第五章5.1 平面向量的概念及线性运算(共75张PPT)_图文

数学

R A(文)

§5.1

平面向量的概念及线性 运算
第五章 平面向量

基础知识·自主学习
要点梳理 1.向量的有关概念
定义 备注 既有 大小 又有方向 平面向量 的量;向量的大小叫 向量 是自由向 长度 做向量的 (或 量 称模 ) 长度为 零 的向量; 0 零向量 记作__ 其方向是任意的 非零向量 a 的单位 单位向 长度等于 1个单位 向量为 量 的向量 a ± |a|
基础知识 题型分类

难点正本 疑点清源 1.向量的两要素
向量具有大小和方向两 个要素. 用有向线段表示 向量时, 与有向线段起点 的位置没有关系. 同向且 等长的有向线段都表示 同一向量.

名称

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
平行 方向 相同 或 相反 向量 的非零向量 共线 向量 相等 向量 相反 向量
方向相同或相反 难点正本 疑点清源 1.向量的两要素
向量具有大小和方向两

的非零向量又叫 做共线向量

0 与任一向量 平行 或共线

个要素. 用有向线段表示 向量时, 与有向线段起点 的位置没有关系. 同向且

长度 相等 且方向 等或不等,不 相同 的向量 能比较大小 长度 相等 且方向 相反 的向量 0 的相反向量 为0
思想方法

两向量只有相

等长的有向线段都表示 同一向量.

基础知识

题型分类

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理 2.向量的线性运算
向量 运算 定义 求两 个向 量和 的运 算 法则(或几何 意义) 运算律
难点正本 疑点清源
2. 一般地, 首尾顺次相接 的多个向量的和等于 从第一个向量起点指 向最后一个向量终点 的向量. 3.证明三点共线问题,可 用向量共线来解决, 但 应注意向量共线与三 点共线的区别与联系, 当两向量共线且有公 共点时, 才能得出三点 共线;另外,利用向量 平行证明向量所在直 线平行, 必须说明这两 条直线不重合.
练出高分

加法

三角形

(1)交换律: a +a +b=b ____. (2)结合律: (a+b)+c= a+(b+c) _________.

平行四边形

基础知识

题型分类

思想方法

基础知识·自主学习
要点梳理
求a与b的 相反向量 减 -b 的和的 法 运算叫做 a 与 b 的差
难点正本 疑点清源
2. 一般地, 首尾顺次相接 的多个向量的和等于 从第一个向量起点指 a-b=a+ 向最后一个向量终点 (-b) 的向量. 3. 证明三点共线问题, 可 用向量共线来解决, 但 应注意向量共线与三 λ(μa)= 点共线的区别与联系, λμa ; ____ 当两向量共线且有公 (λ+μ)a= 共点时, 才能得出三点 λa+μa ; ________ 共线; 另外, 利用向量 λ(a+b)= 平行证明向量所在直 λ a + λ b ________ 线平行, 必须说明这两 条直线不重合.
思想方法 练出高分

三角形 法则

数 乘

|λ||a| ; (1)|λa|=____ (2)当 λ>0 时, λa 求实数 λ 的方向与 a 的 与向量 a 方向 相同 ;当 的积的运 λ<0 时, λa 的方 算 向与 a 的方 向相反 ;当 λ =0 时,λa=__ 0
基础知识 题型分类

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
2. 一般地, 首尾顺次相接 的多个向量的和等于 从第一个向量起点指 向最后一个向量终点 的向量. 3. 证明三点共线问题, 可 用向量共线来解决, 但 应注意向量共线与三 点共线的区别与联系, 当两向量共线且有公 共点时, 才能得出三点 共线; 另外, 利用向量 平行证明向量所在直 线平行, 必须说明这两 条直线不重合.
练出高分

3.

共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存

b=λa 在唯一一个实数 λ,使得_______.

基础知识

题型分类

思想方法

题型分类·深度剖析
题型一 平面向量的概念辨析
解析 答案 探究提高

【例 1】 给出下列命题: ①若|a|=|b|, 则 a=b; ②若 A, B, → → C, D 是不共线的四点, 则AB=DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的 充要条件;③若 a=b,b=c,则 a =c;④a=b 的充要条件是|a|=|b| 且 a∥b. 其中正确命题的序号是________.
基础知识 题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 平面向量的概念辨析
解析 答案 探究提高

【例 1】 给出下列命题:

①不正确.两个向量的长度相等, ①若|a|=|b|, 则 a=b; ②若 A, B, 但它们的方向不一定相同. → → → → → → C, D 是不共线的四点, 则AB=DC ②正确.∵AB=DC,∴|AB|=|DC| → → 是四边形 ABCD 为平行四边形的 且AB∥DC, 又∵A,B,C,D 是不共线的四点, 充要条件;③若 a=b,b=c,则 a ∴四边形 ABCD 为平行四边形; 反之, =c;④a=b 的充要条件是|a|=|b| → 若四边形 ABCD 为平行四边形,则AB 且 a∥b. → → → → → ∥DC且|AB|=|DC|,因此,AB=DC.

其中正确命题的序号是________. ③正确.∵a=b,∴a,b 的长度相
等且方向相同;又 b=c,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 平面向量的概念辨析
解析 答案 探究提高

【例 1】 给出下列命题: ①若|a|=|b|, 则 a=b; ②若 A, B, → → C, D 是不共线的四点, 则AB=DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的 充要条件;③若 a=b,b=c,则 a =c;④a=b 的充要条件是|a|=|b| 且 a∥b.

∴b,c 的长度相等且方向相同,
∴a,c 的长度相等且方向相同, 故 a=c.

④不正确.当 a∥b 且方向相反 时,即使|a|=|b|,也不能得到 a =b,故“|a|=|b|且 a∥b”不是 “a=b”的充要条件, 而是必要 不充分条件.

其中正确命题的序号是________. 综上所述,正确命题的序号是 ②③.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 平面向量的概念辨析
解析 答案 探究提高

【例 1】 给出下列命题: ①若|a|=|b|, 则 a=b; ②若 A, B, → → C, D 是不共线的四点, 则AB=DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的 充要条件;③若 a=b,b=c,则 a =c;④a=b 的充要条件是|a|=|b| 且 a∥b.

∴b,c 的长度相等且方向相同,
∴a,c 的长度相等且方向相同, 故 a=c.

④不正确.当 a∥b 且方向相反 时,即使|a|=|b|,也不能得到 a =b,故“|a|=|b|且 a∥b”不是 “a=b”的充要条件, 而是必要 不充分条件.

②③ . 综上所述,正确命题的序号是 其中正确命题的序号是________ ②③.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 平面向量的概念辨析
解析 答案 探究提高

【例 1】 给出下列命题: ①若|a|=|b|, 则 a=b; ②若 A, B,

(1)正确理解向量的相关概念及其 含义是解题的关键. → → (2)相等向量具有传递性,非零向 C, D 是不共线的四点, 则AB=DC 量的平行也具有传递性. 是四边形 ABCD 为平行四边形的 (3)共线向量即为平行向量,它们 充要条件;③若 a=b,b=c,则 a 均与起点无关. =c;④a=b 的充要条件是|a|=|b| (4)向量可以平移,平移后的向量与 原向量是相等向量. 解题时, 不要把 且 a∥b. 它与函数图象移动混为一谈. a a ②③ (5) 非零向量 a 与 的关系: 是a 其中正确命题的序号是________. |a| |a| 方向上的单位向量.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 1

所 下列命题中正确 解析 由于零向量与任一向量都共线, 的是 ( C ) 以 A 不正确; 由于数学中研究的向量是自由向量, 所以 A.a 与 b 共线,b 与 c 共线, 两个相等的非零向量可以在同一直线上, 则 a 与 c 也共线 而此时就构不成四边形,所以 B 不正确; 与起 B.任意两个相等的非零向量 向量的平行只要求方向相同或相反, 点是否相同无关,所以 D 不正确; 的始点与终点是一个平行 对于 C,其条件以否定形式给出,所以可 四边形的四个顶点 从其逆否命题入手来考虑, 假设 a 与 b 不 C.向量 a 与 b 不共线,则 a 都是非零向量, 即 a 与 b 中至少有一个是 与 b 都是非零向量 零向量,而由零向量与任一向量都共线, D.有相同起点的两个非零向 可知 a 与 b 共线,符合已知条件,所以有 向量 a 与 b 不共线, 则 a 与 b 都是非零向 量不平行 量,故选 C.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 向量的线性运算
思维启迪 解析 探究提高

→ → 【例 2】 如图,以向量OA=a,OB= → 1→ → b 为邻边作?OADB,BM= BC,CN 3 1→ → → → = CD, 用 a, b 表示OM, ON, MN. 3

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 向量的线性运算
思维启迪 解析 探究提高

→ → 【例 2】 如图,以向量OA=a,OB= → 1→ → b 为邻边作?OADB,BM= BC,CN 3 1→ → → → = CD, 用 a, b 表示OM, ON, MN. 3

结合图形性质, 准确灵活运用 三角形法则和平行四边形法 则是向量加减运算的关键.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 向量的线性运算
思维启迪 解析 探究提高

→ → 【例 2】 如图,以向量OA=a,OB=


→ 1→ → b 为邻边作?OADB,BM= BC,CN 3 1 → 1→ 1 BM = BA = a - b, 1→ → → → 6 6 6 = CD, 用 a, b 表示OM, ON, MN. 3 5 → → → 1 ∴OM=OB+BM= a+ b. 6 6 → 又∵OD=a+b,

→ → → ∵BA=OA-OB=a-b,

→ → 1→ 1→ 1→ ∴ON=OC+ CD= OD+ OD 3 2 6 2→ 2 2 = OD= a+ b, 3 3 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 向量的线性运算
思维启迪 解析 探究提高

→ → 【例 2】 如图,以向量OA=a,OB=

2 1 → → → 2 → 1 → → ∴ MN = ON - OM = a + b - a b 为邻边作?OADB,BM= BC,CN 3 3 6 3 5 1 1 1→ → → → - b= a- b. 6 2 6 = CD, 用 a, b 表示OM, ON, MN. 3

5 → 1 → 2 综上,OM= a+ b,ON= a+ 6 6 3 2 1 → 1 b , MN = a - 3 2 6b.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 向量的线性运算
思维启迪 解析 探究提高

→ → 【例 2】 如图,以向量OA=a,OB=

→ 1 → → (1)解题的关键在于搞清构成三角 b 为邻边作?OADB,BM= BC,CN 3 形的三个问题间的相互关系,能 1→ → → → 熟练地找出图形中的相等向量, = CD, 用 a, b 表示OM, ON, MN. 3 并能熟练运用相反向量将加减法

相互转化. (2)用几个基本向量表示某个向量 问题的基本技巧: ①观察各向量 的位置; ② 寻找相应的三角形或 多边形;③运用法则找关系; ④化简结果.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
→ → → → 变式训练 2 在△ABC 中,AB=c,AC=b,若点 D 满足BD=2DC, → 则AD等于 ( A ) 2 1 5 2 A. b+ c B. c- b 3 3 3 3 2 1 1 2 C. b- c D. b+ c 3 3 3 3

解析

→ → → → → → ∵BD=2DC,∴AD-AB=2(AC-AD),

→ → → ∴3AD=2AC+AB, 1 → 2→ 1→ 2 ∴AD= AC+ AB= b+ c. 3 3 3 3

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

共线向量定理及应用
设两个非零向量 a 与 b
思维启迪 解析

探究提高

不共线, → → (1)若AB=a+b,BC=2a+8b, → CD=3(a-b),求证:A、B、D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a +kb 共线.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

共线向量定理及应用
设两个非零向量 a 与 b
思维启迪 解析

探究提高

不共线, 解决点共线或向量共线的问题,要 → → (1)若AB=a+b,BC=2a+8b, 结合向量共线定理进行. → CD=3(a-b),求证:A、B、D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a +kb 共线.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

共线向量定理及应用
设两个非零向量 a 与 b
思维启迪 解析

探究提高

不共线, → → → → (1)证明 ∵AB=a+b,BC=2a+ (1)若AB=a+b,BC=2a+8b, → → CD=3(a-b),求证:A、B、D 8b,CD=3(a-b), 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a +kb 共线.
→ → → ∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)
→ =2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB. → → ∴AB、 BD共线, 又∵它们有公共点 B,

∴A、B、D 三点共线.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

共线向量定理及应用
设两个非零向量 a 与 b
思维启迪 解析

探究提高

不共线, (1)证明三点共线问题,可用向量共 → → (1)若AB=a+b,BC=2a+8b, 线解决,但应注意向量共线与三点 → CD=3(a-b),求证:A、B、D 共线的区别与联系,当两向量共线 三点共线; 且有公共点时, 才能得出三点共线. (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a +kb 共线.

(2)向量 a、 b 共线是指存在不全为零 的实数 λ1, λ2, 使 λ1a+λ2b=0 成立, 若 λ1a+λ2b=0, 当且仅当 λ1=λ2=0 时成立,则向量 a、b 不共线.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

共线向量定理及应用
设两个非零向量 a 与 b
思维启迪 解析

探究提高

不共线, (2)解 ∵ka+b 与 a+kb 共线, → → (1)若AB=a+b,BC=2a+8b, ∴存在实数 λ, 使 ka+b=λ(a+kb), → CD=3(a-b),求证:A、B、D 即 ka+b=λa+λkb. 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a ∴(k-λ)a=(λk-1)b. +kb 共线.
∵a、b 是不共线的两个非零向量,

∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0. ∴k=± 1.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点, → → → → → → → → → → 且DC=2BD,CE=2EA,AF=2FB,则AD+BE+CF与BC( A ) A.反向平行 C.互相垂直
解析

B.同向平行

D.既不平行也不垂直 → → → → → → 由题意,得DC=DA+AC,BD=BA+AD.

→ → → → → → 又DC=2BD,所以DA+AC=2(BA+AD). → 1→ 2→ 所以AD=3AC+3AB. → 1→ 2→ → 1→ 2→ 同理,得BE=3BC+3BA,CF=3CA+3CB. 1→ → → → 将以上三式相加,得AD+BE+CF=-3BC.故选 A.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 9.方程思想在平面向量的线性运算中的应用
→ 1→ → 1→ 典例:(14 分)如图所示,在△ABO 中,OC= OA,OD= OB,AD 4 2 → → → 与 BC 相交于点 M,设OA=a,OB=b.试用 a 和 b 表示向量OM.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 9.方程思想在平面向量的线性运算中的应用
→ 1→ → 1→ 典例:(14 分)如图所示,在△ABO 中,OC= OA,OD= OB,AD 4 2 → → → 与 BC 相交于点 M,设OA=a,OB=b.试用 a 和 b 表示向量OM.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领,要尽可 能地转化到平行四边形或三角形中去. → → (2)既然OM能用 a、b 表示,那我们不妨设出OM=ma+nb. (3)利用向量共线建立方程,用方程的思想求解.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 9.方程思想在平面向量的线性运算中的应用
→ 1→ → 1→ 典例:(14 分)如图所示,在△ABO 中,OC= OA,OD= OB,AD 4 2 → → → 与 BC 相交于点 M,设OA=a,OB=b.试用 a 和 b 表示向量OM.

规 范 解 答 审 题 视 角 温 馨 提 醒 → → → → 解 设OM=ma+nb,则AM=OM-OA=ma+nb-a=(m-1)a+nb. 1 → → → 1→ → 3分 AD=OD-OA=2OB-OA=-a+2b. → → 又∵A、M、D 三点共线,∴AM与AD共线. → → ∴存在实数 t,使得AM=tAD, ? 1 ? 5分 即(m-1)a+nb=t?-a+2b?. ? ? 1 ∴(m-1)a+nb=-ta+2tb.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 9.方程思想在平面向量的线性运算中的应用
→ 1→ → 1→ 典例:(14 分)如图所示,在△ABO 中,OC= OA,OD= OB,AD 4 2 → → → 与 BC 相交于点 M,设OA=a,OB=b.试用 a 和 b 表示向量OM.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

m-1=-t ? ? ∴? ,消去 t 得,m-1=-2n, t n= ? 2 ? 即 m+2n=1. ? 1? 1 → → → 又∵CM=OM-OC=ma+nb-4a=?m-4?a+nb, ? ? 1 1 → → → CB=OB-OC=b-4a=-4a+b. → → 又∵C、M、B 三点共线,∴CM与CB共线. → → ∴存在实数 t1,使得CM=t1CB,
基础知识 题型分类 思想方法



7分

10分

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 9.方程思想在平面向量的线性运算中的应用
→ 1→ → 1→ 典例:(14 分)如图所示,在△ABO 中,OC= OA,OD= OB,AD 4 2 → → → 与 BC 相交于点 M,设OA=a,OB=b.试用 a 和 b 表示向量OM.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

? ? 1 ? 1? ∴?m-4?a+nb=t1?-4a+b?, ? ? ? ?

1 1 ? ?m- =- t1 4 4 ∴? , ? ?n=t1

消去 t1 得,4m+n=1.
1 3 3 → 1 由①②得 m=7,n=7,∴OM=7a+7b.
基础知识 题型分类 思想方法



12分 14分

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 9.方程思想在平面向量的线性运算中的应用
→ 1→ → 1→ 典例:(14 分)如图所示,在△ABO 中,OC= OA,OD= OB,AD 4 2 → → → 与 BC 相交于点 M,设OA=a,OB=b.试用 a 和 b 表示向量OM.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)本题考查了向量的线性运算,知识要点清楚,但解题过程复杂,有 一定的难度.(2)易错点是,找不到问题的切入口,亦即想不到利用待 定系数法求解.(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心,向量 是一个几何量,是有“形”的量,因此在解决向量有关问题时,多数 习题要结合图形进行分析、判断、求解,这是研究平面向量最重要的 方法与技巧.如本题易忽视 A、M、D 共线和 B、M、C 共线这个几何 特征.(4)方程思想是解决本题的关键,要注意体会.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

思想方法·感悟提高

1.将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示,是

方 法 与 技 巧

向量坐标形式的基础.

2.可以运用向量共线证明线段平行或三点共线.如 → → → AB∥CD且 AB 与 CD 不共线, 则 AB∥CD; 若AB → ∥BC,则 A、B、C 三点共线.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1.解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑

失 误 与 防 范

向量的大小,更重要的是要考虑向量的方向;二是 考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的 特殊性.
2.在利用向量减法时,易弄错两向量的顺序,从而求 得所求向量的相反向量,导致错误.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.给出下列命题: ①两个具有公共终点的向量, 一定是共线向量;②两个向量 不能比较大小,但它们的模能 比较大小; ③λa=0 (λ 为实数), 则 λ 必为零;④λ,μ 为实数, 若 λa=μb,则 a 与 b 共线. 其中错误命题的个数为( A.1 C.3
基础知识

解 析

)

B.2 D.4
题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.给出下列命题: ①两个具有公共终点的向量,

解 析
① 错,由于终点相同,两起点不一

一定是共线向量;②两个向量 定相同,所以可以不共线. 不能比较大小,但它们的模能 ②对,由于模是实数,所以可以比 比较大小; ③λa=0 (λ 为实数), 较大小. 则 λ 必为零;④λ,μ 为实数, 若 λa=μb,则 a 与 b 共线. 其中错误命题的个数为( C ) A.1 C.3
基础知识

③错,由于 a=0,λ≠0 时,也可以 得 λa=0.

B.2 D.4
题型分类

④错, 当 λ=μ=0 时, 虽然 λa=μb, 但是 a 与 b 可以不共线.∴错误命 题个数为 3.
思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 9

7 8 → → → 2.设 P 是△ABC 所在平面内的一点,BC+BA=2BP,则( → → → → A.PA+PB=0 B.PC+PA=0

)

→ → C. PB+PC=0

→ → → D. PA+PB+PC=0

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6

7 9 8 → → → 2.设 P 是△ABC 所在平面内的一点,BC+BA=2BP,则( B ) → → → → A.PA+PB=0 B.PC+PA=0

→ → C. PB+PC=0

→ → → D. PA+PB+PC=0

解 析
→ → 如图,根据向量加法的几何意义有BC+BA → → → =2BP?P 是 AC 的中点,故PA+PC=0.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.已知向量 a,b 不共线,c=ka+b (k∈R),d=a-b.如果 c∥d, 那么 A.k=1 且 c 与 d 同向 C.k=-1 且 c 与 d 同向 B.k=1 且 c 与 d 反向 D.k=-1 且 c 与 d 反向 ( )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.已知向量 a,b 不共线,c=ka+b (k∈R),d=a-b.如果 c∥d, 那么 A.k=1 且 c 与 d 同向 C.k=-1 且 c 与 d 同向 B.k=1 且 c 与 d 反向 D.k=-1 且 c 与 d 反向 ( D )

解 析
∵c∥d,∴c=λd,



? ?k=λ ka+b=λ(a-b),∴? ? ?λ=-1

.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

→ → → 4.(2011· 四川)如图,正六边形 ABCDEF 中,BA+CD+EF等于 ( A.0 → B.BE → C.AD → D.CF )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

→ → → 4.(2011· 四川)如图,正六边形 ABCDEF 中,BA+CD+EF等于 ( D ) A.0 → B.BE → C.AD → D.CF

解 析
因 ABCDEF 是正六边形,
→ → → → → → → → → 故BA+CD+EF=DE+CD+EF=CE+EF=CF.

基础知识

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练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

→ → → 5.设 a、b 是两个不共线向量,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a- 2b,若 A、B、D 三点共线,则实数 p 的值为________.

解 析

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练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

→ → → 5.设 a、b 是两个不共线向量,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-

-1 . 2b,若 A、B、D 三点共线,则实数 p 的值为________ 解 析
→ → → ∵BD=BC+CD=2a-b,又 A、B、D 三点共线,
?2=2λ → → ? ∴存在实数 λ,使AB=λBD.即? ,∴p=-1. ? p =- λ ?

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

→ → → → 6.在?ABCD 中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M 为 BC 的中点,则 → MN=____________(用 a,b 表示).

解 析

基础知识

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

→ → → → 6.在?ABCD 中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M 为 BC 的中点,则 1 1 → -4a+4b MN=____________( 用 a,b 表示).

解 析
→ → → 3→ 3 由AN=3NC得AN= AC= (a+b), 4 4
1 → → → → AM=a+2b,所以MN=AN-AM
? 1 ? 3 1 1 =4(a+b)-?a+2b?=-4a+4b. ? ?

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练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7.给出下列命题: → → ①向量AB的长度与向量BA的长度相等; ②向量 a 与 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; ③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同; → → ④向量AB与向量CD是共线向量,则点 A、B、C、D 必在同一条 直线上. 其中不正确的个数为________.

解 析

基础知识

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练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7.给出下列命题: → → ①向量AB的长度与向量BA的长度相等; ②向量 a 与 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; ③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同; → → ④向量AB与向量CD是共线向量,则点 A、B、C、D 必在同一条 直线上.

2 其中不正确的个数为________ .
解 析
命题①③正确,②④不正确.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(10 分)若 a,b 是两个不共线的非零向量,a 与 b 起点相同,则当 1 t 为何值时,a,tb, (a+b)三向量的终点在同一条直线上? 3

解 析

基础知识

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思想方法

练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(10 分)若 a,b 是两个不共线的非零向量,a 与 b 起点相同,则当 1 t 为何值时,a,tb, (a+b)三向量的终点在同一条直线上? 3 → → → 1 解 析 解 设OA=a,OB=tb,OC= (a+b), 3 2 1 → → → → → → ∴AC=OC-OA=-3a+3b,AB=OB-OA=tb-a. → → 要使 A、B、C 三点共线,只需AC=λAB. 2 1 即-3a+3b=λtb-λa. ? 2 ? 2 ?-3=-λ, ?λ=3, ∴有? ?? ?1=λt, ?t=1. ?3 ? 2 1 ∴当 t= 时,三向量的终点在同一条直线上. 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分

A组

专项基础训练
8 9

1 7 2 3 4 6 5 9.(12 分)在△ABC 中,E、F 分别为 AC、AB 的中

→ → 点,BE 与 CF 相交于 G 点,设AB=a,AC=b, → 试用 a,b 表示AG.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分

A组

专项基础训练
8 9

1 7 2 3 4 6 5 9.(12 分)在△ABC 中,E、F 分别为 AC、AB 的中

→ → 点,BE 与 CF 相交于 G 点,设AB=a,AC=b, → 试用 a,b 表示AG.

解 析
解 → → → → → AG=AB+BG=AB+λBE

→ λ → → =AB+2(BA+BC)
? λ? → λ → → =?1-2?AB+2(AC-AB) ? ?

λ → λ→ =(1-λ) AB+ AC=(1-λ)a+ b. 2 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分

A组

专项基础训练
8 9

1 7 2 3 4 6 5 9.(12 分)在△ABC 中,E、F 分别为 AC、AB 的中

→ → 点,BE 与 CF 相交于 G 点,设AB=a,AC=b, → 试用 a,b 表示AG.

解 析
→ → → → → → m → → 又AG=AC+CG=AC+mCF=AC+ (CA+CB) 2 → m→ m =(1-m) AC+ 2 AB= 2 a+(1-m)b,

m ? ?1-λ= 2 ∴? ?1-m= λ 2 ?
基础知识

2 1 → 1 ,解得 λ=m=3,∴AG=3a+3b.
题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1.(2012· 浙江)设 a,b 是两个非零向量. A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 b=λa D.若存在实数 λ,使得 b=λa,则|a+b|=|a|-|b|

(

)

解 析

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1.(2012· 浙江)设 a,b 是两个非零向量. A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 b=λa

(

)

D.若存在实数 λ,使得 b=λa,则|a+b|=|a|-|b| 2 2 利用向量运算法则,特别是 | a | = a 求解. 解 析

由|a+b|=|a|-|b|知(a+b)2=(|a|-|b|)2, 即 a2+2a· b+b2=|a|2-2|a||b|+|b|2, ∴a· b=-|a||b|. ∵a· b=|a||b|· cos〈a,b〉 , ∴cos〈a,b〉=-1,∴〈a,b〉=π, 此时 a 与 b 反向共线,因此 A 错误. 当 a⊥b 时,a 与 b 不反向也不共线,因此 B 错误.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1.(2012· 浙江)设 a,b 是两个非零向量. A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 b=λa

( C )

D.若存在实数 λ,使得 b=λa,则|a+b|=|a|-|b| 若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ=-1,使 b=-a, 解 析

满足 a 与 b 反向共线,故 C 正确. 若存在实数 λ,使得 b=λa, 则|a+b|=|a+λa|=|1+λ||a|,
|a|-|b|=|a|-|λa|=(1-|λ|)|a|,只有当-1≤λ≤0 时,|a+b|=|a| -|b|才能成立,否则不能成立,故 D 错误
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升

7 3 4 6 5 → → → → 2. 已知△ABC 和点 M 满足MA+MB+MC=0, 若存在实数 m 使得AB → → +AC=mAM成立,则 m 等于 ( )

A.2

B. 3

C.4

D.5

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升

7 3 4 6 5 → → → → 2. 已知△ABC 和点 M 满足MA+MB+MC=0, 若存在实数 m 使得AB → → +AC=mAM成立,则 m 等于 ( B )

A.2

B. 3

C.4

D.5

解 析
→ → → 由已知条件得MB+MC=-MA.
如图,因此延长 AM 交 BC 于 D 点,则 D 为 BC 的中点.延长 BM 交 AC 于 E 点,延长 CM 交 AB 于 F 点,同理可证 E、F 分别为 AC、AB 的中点,即 M 为△ABC 的重心. → 2→ 1 → → → → → AM=3AD=3(AB+AC),即AB+AC=3AM,则 m=3.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3.O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P → ? ?→ → → ? AB AC ? + 满足:OP=OA+λ ? ,λ∈[0,+∞),则 P 的轨迹一 → → ? ?|AB| |AC| ? 定通过△ABC 的 A.外心 B.内心 C.重心 ( D.垂心 )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3.O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P → ? ?→ → → ? AB AC ? + 满足:OP=OA+λ ? ,λ∈[0,+∞),则 P 的轨迹一 → → ? ?|AB| |AC| ? 定通过△ABC 的 A.外心 B.内心 C.重心 ( B ) D.垂心

→? ?→ → → ? AB AC ? + 作∠BAC 的平分线 AD. ∵OP=OA+λ? , → →? ?|AB| |AC|? →? ?→ → AD → ? AB + AC ? ∴AP=λ? =λ′· (λ′∈[0,+∞)), → →? → |AD| ?|AB| |AC|? → λ′ → → → ∴AP= · AD,∴AP∥AD. ∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心. → |AD|
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4.已知向量 a,b 是两个非零向量,则在下列四个条件中,能使 a、 b 共线的条件是__________(将正确的序号填在横线上). ①2a-3b=4e,且 a+2b=-3e;②存在相异实数 λ、μ,使 λ· a + μ· b=0;③x· a+y· b=0(实数 x,y 满足 x+y=0);④若四边形 → → ABCD 是梯形,则AB与CD共线.

解 析

基础知识

题型分类

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练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4.已知向量 a,b 是两个非零向量,则在下列四个条件中,能使 a、

①② b 共线的条件是__________( 将正确的序号填在横线上).
①2a-3b=4e,且 a+2b=-3e;②存在相异实数 λ、μ,使 λ· a + μ· b=0;③x· a+y· b=0(实数 x,y 满足 x+y=0);④若四边形 → → ABCD 是梯形,则AB与CD共线.

解 析
由①得 10a-b=0,故①对.②对.
对于③当 x=y=0 时,a 与 b 不一定共线,故③不对.
→ → → → 若 AB∥CD,则AB与CD共线,若 AD∥BC,则AB与CD不共线.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

5.如图所示,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点.过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M、N, → → → → 若AB=mAM, AC=nAN, 则 m+n 的值为________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

5.如图所示,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点.过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M、N, → → → → 2 若AB=mAM, AC=nAN, 则 m+n 的值为________ .

解 析
∵O 是 BC 的中点,

→ 1 → → ∴AO= (AB+AC). 2 → → → → → m → n→ 又∵AB=mAM,AC=nAN,∴AO= AM+ AN. 2 2 m n ∵M,O,N 三点共线,∴ + =1.则 m+n=2. 2 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

→ → → 1→ 6.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若AD=2DB,CD= CA 3 → +λCB,则 λ=________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

→ → → 1→ 6.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若AD=2DB,CD= CA 3 2 → 3 +λCB,则 λ=________.

解 析
→ → → 由图知CD=CA+AD, → → → CD=CB+BD, → → 且AD+2BD=0. ①



→ → → ①+②×2 得:3CD=CA+2CB,
2 → 1→ 2→ ∴CD=3CA+3CB,∴λ=3.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分

B组

专项能力提升
7

5 1 2 3 4 6 7.(13 分)已知点 G 是△ABO 的重心,M 是 AB 边的中点.

→ → → → (1)求GA+GB+GO;(2)若 PQ 过△ABO 的重心 G,且OA=a, 1 1 → → → OB=b,OP=ma,OQ=nb,求证:m+n=3.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组

专项能力提升
7

5 2 3 4 6 7.(13 分)已知点 G 是△ABO 的重心,M 是 AB 边的中点.

→ → → → (1)求GA+GB+GO;(2)若 PQ 过△ABO 的重心 G,且OA=a, 1 1 → → → OB=b,OP=ma,OQ=nb,求证:m+n=3.

→ → → → → (1)解 因为GA+GB=2GM,又 2GM=-GO, → → → → → 所以GA+GB+GO=-GO+GO=0. → 1 (2)证明 显然OM=2(a+b). → 2→ 1 因为 G 是△ABO 的重心,所以OG=3OM=3(a+b). → → 由 P、G、Q 三点共线,得PG∥GQ, → → 所以,有且只有一个实数 λ,使PG=λGQ.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

解 析

练出高分
1

B组

专项能力提升
7

5 2 3 4 6 7.(13 分)已知点 G 是△ABO 的重心,M 是 AB 边的中点.

→ → → → (1)求GA+GB+GO;(2)若 PQ 过△ABO 的重心 G,且OA=a, 1 1 → → → OB=b,OP=ma,OQ=nb,求证:m+n=3.
?1 ? → → → 1 1 ? ? - m 而PG=OG-OP= (a+b)-ma= 3 a+ b, 3 3 ? ? → → → 1? 1 1 ? GQ=OQ-OG=nb- (a+b)=- a+?n-3?b, 3 3 ? ?

解 析

?1 ? ? 1 ? 1? ? 1 所以?3-m?a+ b=λ?- a+?n-3?b?. 3 ? ? ? 3 ? ? ?

1 1 消去 λ,整理得 3mn=m+n,故 + =3. m n 思想方法 题型分类 基础知识

?1-m=-1λ ?3 3 又因为 a、b 不共线,所以? ? ? ?1=λ?n-1? ?3 ? 3?



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