江苏省徐州市第二高级中学高二数学模拟试卷(理) 苏教版

徐州市第二高级中学高二模拟试卷(理)
数 学 试 题
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1.已知复数 (a 2 ? 2a ? 3) ? (a 2 ? a ? 6)i 表示纯虚数,则实数 a 的值等于 2. ( x ? .

1 10 2 项. ) 的展开式中含 x 的项是第 3x 3.三段论: “①船准时启航就能准时到达目的港,②这艘船准时到达了目的港,③这艘船是 准时启航的”中, “小前提”是 .(填序号)
6 4 4 . 已 知 Cn ? Cn , 设 (3x ? 5)n ? a0 ? a1 ( x ?1) ? a2 ( x ?1)2 ? ?? an ( x ?1)n , 则

a1 ? a2 ? ?? an ?

. .

? x ? t2 5.参数方程 ? (t ? R) 化为普通方程为 2 ? y ? 2t ? 1
6.复数

2 ? 2ai 的模为 2 ,则实数 a 的值为 a ? 2i

王新敞
奎屯

新疆

7. 用数学归纳法证明某命题时, 若命题的左边是 1+ 时,左边应是 n ? k 的左边加上

1 1 1 + +? + ? n ? N * ? , 则当 n ? k ? 1 2 3 2n


8. A、B 两篮球队进行比赛,规定若一队胜 4 场则此队获胜且比赛结束(七局四胜制) ,A、

1 , ? 为比赛需要的场数,则 E? ? . 2 3 9.某射手进行射击训练,假设每次射击击中目标的概率为 ,且各次射击的结果互不影响, 5
B 两队在每场比赛中获胜的概率均为 则射手在 3 次射击中,至少有两次连续击中目标的概率是 (结果用分数表示) .

2 10.在极坐标系中, l 是过曲线 ? ? 的左焦点且倾斜角为 60? 的直线,则 l 截该 1 1 ? cos ? 3
曲线所得的弦长为 .. 11.观察下列算式,猜测由此表提供的一般法则,用适当的数学式子表示它。 1=1 3+5=8 7+9+11=27 13+15+17+19=64 21+23+25+27+29=125 ?? 则这个式子为 12.若 n 为正偶数,则 7 ? Cn ? 7
n 1 n?1


2 n ? Cn ? 7n?2 ? ?? Cn ?1 ? 7 被 9 除所得余数是



13.在公差为 d(d≠0)的等差数列 {an } 中,若 S n 是数列 {an } 的前 n 项的和,则数列

S 20 ? S10 , S 30 ? S 20 , S 40 ? S 30 也成等差数列,且公差为 100d.类比上述结论,在公比为
q(q≠1)的等比数列 {bn } 中,若 Tn 是数列 {bn } 的前 n 项之积,则有
王新敞
奎屯 新疆

14.设三位数 n ? abc ( ? 100a ? 10b ? c ,其中 a, b, c ?{1, 2,3, ???,9} ) ,若以 a 、 b 、 c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数 n 有 个.

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15.(本题满分 14 分)在二项式 ( ? 2 x) n 的展开式中, (Ⅰ)若第 5 项,第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大 的项; (Ⅱ)若前三项的二项式系数和等于 79,求展开式中系数最大的项.

1 2

16. (本题满分 14 分) (1)以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴.已知点 P 的直角坐标为 p p (1,-5),点 M 的极坐标为(4, ).若直线 l 过点 P,且倾斜角为 ,圆 C 以 M 为 2 3 圆心、4 为半径. (I)求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; 分) (5 (II)试判定直线 l 和圆 C 的位置关系.(4 分) (2). 求经过极点 O (0, 0), A(6,

?
2

), B(6 2,

9? ) 三点的圆的极坐标方程.(5 分) 4

17. (本题满分 15分) 设 z 是虚数,ω ? z ?

1 是实数,且-1<ω <2. z

(1)求 |z| 的值及 z 的实部的取值范围; (5分) (2)设 u ?

1? z ,求证:u 为纯虚数; (5分) 1? z
2

(3)求ω ? u 的最小值. (5分)

18. (本题满分 16 分) 设有编号为 1,2,3,4,5 的五个球和编号为 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将这五个 球放入 5 个盒子内. (1)只有一个盒子空着,共有多少种投放方法? (2)没有一个盒子空着,但球的编号与盒子编号不全相同,有多少种投放方法? (3)每个盒子内投放一球, 并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的, 有多少种投 放方法?

19. (本题满分 15 分)数列 ?an ? 满足: a1 =1, a2 ? 2, a3 ? 3 , an?2 ? an?1 ? 2an ? t (

n? N?)

(1)求实数 t 的值(2 分) (2)求 a3 ? a 4 的值,根据 a1 ? a 2 , a 2 ? a3 , a3 ? a 4 的值,猜想 an ? an?1 与 n 的关系式, 并证明你的猜想.(13 分)

20. (本小题满分 16分) 因冰雪灾害,某柑桔基地果林严重受损,为此有关专家提出两种拯救果树的方案,每种 方案都需分两年实施.若实施方案一,预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的 1.0 倍、0.9 倍、0.8 倍的概率分别是 0.3、0.3、0.4;第二年可以使柑桔产量为第一年产 量的 1.25 倍、1.0 倍的概率分别是 0.5、0.5.若实施方案二,预计第一年可以使柑桔 产量达到灾前的 1.2 倍、1.0 倍、0.8 倍的概率分别是 0.2、0.3、0.5;第二年可以使 柑桔产量为第一年产量的 1.2 倍、1.0 倍的概率分别是 0.4、0.6.实施每种方案第一年 与第二年相互独立,令 ?i ? i ? 1, 2? 表示方案 i 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍 数. (1)写出ξ 1、ξ 2 的分布列; (2)实施哪种方案,两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大? (3)不管哪种方案,如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量,预计 利润分别为 10 万元、15 万元、20 万元.问实施哪种方案的平均利润更大?

徐州市第二高级中学高二数学模拟试卷(理)
参 考 答 案
一、填空题: (每小题 5 分,计 70 分) 1.1 6. ? 3 7. 2.3 3.③ 8. 4. ?1023 5. y ? 2 x ? 1,( x ? 0) 10.

1 1 ? 2k ? 1 2k ? 2

93 16

9.

63 125

144 35

11. (n 2 ? n ? 1) ? (n2 ? n ? 3) ???? ? (n2 ? n ? 1) ? n3 12.0 13.

T20 T30 T40 , , 为等比数列, 且公比为q100 T10 T20 T30

14. 165 解析:a,b,c 要能构成三角形的边长,显然均不为 0。即 a, b, c ?{1, 2,...,9} (1)若构成等边三角形,设这样的三位数的个数为 n1 ,由于三位数中三个数码都相同,
1 所以, n1 ? C9 ? 9 .

(2)若构成等腰(非等边)三角形,设这样的三位数的个数为 n2 ,由于三位数中只有 2 个不同数码. 设为 a、b,注意到三角形腰与底可以置换,所以可取的数码组(a,b)
2 共有 2C9 。但当大数为底时,设 a>b,必须满足 b ? a ? 2b 。此时,不能构成三角形的

数码是 a b 9 4,3 2,1 8 4,3 2,1 7 3,2 1 6 3,2 1 5 1,2 4 1,2 3 1 2 1 1

2 共 20 种情况。同时,每个数码组(a,b)中的二个数码填上三个数位,有 C3 种情况。 2 2 2 故 n2 ? C3 (2C9 ? 20) ? 6(C9 ?10) ? 156 。综上, n ? n1 ? n2 ? 165 。

二.解答题: (计 90 分)
4 6 5 15.解: (Ⅰ) Cn ? Cn ? 2Cn

∴n=7 或 n=14,

当 n=7 时,展开式中二项式系数最大的项是 T4 和 T5 且 T4

35 3 1 4 1 ? C7 ( )4 (2 x)3 ? x3,T5 ? C7 ( )3 (2 x) 4 ? 70 x 4 2 2 2
1 2
(7 分)

当 n=14 时,展开式中二项式系数最大的项是 T8
7 且 T8 ? C14 ( ) 7 (2x) 7 ? 3432x 7

0 1 2 (Ⅱ) Cn ? Cn ? Cn ? 79 ,

∴n=12

设 Tk+1 项系数最大,由于 ( ? 2 x)12 ? ( )12 (1 ? 4 x)12
k k ?C12 4k ? C12?1 4k ?1, ∴9.4<k<10.4, ? k k k ?1 k ?1 ?C12 4 ? C12 4 ,

1 2

1 2

∴k=10

(14 分)

1 ? ?x ? 1? 2 t ? 16.(1)(Ⅰ)直线 l 的参数方程为 ? , 3 ? y ? ?5 ? t ? ? 2
圆 C 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? (5 分)

(3 分)

(Ⅱ)因为 M ? 4,

? ?? ? 对应的直角坐标为 ? 0, 4 ? ? 2?
(8 分)

直线 l 化为普通方程为 3x ? y ? 5 ? 3 ? 0 圆心到直线 l 的距离 d ?

0?4?5? 3 3 ?1

?

9? 3 ? 5 ,所以直线 l 与圆 C 相离. (9 分) 2

(2).将极坐标系内的问题转化为直角坐标系内的问题 点 O, A, B 的直角坐标分别为 ? 0,0? , ? 0,6? , ? 6,6? 故 ? OAB 是以 OB 为斜边的等腰直角三角形, 进而易知圆心为 ? 3,3? ,半径为 3 2 ,圆的直角坐标方程为

? x ? 3?

2

? ? y ? 3? ? 18 ,即 x2 ? y 2 ? 6x ? 6 y ? 0
2

(12 分)

将 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 代入上述方程,得

?? ? ? 2 ? 6? ? cos? ? sin ? ? ? 0 ,即 ? ? 6 2 cos ? ? ? ? 4
? ?
17.解: (1)设 z ? a ? bi(a, b ? R, b ? 0) ,则 ? ? a ? bi ?

(14 分)

1 a ? bi

?a?
分)

a b ? (b ? 2 )i ,?? 为实数, b ? 0 ,? a 2 ? b 2 ? 1 ,即|z|=1.(3 2 2 a ?b a ?b
2

1 ? ? ? 2a .? ?1 ? ? ? 2 ,? z 的实部的取值范围为 (? ,1) .(5 分) 2 1? z b 1 ?? i ,? a ? (? ,1) , b ? 0 ,? u 为纯虚数 (10 分) (2) u ? 1? z a ?1 2

(3)当 ? ? u 2 ? 2a ?

b2 1? a2 1 ? 2a ? ? 2[(a ? 1) ? ] ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 1, 2 2 a ?1 (a ? 1) (a ? 1)

1 ? a ? (? ,1) ,即 a ? 0 时取到等号,? ? ? u 2 的最小值是 1.(15 分) 2
18. (本题满分 16 分) 解: (1)只有一个盒子空着,则有且只有一个盒子中投放两个球,另外 3 只盒子中各投放一
2 个球,先将球分成 2,1,1,1 的四组,共有 C5 种分法,再投放到五个盒子的其中四个盒子 4 中,共有 A5 种放法,所以满足条件的投放方法共有 2 4 C5 A5 ? 1200 (种)

(4 分)

5 (2)五个球投放到五个盒子中,每个盒子中只有一个球,共有 A5 种投放方法,而球的编号

与盒子编号全相同的情况只有一种,所以球的编号与盒子编号不全相同的投放方法共有
5 A5 ?1 ? 119 (种)

(8 分)

(3)满足条件的情形: 第一类,五个球的编号与盒子编号全同的放法:1 种; 第二类,四个球的编号与盒子编号相同的放法:0 种;
3 第三类,三个球的编号与盒子编号相同的放法: C5 ? 10 种; 2 第四类,二个球的编号与盒子编号相同的放法: 2C5 ? 20 种;

∴ 满足条件的放法数为:1+10+20=31(种) .

(14 分)

答:(1)只有一个盒子空着投放方法有 1200 种;(2)没有一个盒子空着,但球的编号与盒子 编号不全相同投放方法有 119 种;(3)每个盒子内投放一球,并且至少有两个球的编号与盒 子编号是相同的投放方法有 31 种. (16 分)

(注:本题如果各小问只列出式子,而没有语言描述,扣掉一半分,结果没有回答要扣 2 分) 19. (1)将 a1 , a2 , a3 的值代入 an?2 ? an?1 ? 2an ? t 得 t ? ?1 (2) a4 ? a3 ? 2a2 ? 1 = 3 ? 4 ? 1 =6 由于 a1 ? a 2 =2+1, ∴ a3 ? a 4 =9 (2 分)

a 2 ? a3 =22 +1,
n

a3 ? a 4 =23+1
(6 分) (8 分)

猜测可得: an ? an?1 = 2 ? 1
1 证明:(1) n ? 1 时, a1 ? a 2 = 2 +1 成立

(2) 假设 n ? k 时, ak ? ak ?1 = 2 ? 1成立
k

则 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? ak ?2 = ak ?1 ? ak ?1 ? 2ak ?1 = 2(ak ?1 ? ak ) ?1

利用归纳假设得

ak ?1 ? ak ?2 = 2(2k ? 1) ?1 = 2k ?1 ? 1
∴ n ? k ?1 ∴ 时命题也成立
n

对 n ? N 有 an ? an?1 = 2 ? 1成立

(14 分)

(也可以用其他方法证明)

解:(1)ξ

1 的分布列为:

ξ P1

1

0.8 0.2

0.9 0.15

1 0.35

1.125 0.15

1.25 0.15

(3 分) ξ ξ P2
2 的分布列为:

2

0.8 0.3

0.96 0.2

1 0.18

1.2 0.24 (6 分)

1.44 0.08

(2)由(1)可得 P1>1 的概率 P(P1>1)= 0.15 + 0.15 = 0.3, P2>1 的概率 P(P2>1)= 0.24 + 0.08 = 0.32, 可见,P(P2>1)>P(P1>1) ∴实施方案 2,两年后产量超过灾前概率更大。 (10 分) (3)设实施方案 1、2 的平均利润分别为利润 1、利润 2,根据题意 利润 1 = (0.2 +0.15)×10 + 0.35×15 + (0.15 + 0.15)×20 = 14.75(万元) 利润 2 = (0.3 + 0.2)×10 + 0.18×15 + (0.24 + 0.08)×20 = 14.1(万元) ∴利润 1>利润 2, ∴实施方案 1 平均利润更大。 (16 分)


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