吉林省吉化第一高级中学校2019届高三数学上学期期中试题理(扫描版)_图文

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吉林省吉化第一高级中学校 2019 届高三数学上学期期中试题 理(扫 描版)

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2018—2019 学年度高三上学期期中考试数学试卷(理)参考答案 一、选择题 二、填空题: CACAC, CABDA, DB

4 3 -3 13. 10
三、解答题:

14,

2

15,

2x-3y+1=0

16. (2) (3)

17.解: (1)

?3d ?71 {a 2( a?2d1 )?a1 ?4d ?19

……(4 分) ,

? an ? 2n ? 1. ……(6 分) 解得 a1 ? 1, d ? 2 ,
(2)

bn ? an ? 2n ,?bn ? 2n ? 2n ? 1 ,……(8 分) ,

?Tn ? (2 ? 22 ? …? 2n ) ? ?1 ? 3 ? …? ?2n - 1??……(10 分) ,

Tn ? 2 n?1 ? n 2 ? 2 ……(12 分) ,

18,由向量a ? ?sin ?x, cos?x ?, b ? ?cos?x, cos?x ?, 其中? ? 0, 1 记f ( x ) ? a ? b ? 得 2 1 f ( x) ? sin ?x ? cos?x ? cos?x 2 ? 2 1 1 1 ? sin 2?x ? (cos2?x ? 1) ? 2 2 2 2 ? ? sin(2?x ? ) ? 1?????? 4分 2 4
( 1)由T ? ?得,? ? 1 所以,f ( x) ?? 2 ? sin(2 x ? ) ? 1 2 4
……(6 分)

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? 2 ? ?? 将f ( x)图像向右平移 个单位,可得 g ( x) ? sin? 2 x ? ? ? 1 4 2 4 ? ,…(8 分) ? (Ⅱ)

当0 ? x ? 所以 ? 故

?
2

时, ?

?
4

? 2x ?

?
4

?

3? , 4

2 ?? ? ? sin ? 2 x ? ? ? 1 2 4? ? ? 1 ,2 ? 2 ? 2?2 ,即g ( x)的值域为: ? , ? 2 2 ? ?2 ? ?

1 ? g ( x) ? 2

…(10 分)

…(12 分)

19 解: (Ⅰ)当 ∴

时,∵

S n ? 2an ? 2?n ? N ? ?

① ②

S n?1 ? 2an?1 ? 2?n ? N ? ?
an ? 2an ? 2an?1 n ? N ? ;即 an ? 2an?1 ……(4 分)
,∴数列 是以

①-②得

?

?

又 S1 ? 2a1 ? 2 ;得: ∴

为首项, 2 为公比的等比数列 ……(6 分)

an ? 2 n an ? 2 ,
n

bn ? log 2 1 ? ?n
,∴
2

n

(Ⅱ)∵



1 1 1 1 ? ? ? bb n?n ? 1? n n ? 1 .……(10 分) ∴ n n ?1

1 ? 1 n ? 1? ? 1 1? ?1 1? ?1 ?Tn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? n ? 1 n ? 1 ……(12 分) ? 2? ? 2 3? ? 3 4? ? n n ? 1?

20: (1)依题意知 f ( x) 的定义域为 (0,??)

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1 4 x 2 ? 5 x ? 1 ?4 x ? 1?? x ? 1? ? 4x ? 5 ? ? x x x 1 令f ' ? x ? ? 0, 解得x ? 1, 或x ? 4 f ' ?x ? ?
当0 ? x ? 1 1 或x ? 1时, f ' ?x ? ? 0, 当 ? x ? 1时, f ' ?x ? ? 0 4 4 ……(4 分)

? 1? ?1 ? 所以f ?x ?的增区间为 ? 0, ?和?1,???, 减区间为? ,1? ? 4? ?4 ?
所以函数 f ( x) 的极小值为 f ?1? ? ?3 ……(6分)

(2)由(1)得 f ?x ?在 1, e 上为增函数 所以要使方程 f ?x ? ? 2m ? 1在区间 1, e 上有唯一实数解, 只需 f ?1? ? 2m ? 1 ? f e ……(10 分)

? ?

? ?

? ?

5 所以, ? 3 ? 2m ? 1 ? 2e 2 ? 5e ? 1? ?1 ? m ? e 2 ? e ? 1 2 5 ? ? 即m取值范围为?- 1,e 2 ? e ? 1? 2 ? ?
……(12 分)

sin B ? 2?sin A cos B cosC ? sin C cos B cos A?

21.解: (1)由正弦定理得:

? 2 cos B?sin A cosC ? sin C cos A? ? 2 cos B sin ? A ? C ?
又因为在三角形中 sin( A ? C ) ? sin B , ∴ 2 cos B sin B ? sin B ,可得 cos B ? 又 0 ? B ? ? ,所以 B ? ……(4 分)

1 , 2
……(6 分)

?
3

.

2 ?2?由?1?及余弦定理得: b 2 ? a 2 ? c 2 ? ac ? ?a ? c? ? 3ac
2 ∵ a ? c ? 5 ? b ? 25 ? 3ac ,

……(8 分)
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1 ? S ?ABC ? 3,? ac sin B ? 3,即ac ? 4 2 2 ? b ? 13? b ? 13
……(12 分)

22 解:(Ⅰ)∵f(x)=lnx﹣ax,∴ f 当 a≤0 时,f'(x)>0 恒成立,

'

?x ? ? 1 ? a ,
x

函数 f(x)在定义域(0,+∞)递增;无减区间……(2 分)

当 a>0 时,令 f'(x)=0,则 x=



当 x∈(0,

)时,f'(x)>0,函数为增函数,

当 x∈(

,+∞)时,f'(x)<0,函数为减函数,

……(4 分)

?0, 综上可得,当 a ? 0时增区间为 ? ??,无减区间
? 1? ?1 ? 当a ? 0时, f ?x ?增区间为? 0, ?, 减区间为? ,?? ? ? a? ?a ? ……(6 分)

(Ⅱ)在 a<1 时,存在 m>1,使得对任意的 x∈(1,m)恒有 f(x)+a>0,理由如下:由 (1)得 当 a≤0 时,函数 f(x)在(1,m)递增,

此时f ?x? ? f ?1? ? ?a,即f ?x? ? a ? 0
? 1? ?1 ? 当0 ? a ? 1时, f ?x ?增区间为? 0, ?, 减区间为? ,?? ? ? a? ?a ? 1 而 ?1 a

……(8 分)

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1 ? 1? ?只要?1,m? ? ?1, ?,即m ? ,就有f ?x ? ? f ?1? ? ?a a ? a? 即f ?x ? ? a ? 0 ……(10 分)

综上可得:在 a<1 时,存在 m>1,使得对任意 x∈(1,m) 恒有 f(x)+a>0, ……(12 分)

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