定,即“实数的绝对值不是正数,于是得原命题的否定为“所有实数的绝对值都不是 正数”;同理可得(2)(3)的否定: (2)所有平行四边形都不是菱形; (3)任意 x∈R,x +1≥0. 梳理 (2)全称 题型探究 例 1 解 (1)其否定:存在一个平行四边形,它的对边不都平行. (2

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