重庆市凤鸣山中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

重庆市凤鸣山中学 2018-2019 学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 符合题目要求的.)
1. 在△ ABC 中,若 A=2B,则 a 等于( A.2bsinA 2. B.2bcosA C.2bsinB ) D.2bcosB

座号_____

姓名__________

分数__________

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的四个选项中,只有一项是

如图所示,已知四边形 ABCD 的直观图是一个边长为的正方形,则原图形的周长


为(

A. 2 2 A.l∥α B.l⊥α C.l?α D.l 与 α 相交但不垂直

B.

C.

D. 4 2+2 )

3. 若直线 l 的方向向量为 =(1,0,2),平面 α 的法向量为 =(﹣2,0,﹣4),则(

4. 如图, ABCD ? A1B1C1D1 为正方体,下面结论:① BD // 平面 CB1D1 ;② AC1 ? BD ;③ AC1 ? 平 面 CB1D1 .其中正确结论的个数是( )

A.

B.

C.

D.

5. 若复数 z1 , z2 在复平面内对应的点关于 y 轴对称,且 z1 ? 2 ? i ,则复数 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

z1 在复平面内对应的点在( z2



D.第四象限 )

【命题意图】本题考查复数的几何意义、代数运算等基础知识,意在考查转化思想与计算能力. 6. 若 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,则下列为真命题的是( A.若 m ? ? , ? ? ? ,则 m ? ? B.若 ?

? ? m, m / / n ,则 ? / / ? C.若 m ? ? , m / /? ,则 ? ? ? D.若 ? ? ? ,? ? ? ,则 ? ? ?

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7. ?ABC 中,“ A ? B ”是“ cos 2 B ? cos 2 A ”的( A. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 8. 在极坐标系中,圆 B. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件



【命题意图】 本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识, 意在考查构造函数的思想与运算求解能力.

的圆心的极坐标系是(

)。

A B C D
9. 执行如图的程序框图,则输出的 s=( )

A.

B.﹣

C.

D.﹣

36p , 10.在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中, M 是线段 AC 1 1 的中点,若四面体 M - ABD 的外接球体积为
则正方体棱长为( A.2 ) B.3 C.4 D.5

【命题意图】 本题考查以正方体为载体考查四面体的外接球半径问题, 意在考查空间想象能力和基本运算能力. 11.设集合 A ? ?x ? R || x |? 2? , B ? ?x ? Z | x ?1 ? 0? ,则 A A. ?x |1 ? x ? 2? B. ?x | ? 2 ? x ? 1 ? C.

B?(
D. ?1, 2?



??2, ?1,1, 2?

【命题意图】本题考查集合的概念,集合的运算等基础知识,属送分题. 12.两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是球面面积的 则这两个圆锥的体积之比为( ) A.2:1 B.5:2 C.1:4 D.3:1 ,

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在横线上)

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13.三角形 ABC 中, AB ? 2 3, BC ? 2, ?C ? 60 ,则三角形 ABC 的面积为

.

14.某高中共有学生 1000 名,其中高一年级共有学生 380 人,高二年级男生有 180 人.如果在全 校学生中抽取 1 名学生,抽到高二年级女生的概率为 0.19 ,先采用分层抽样(按年级分层)在全校抽取 100 人,则应在高三年级中抽取的人数等于 = . . |=2,则 15.在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,1)和点 B(﹣3,4),若点 C 在∠AOB 的平分线上且|

16.某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件, 乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲每天的租赁费为 200 元,设备乙每天的租赁 费用为 300 元,现该公司至少要生产 A 类产品 50 件, B 类产品 140 件,所需租赁费最少为__________元.

三、解答题(本大共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 3a ? 3 17.(本题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , S n ? n ( n ? N ? ). 2 (1)求数列 {an } 的通项公式; 7 (2)若数列 {bn } 满足 an ? bn ? log3 a4n?1 ,记 Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ,求证: Tn ? ( n ? N ? ). 2 【命题意图】本题考查了利用递推关系求通项公式的技巧,同时也考查了用错位相减法求数列的前 n 项和.重
点突出运算、论证、化归能力的考查,属于中档难度.

18.已知三次函数 f(x)的导函数 f′(x)=3x2﹣3ax,f(0)=b,a、b 为实数. (1)若曲线 y=f(x)在点(a+1,f(a+1))处切线的斜率为 12,求 a 的值; (2)若 f(x)在区间[﹣1,1]上的最小值、最大值分别为﹣2、1,且 1<a<2,求函数 f(x)的解析式.

19.(本题满分 15 分)

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已知抛物线 C 的方程为 y ? 2 px( p ? 0) ,点 R(1, 2) 在抛物线 C 上.
2

(1)求抛物线 C 的方程; (2)过点 Q(1,1) 作直线交抛物线 C 于不同于 R 的两点 A , B ,若直线 AR , BR 分别交直线 l : y ? 2 x ? 2 于

M , N 两点,求 MN 最小时直线 AB 的方程.
【命题意图】 本题主要考查抛物线的标准方程及其性质以及直线与抛物线的位置关系等基础知识, 意在考查运 算求解能力.

20.(本小题满分 13 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是梯形, AB / / DC ,?ABD ? 为 PA 的中点. (Ⅰ)在棱 PB 上确定一点 E ,使得 CE / / 平面 PAD ; (Ⅱ)若 PA ? PB ? PD ? 6 ,求三棱锥 P ? BDF 的体积.

?
2

, AD ? 2 2 , AB ? 2 DC ? 2 , F

P

F D

C

A

B

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21.(本小题满分 12 分)△ABC 的三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 ksin B=sin A+sin C(k 为 正常数),a=4c. 5 (1)当 k= 时,求 cos B; 4 (2)若△ABC 面积为 3,B=60°,求 k 的值.

22.(本小题满分 10 分)求经过点 P ?1, 2 ? 的直线,且使 A? 2,3? , B ? 0, ?5? 到它的距离相等的直线 方程.

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重庆市凤鸣山中学 2018-2019 学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案(参考答案) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.)
1. 【答案】D 【解析】解:∵A=2B, ∴sinA=sin2B,又 sin2B=2sinBcosB, ∴sinA=2sinBcosB, 根据正弦定理 sinA= ,sinB= = , =2R 得:

代入 sinA=2sinBcosB 得:a=2bcosB. 故选 D 2. 【答案】C 【解析】

考 点:平面图形的直观图. 3. 【答案】B 【解析】解:∵ ∴ =﹣2 , ∴ ∥ , 因此 l⊥α. 故选:B. 4. 【答案】 D 【解析】 =(1,0,2), =(﹣2,0,4),

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考 点:1.线线,线面,面面平行关系;2.线线,线面,面面垂直关系. 【方法点睛】本题考查了立体几何中的命题,属于中档题型,多项选择题是容易出错的一个题,当考察线面平 行时, 需证明平面外的线与平面内的线平行, 则线面平行, 一般可构造平行四边形, 或是构造三角形的中位线, 可证明线线平行,再或是证明面面平行,则线面平行,一般需在选取一点,使直线与直线外一点构成平面证明 面面平行,要证明线线垂直,可转化为证明线面垂直,需做辅助线,转化为线面垂直. 5. 【答案】B 【 解 析 】

6. 【答案】C 【解析】 试题分析:两个平面垂直,一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面,所以 A 不正确;两个平面平行,两 个平面内的直线不一定平行,所以 B 不正确;垂直于同一平面的两个平面不一定垂直,可能相交,也可能平 行,所以 D 不正确;根据面面垂直的判定定理知 C 正确.故选 C. 考点:空间直线、平面间的位置关系. 7. 【答案】A. 【解析】在 ?ABC 中 cos 2B ? cos 2 A ? 1 ? 2sin B ? 1 ? 2sin A ? sin A ? sin B ? sin A ? sin B
2 2 2 2

? A ? B ,故是充分必要条件,故选 A.
8. 【答案】B 【解析】 9. 【答案】 B 【解析】解:由题意,模拟执行程序,可得 α=12°,s=1 s=cos12°,α=24° ,圆心直角坐标为(0,-1),极坐标为 ,选 B。

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不满足条件 α>180°,s=cos12°cos24°,α=48°, 不满足条件 α>180°,s=cos12°cos24°cos48°,α=96°, 不满足条件 α>180°,s=cos12°cos24°cos48°cos96°,α=192°, 满足条件 α>180°,退出循环,输出 s=cos12°cos24°cos48°cos96°,α=192°, 由于 s=cos12°cos24°cos48°cos96° =﹣sin6°cos12°cos24°cos48° =﹣ =﹣ =﹣ =﹣ =﹣ =﹣ =﹣ .

故选:B. 【点评】本题主要考查了循环结构、流程图的识别、条件框等算法框图的应用,考查诱导公式及二倍角的正弦 函数公式在三角函数化简求值中的应用,此题的突破点是分子变形后给分子分母都乘以 16cos6°以至于造成了 一系列的连锁反应,属于中档题. 10.【答案】C

11.【答案】D

【解析】由绝对值的定义及 | x |? 2 ,得 ? 2 ? x ? 2 ,则 A ? ?x | ? 2 ? x ? 2? ,所以 A 12.【答案】D
2 【解析】解:设球的半径为 R,圆锥底面的半径为 r,则 πr =

B ? ?1,2? ,故选 D.


×4πR2=

,∴r=

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∴球心到圆锥底面的距离为 ∴两个圆锥的体积比为 : 故选:D.

= .∴圆锥的高分别为 和 =1:3.



二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在横线上)
13.【答案】 2 3 【解析】 试题分析:因为 ?ABC 中, AB ? 2 3, BC ? 2, C ? 60? ,由正弦定理得

BC ? AB ,即 A ? C ,所以 C ? 30? ,∴ B ? 90? , AB ? BC , S?ABC
考点:正弦定理,三角形的面积.

1 2 3 2 , sin A ? ,又 ? 2 3 sin A 2 1 ? ? AB ? BC ? 2 3 . 2

【名师点睛】本题主要考查正弦定理的应用,三角形的面积公式.在解三角形有关问题时,正弦定理、余弦定 理是两个主要依据,一般来说,当条件中同时出现 ab 及 b 、 a 时,往往用余弦定理,而题设中如果边和正 弦、余弦交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦,再结合和、差、倍角的正弦公式进行解答.解三角形 时.三角形面积公式往往根据不同情况选用不同形式 14.【答案】 25 【 解 析 】
2 2

1 1 1 abc ab sin C , ah , (a ? b ? c)r , 等等. 2 2 2 4R

考 点:分层抽样方法. 15.【答案】 (﹣ 【解析】解:∵ 则:AD:BD=1:5 , , ) , .

设 OC 与 AB 交于 D(x,y)点

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即 D 分有向线段 AB 所成的比为



解得:

∴ 又∵| ∴ |=2 =(﹣ , , ) )

故答案为:(﹣

【点评】如果已知,有向线段 A(x1,y1),B(x2,y2).及点 C 分线段 AB 所成的比,求分点 C 的坐标,

可将 A,B 两点的坐标代入定比分点坐标公式:坐标公式

进行求解.

16.【答案】 2300 【解析】111]

?x ? 0 ?y ? 0 ? 试题分析:根据题意设租赁甲设备,乙设备,则 ? ,求目标函数 Z ? 200x? 300y的 ?5x ? 6y ? 50 ? ?10x ? 20y ? 140
最小值.作出可行域如图所示, 从图中可以看出, 直线在可行域上移动时, 当直线的截距最小时, 取最小值 2300 .

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1111] 考点:简单线性规划. 【方法点晴】本题是一道关于求实际问题中的最值的题目,可以采用线性规划的知识进行求解;细查题意,设 甲种设备需要生产天,乙种设备需要生产 y 天,该公司所需租赁费为 Z 元,则 Z ? 200x ? 300y ,接下来列 出满足条件的约束条件,结合目标函数,然后利用线性规划的应用,求出最优解,即可得出租赁费的最小值.

三、解答题(本大共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17.【答案】 【 解 析 】

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18.【答案】 【解析】解:(1)由导数的几何意义 f′(a+1)=12
2 ∴3(a+1) ﹣3a(a+1)=12 ∴3a=9∴a=3 2 (2)∵f′(x)=3x ﹣3ax,f(0)=b

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∴ 由 f′(x)=3x(x﹣a)=0 得 x1=0,x2=a ∵x∈[﹣1,1],1<a<2 ∴当 x∈[﹣1,0)时,f′(x)>0,f(x)递增;当 x∈(0,1]时,f′(x)<0,f(x)递减. ∴f(x)在区间[﹣1,1]上的最大值为 f(0) ∵f(0)=b, ∴b=1 ∵ ∴f(﹣1)<f(1) ∴f(﹣1)是函数 f(x)的最小值, ∴ ∴
3 2 ∴f(x)=x ﹣2x +1



【点评】 曲线在切点处的导数值为曲线的切线斜率; 求函数的最值, 一定要注意导数为 0 的根与定义域的关系. 19.【答案】(1) y ? 4 x ;(2) x ? y ? 2 ? 0 .
2

【解析】(1)∵点 R(1, 2) 在抛物线 C 上, 2 ? 2 p ?1 ? p ? 2 ,…………2 分
2

即抛物线 C 的方程为 y ? 4 x ;…………5 分
2

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20.【答案】(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)当 E 为 PB 的中点时, CE / / 平面 PAD . (1 分) 连结 EF 、 EC ,那么 EF / / AB , EF ? ∵ DC / / AB , DC ?

1 AB . 2

1 AB ,∴ EF / / DC , EF ? DC ,∴ EC / / FD . (3 分) 2 又∵ CE ? 平面 PAD , FD ? 平面 PAD ,∴ CE / / 平面 PAD . (5 分)
(Ⅱ)设 O 为 AD 的中点,连结 OP 、 OB ,∵ PA ? PD ,∴ OP ? AD , 在直角三角形 ABD 中, OB ?

1 AD ? OA , 又∵ PA ? PB ,∴ ?PAO ? ?PBO ,∴ ?POA ? ?POB ,∴ 2

OP ? OB ,
∴ OP ? 平面 ABD . (10 分)

PO ? PA2 ? AO 2 ? ( 6)2 ? ( 2) 2 ? 2 , BD ? AD2 ? AB2 ? 2 1 1 1 2 ∴三棱锥 P ? BDF 的体积 VP ? BDF ? VP ? ABD ? ? ? 2 ? 2 ? . (13 分) 2 2 3 3

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P

F

E D

C

O
A B

21.【答案】 5 5 【解析】解:(1)∵ sin B=sin A+sin C,由正弦定理得 b=a+c, 4 4 5 又 a=4c,∴ b=5c,即 b=4c, 4 a2+c2-b2 (4c)2+c2-(4c)2 1 由余弦定理得 cos B= = = . 2ac 8 2×4c·c (2)∵S△ABC= 3,B=60°. 1 ∴ acsin B= 3.即 ac=4. 2 又 a=4c,∴a=4,c=1. 1 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B=42+12-2×4×1× =13. 2 ∴b= 13, ∵ksin B=sin A+sin C, a+c 5 5 13 由正弦定理得 k= = = , b 13 13 5 13 即 k 的值为 . 13 22.【答案】 4 x ? y ? 2 ? 0 或 x ? 1 . 【解析】

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