2010届高三数学复习专题讲座

2010 届高三数学复习专题讲座

数列复习建议
江苏省睢宁高级中学北校 袁 保金
数列是高中数学的重点内容之一, 初等数学与高等数学的重要 是 衔接点,由于它既具有函数特征,又能构成独特的递推关系,使得它 既与高中数学其他部分的知识有着密切的联系,又有自己鲜明的特 点.而且具有内容的丰富性、应用的广泛性和思想方法的多样性,所 以数列一直是高考考查的重点和热点. 观江苏省近几年高考数学试 纵 卷,数列都占有相当重要的地位,一般情况下都是以一道填空题和一 道解答题形式出现,填空题主要考查等差、等比数列的概念、性质、 通项公式、前 n 项和公式等内容,对基本的计算技能要求比较高,具 有“小、巧、活、新”的特点,解答题属于中高档难度的题目,甚至是 压轴题.具有综合性强、变化多、难度较大特点,重点以等差数列和 等比数列内容为主,考查数列内在的本质的知识和推理能力,运算能 力以及分析问题和解决问题的能力. 一、考纲解读 1、考纲要求
考 试 内 容 考 A 数列的有关概念 数列 等差数列 等比数列 √ √ √ 纲 B 要 求 C

2、考纲解读(1)考纲中对数列的有关概念要求为 A 级,也就是说只 要了解数列概念的基本含义,并能解决相关的简单问题. (2)等 差数列和等比数列要求都为 C 级,2010 年数学科考试说明中共列出 八个 C 级要求的知识点,等差数列、等比数列占了其中两个,说明这 两个基本数列在高考中的地位相当重要. 体要求我们对这两个数列 具 的定义、性质、通项公式以及前 n 项和公式需要有深刻的认识,能够

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系统地掌握知识的内在联系, 能解决综合性较强的或较为困难的问 并 题.这也说明涉及等差数列和等比数列的综合题在高考中一定出现. (3)由于数列这一章含有两个 C 级要求的知识点,可以命制等差 数列、等比数列以及它们之间相互联系的综合题,也可以命制数列与 函数、方程、不等式等知识点相融合的综合题,以及数列应用问题, 着重考查思维能力、推理论证能力以及分析问题,解决实际问题的能 力.

二、考题启示
年份 2004 2005 2006 2007 2008 2009 等差数列 等比数列 选择(或填空)题 数列的概念 等比数列 等比数列

1、考题分布

?自 2004 年江苏省单独命题以来, 数列知识的考查一直是命题的重 对 点和热点,比重较大,具体统计如下:
解答题 等差数列 等差数列 等差数列 等差数列,等比数列 等差数列,等比数列 等差数列 分值 16 分 19 分 19 分 16 分 21 分 21 分

2、考题启示(1)数列在高考试卷中占的比重较大,分值约为 13%
左右,呈一大一小趋势,对等差数列和等比数列都有考查,纵观近几 年江苏省高考试题,我们会发现江苏考题与全国卷、其他省市卷数列 题有很大区别,具有十分明显的特色,对数列的考查不与其他知识综 合,同时也回避了递推数列和不等式,主要揭示等差数列和等比数列 内在的本质性的知识,形成江苏卷的一大特色.因此复习中在递推数 列方面,特别是利用递推数列求通项,要大胆取舍,不要深挖. (2) 客观题主要考查了等差、等比数列的基本概念和性质,突出了“小、 巧、活、新”的特点,属容易题或中档题.主观题年年都考,且以中 等和难度较大的综合题出现,常放在压轴题的位置.回顾江苏省单独 命题以来,对数列的考查可以称得上到了极致.如 2007 年、2008 年 在倒数第二题,2005 年、2006 年在最后一题,2009 年数列题前移到 第 17 题,以中等题形式出现,这一显著地变化似乎一种信号,具有 一定的导向作用.
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(3)数列题常考常新,每年命题很有新意,不落浴套,考生看到 这样的考题,初看亲切、熟悉,但顺利解决很须动一番脑筋,需要有 扎实的数学功底,极强的推理运算和论证能力.这类试题对概念和思 维的考查力度较大,对学生探索能力、思维能力、运算能力和推理论 证能力要求较高,具有较强的选拔功能.以数列题考查推理论证能力 成为江苏考题的又一大特点.如 2007 年(20)题: 已知 {an}是等差数列, bn}是公比为 q 的等比数列, 1=b1, 2=b2 { a a ≠a1,记 Sn 为数列{bn}的前 n 项和. (1)若 bk=am(m,k 是大于 2 的正整数) 求 证:Sk-1 =(m-1)a1; , (2)若 b3=ai(i 是某一正整数),求证:q 是整数,且数列{bn}中每一 项都是数列{an}中的项; (3)是否存在这样的正数 q,使等比数列{bn}中有三项成等差数 列?若存在,写出一个 q 的值,并加以说明;若不存在,请说明理由; ?如 2008 年高考试题(19)题: (Ⅰ)设 a1,a2,…,an 是各项均不为零的等差数列(n≥4) 且公差 d , ≠0,若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数 列: ①当 n =4 时,求 a1/d 的数值;②求 n 的所有可能值; (Ⅱ)求证:对于一个给定的正整数 n(n≥4),存在一个各项及公差 都不为零的等差数列 b1,b2,…,bn,其中任意三项(按原来顺序)都不 能组成等比数列.

如 17) {an}是公差不为零的等差数列, n 为其前 n 项和 , ( 设 S 满足 a22+a32=a42+a52,S7=7 (1)求数列{an}的通项公式及前 n 项和 Sn . (2)试求所有的正整数 m,使得 amam+1/am+2 为数列{an}中 的项. 2008 年考题是典型难题,作为压轴题,对思维能力 和推理能力要求较高.2009 年是中等题, 要考查等差数列通 主 项公式和前 n 项和公式,但在第(2)问中考查学生思维能 力和推理能力. 三、复习建议 1、夯实基础知识
(1) 数列的概念
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?了解数列的概念及其表示方法. ?掌握数列前 n 项和与第 n 项之间的关系:an=Sn-Sn-1(n≥2),给出 与数列的前 n 项和有关的问题, 们要能根据这一关系求出数列的通 我 项公式. (2)等差数列?掌握等差数列的定义,能够根据定义判定一个数列 是否为等差数列. ?掌握等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d; 广形式为 an=am+(n-m)d. 推 ?掌握等差数列的前 n 项和公式 Sn=n(a1+an)/2 =na1+n(n-1)d/2, 式 公 的推导方法为倒序相加法. ?等差数列的前 n 项和可表示为 Sn=An2+Bn 的形式,它是{an}为等 差数列的充要条件. ?掌握等差数列的一些性质: ? 在 等 差 数 列 {an} 中 , 对 于 正 整 数 m,n,p,q , 若 m+n=p+q , 则 am+an=ap+aq. 特别地,2an+1=an+an+2. ? 在 等 差 数 列 {an} 中 , 依 次 k 项 的 和 仍 成 等 差 数 列 , 即 Sk , S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列,其公差为 kd. ?若等差数列{an}的公差 d>0, {an}为递增数列; <0 ,{an}为递减数列. d (3)等比数列?掌握等比数列的定义,能够根据定义判定一个数列 是否为等比数列. ?掌握等比数列的通项公式 an=a1qn-1;推广形式为 an=amqn-m. ?掌握等比数列的前项和公式 Sn=(a1-anq)/1-q =a1(1-qn)/1-q, ≠1), (q 公式的推导方法为错位相减法. 特别地,当 q=1 时,Sn=na1. ?掌握等比数列的一些性质: ?在等比数列{an}中, 于正整数 m,n,p,q, m+n=p+q, aman=apaq. 对 若 则 特别地,an+12=anan+2. ?在等比数列{an}中,若 q ≠ -1,依次 k 项的和仍成等比数列,即 Sk, S2k-Sk,S3k-S2k,…成等比数列,其公比为 qk.2、掌握基本方法(1) 基本量法:由于等差(等比)数列是由首项与公差(比)确定的,故 称首项与公差(比)为等差(比)数列的基本量.因此,大凡涉及等
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差(等比)数列的数学问题,我们总希望通过等差(等比)数列的基 础知识并结合条件去求出首项与公差(比) 或它们间关系,从而认 、 识数列,达到解决问题的目的,这种方法就是等差(等比)数列特有 的 基本 量方 法. 简言 之, 就是 用基 本量去 统一 条件 与结 论而 达到 解 决 等差(比)数列相关问题的方法. 基本量法常涉及“知三求二”题型,所谓“知三求二”就是等差(或 等比)数列有五个参量:项数、通项、前 n 项和、首项、公差(比) , 只要已知这五个量中的任意三个, 可以利用通项公式和前 n 项和公 就 式求出其余两个.对于“知三求二”的题型训练要适度,不要人为做那 些太难、太繁题目,这样不仅增加学习负担,而且淡化数学本质. 运用基本量法必须与等差(比)数列的性质密切配合,只有这样才 能达到灵活应用的程度,才能发挥无穷的活力.两个重要数列问题都 可以运用基本量法解决, 人认为解题过程较繁, 寻找解题技巧. 有 想 我 们不能对 计算追求表面上少一步,或不容易设想的计算技巧,而冲 淡了对基本数列和基本量法的认识. (2)数列通项公式的常见求 法:观察归纳法、累加消项法、累积消项法、迭代法等已知数列的前 几项,写出它的一个通项公式时,通常用观察法,然后归纳猜想.我 们有时未必能观察出它的通项公式, 时不妨尝试观察它们任意相邻 这 两 项 间 的 相 依 关 系 , 如 对 于 数 列 :1,3,7,13,21,31,… , 若 不 能 直 接 发 现 an=n(n-1)+1,则通过观察出递推关系 an-an-1=2(n-1),再用迭加或迭代 法便可求出通项公式.总之,观察是一切能力的基础,在数列学习中 显得尤其重要珍贵. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn,求 an,用公式法,即 an=Sn-Sn-1(n ≥2) 具体解题时需看清问题的本质并注意分类讨论. 3)数列求和 , ( 的常见方法:公式法 、拆项求和法 、转化求和法、裂项求和法、错 位相减法、倒序相加法等.

如:求 a+2a2+3a3+…+nan 用错位相减法;求等差数列相 邻(或间隔)两项倒数和用裂项求和法;非等差(等比)数 列问题可以转化为等差(或)等比数列求和问题.3、把握 基本思想数列中涉及很多数学思想,在复习中需要同学们很好地把
握以下几个数学思想.
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(1)函数思想:数列作为一种特殊的函数,是反映自然规律的基 本数学模型.复习中在理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公 式,弄清等差数列与一次函数的关系,抓住等差数列的特征,掌握前 n 项和公式,弄清它与二次函数的关系.理解等比数列的概念,掌握 等比数列的通项公式,弄清等比数列与指数函数的关系. 2)方程思 ( 想:运用数列基本量法解题就需根据题设条件,结合数列通项公式和 求和公式构建方程或方程组求解, 程思想贯穿于数列学习和解题的 方 始终. (3)转化与化归思想:解决等差(比)数列问题都可以归结为 研究首项和公差(比)问题;非等差、等比数列的问题常通过构造辅 助数列转化为等差或等比数列求解;求和问题也是常见的题型,一些 非等差、等比数列求和可以转化为等差、等比数列求和问题解决;有 些数列应用题转化为等差、等比数列问题解决.通过两个基本数列的 学习,在化归与转化过程中可以认识更多的数列,是数列学习的隐性 目标. ? (4)递推思想:递推是数列的本质性的内涵,是数列的一大特 色.我们这里讲递推,并不是要深入研究递推数列,教材中没 有递推数列的概念和题型,课标和考试说明中都没有一提到递 推数列,因此递推数列已经不是高考涉及的内容,近几年江苏 高考一直回避这一问题.但是递推思想和方法在解决数列问题 中的作用是很大的,涉及数列前 n 和 Sn 与的 an 关系问题,常 采用递推思想来解决. ? 一般地涉及数列前 n 和 Sn 与的 an 关系问题,常采用递推思想 来解决. ? 如江苏 05年(23)题: 设数列{an}的前项和为 Sn,已知 a1=1,a2=6,a3=11, 且(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B,其中 A,B 为常数. (Ⅰ)求 A 与 B 的值; (Ⅱ)证明:数列{an}为等差数列; 解决此题需要进行两次递推解决. 再 如 : 已 知 数 列 {an} 满 足 2Sn=3(an-1), 证 明 : 数 列 {an} 为 等 比 数
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列.利用递推思想解决. (5) 类讨论思想: 列中渗透分类讨论的思想. 由 Sn 求 an, 分 数 如 要对 n=1 和 n≠1 讨论;在运用等比数列求和公式时,若公比 q 没有 明确给出,需要分q=1和q≠1讨论;在数列求和中有时需要进行 奇偶分析讨论; 些数列的通项公式是分段表示, 题过程需要讨论; 有 解 在数列解题中有时根据过程需要进行讨论. (6)特殊化思想:有些数列问题,在一般情况下解决思维受阻 或者解决比较困难繁杂,这时我们可以把问题退到特殊情形,研究在 特殊情况下的问题,从中寻找规律,或探求问题成立的条件,然后再 将结果代到一般问题中去检验或验证, 可以借鉴研究特殊情形的方 也 法去研究一般性问题.这种“从一般到特殊再到一般”的方法,在研究 数列问题中很有效果.4、关注重点题型作为高考复习,适当强化 题型训练是很有必要的. (1)“知三求二”题 “知三求二”是等差数列和等比数列的重要题型,通常涉及等差数 列 或等比数列) 通项公式, n 项和公式, 用基本量法解决. ( 的 前 运 要 注意这两个重要数列之间的相互渗透、 合构成综合题. 子数列型、 融 如 并列型、类比型、生成型、融合型.这类题型是数列复习的重点. (2)推理论证题 通过数列题考查思维能力,考查推理能力,是江苏高考题的一大 特点,近几年江苏高考数列题都涉及这一问题.如 2007 年(19)题, 2008 年(19)题,即使 2009 年数列题难度有所降低,但是(14)题 需要分析判断哪些项可以为等比数列中的项; 17)题第(2)小问也 ( 考查了思维和推理能力. 3)数列应用题 ( 数列应用题大致有三类:一是有关等差数列的应用题;二是有关 等比数列的应用题;三是有关递推数列中可转化为等差、等比数列的 问题.通常涉及增长率、银行信贷利率、浓度匹配、养老保险、圆钢 对垒等问题.解决数列应用题需要认真理解题意,弄清各项之间的关 系,确定模型的类型,明确是求 an 还是求 Sn?项数 n 是多少?数列 应用题尽管在历年高考中考查较少, 由于数列在实际生活中有广泛 但 应用,因此需要引起对这类题型的重视.
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(4)情境创新题 研究全国或其它省市高考试题,可以发现数列试题丰富多彩,有 时通过数阵形式给出,如三角数阵、正方形数阵等,2008 年江苏卷第 (10)题就是三角形数阵.有些数列问题是在几何背景给出的;有些 是引入新概念定义新数列给出的,如周期数列、等和(积)数列、对 称数列、 差比数列等. 决这类问题只要认真理解题意, 息迁移, 等 解 信 根据题设条件解决就可以了. 之, 数学复习的过程中, 究考纲, 总 在 研 研究考题,注重双基,强化能力,重视通性通法的复习与训练是数列 复习的重点.要突出两条主线:一条是基础知识主线,一条是思想方 法主线.要以等差数列、等比数列两个主干知识为载体,以通项公式 和求和公式为主渠道, 好数列中基本量的关系, 活运用等差 比) 用 灵 ( 数列的性质,将最基本的解题方法训练好,注重在两个重要数列内在 的知识体系中挖潜,还数列的本来面目.重视数列与函数的联系,以 及方程思想在数列中的应用,通过分析典型例题和习题,加强数列与 其他知识点结合的综合性问题、探索性问题、应用性问题的训练,提 高运算能力、思辨能力、转化能力、探究能力以及分析问题与解决问 题的能力.

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