【2019最新】精选高三数学(理)人教版一轮训练:第十三篇第2节 证明不等式的基本方法含解析

题型归纳 最好先 从平时 经常出 错的知 识点开 始,找 出它们 ,并将 这些知 识点对 应的考 题提取 出来, 研究这 些题主 要从哪 些角度 进行考 察,这 类知识 点的题 怎样入 手解题 ,容易 出错的 点有哪 些。归 纳完经 常错的 知识点 后,可 以翻看 一下近 几年的 高考真 题,看 看大题 一般是 考察哪 些 类型的题 目,归 纳一下 这些题 型的解 题方法 。在此 过程中 ,如果 对某个 知识很 模糊, 立即回 归课本 ,翻看 课本知 识。 【2019 最新】精选高三数学(理)人教版一轮训练:第十三 篇第 2 节 证明不等式的基本方法含解析 【选题明细表】 知识点、方法 用比较法证明不等式 用综合法、分析法证明不等式 用反证法、放缩法证明不等式 证明不等式方法的综合应用 1.(2017·揭阳二模)已知函数 f(x)=|2|x|-1|. (1)求不等式 f(x)≤1 的解集 A; (2)当 m,n∈A 时,证明:|m+n|≤mn+1. (1)解:由|2|x|-1|≤1,得-1≤2|x|-1≤1, 即|x|≤1, 解得-1≤x≤1, 所以 A=[-1,1]. (2)证明:|m+n|2-(mn+1)2=m2+n2-m2n2-1=-(m2-1)(n2-1), 因为 m,n∈A, 故-1≤m≤1,-1≤n≤1,m2-1≤0,n2-1≤0, 故-(m2-1)(n2-1)≤0,|m+n|2≤(mn+1)2. 又显然 mn+1≥0,故|m+n|≤mn+1. 1/5 题号 1 2 3 4 题型归纳 最好先 从平时 经常出 错的知 识点开 始,找 出它们 ,并将 这些知 识点对 应的考 题提取 出来, 研究这 些题主 要从哪 些角度 进行考 察,这 类知识 点的题 怎样入 手解题 ,容易 出错的 点有哪 些。归 纳完经 常错的 知识点 后,可 以翻看 一下近 几年的 高考真 题,看 看大题 一般是 考察哪 些 类型的题 目,归 纳一下 这些题 型的解 题方法 。在此 过程中 ,如果 对某个 知识很 模糊, 立即回 归课本 ,翻看 课本知 识。 2.(2017·四川宜宾二诊)已知函数 f(x)=m-|x-2|, m∈R,且 f(x+2) ≥0 的解集为[-3,3]. (1)解不等式: f(x)+f(x+2)>0; (2)若 a,b,c 均为正实数,且满足 a+b+c=m,求证: ++≥3. (1)解:因为 f(x+2)=m-|x|, f(x+2)≥0 等价于|x|≤m, 由|x|≤m 有解,得 m≥0, 且其解集为{x|-m≤x≤m}. 又 f(x+2)≥0 的解集为[-3,3], 故 m=3. 所以 f(x)+f(x+2)>0 可化为: 3-|x-2| +3-|x|>0, 所以|x|+|x+2|<6. ①当 x≤-2 时, -x-x-2<6, 所以 x>-4, 所以-4<x≤-2; ②当-2<x≤0 时, -x+x+2<6, 所以 2<6, 所以 x∈R,又-2<x≤0, 所以-2<x≤0; ③当 x>0 时, x+x+2<6, 所以 x<2, 又 x>0, 2/5 题型归纳 最好先 从平时 经常出 错的知 识点开 始,找 出它们 ,并将 这些知 识点对 应的考 题提取 出来, 研究这 些题主 要从哪 些角度 进行考 察,这 类知识 点的题 怎样入 手解题 ,容易 出错的 点有哪 些。归 纳完经 常错的 知识点 后,可 以翻看 一下近 几年的 高考真 题,看 看大题 一般是 考察哪 些 类型的题 目,归 纳一下 这些题 型的解 题方法 。在此 过程中 ,如果 对某个 知识很 模糊, 立即回 归课本 ,翻看 课本知 识。 所以 0<x<2. 综上①②③得不等式 f(x)+f(x+2)>0 的解集为: {x|-4<x<2}. (2)证明: a,b,c 均为正实数,且满足 a+b+c=3, 因 为 +++(a+b+c)=(+a)+(+b)+(+c) ≥ 2(++) =2(a+b+c)( 当 且 仅 当 a=b=c=1 时,取“=”), 所以++≥a+b+c, 即++≥3. 3.导学号 38486241 已知函数 f(x)=|x+b2|-|-x+1|,g(x)=|x+a2+c2| +|x-2b2|,其中 a,b,c 均为正实数,且 ab+bc+ac=1. (1)当 b=1 时,求不等式 f(x)≥1 的解集; (2)当 x∈R 时,求证 f(x)≤g(x). 解:(1)由题意,当 b=1 时,f(x)= 当 x≤-1 时,f(x)=-2<1,不等式 f(x)≥1 无解; 当-1<x<1 时,f(x)=2x≥1, 解得 x≥, 所以≤x<1. 当 x≥1 时,f(x)=2≥1 恒成立, 所以 f(x)≥1 的解集为[,+∞). (2)当 x∈R 时,f(x)=|x+b2|-|-x+1| 3/5 题型归纳 最好先 从平时 经常出 错的知 识点开 始,找 出它们 ,并将 这些知 识点对 应的考 题提取 出来, 研究这 些题主 要从哪 些角度 进行考 察,这 类知识 点的题 怎样入 手解题 ,容易 出错的 点有哪 些。归 纳完经 常错的 知识点 后,可 以翻看 一下近 几年的 高考真 题,看 看大题 一般是 考察哪 些 类型的题 目,归 纳一下 这些题 型的解 题方法 。在此 过程中 ,如果 对某个 知识很 模糊, 立即回 归课本 ,翻看 课本知 识。 ≤|x+b2+(-x+1)|=|b2+1| =b2+1; g(x)=|x+a2+c2|+|x-2b2|≥|x+a2+c2-(x-2b2)| =a2+c2+2b2. 而 a2+c2+2b2-(b2+1)=a2+c2+b2-1 = (a2+b2+b2+c2+c2+a2)-1 ≥ (2ab+2bc+2ac)-1 =ab+bc+ac-1 =0. 当且仅当 a=b=c=时,等号成立, 即 a2+c2+2b2≥b2+1, 因此,当 x∈R 时,f(x)≤b2+1

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