几何体的外接球与内切球

几何体的外接球与内切球

1、内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。

2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。

3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但不重合。

4、体积分割是求内切球半径的通用做法。

一、外接球

(一)多面体几何性质法

1、 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4,体积为 16,则这个球的表面积是

A.16?

B. 20?

C. 24?

D. 32?

小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.

2、一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为 1,2,3,

则此球的表面积为



(二)补形法

1、若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外接球的表面积是 .

2、设 P, A, B,C 是球 O 面上的四点,且 PA, PB, PC 两两互相垂直,若 PA ? PB ? PC ? a ,

则球心 O 到截面 ABC 的距离是

.

小结 一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为 a、b、c ,则就可以
将这个三棱锥补成一个长方体,于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.
设其外接球的半径为 R ,则有 2R ? a2 ? b2 ? c2 .

3、三棱锥 O ? ABC 中, OA,OB,OC 两两垂直,且 OA ? OB ? 2OC ? 2a ,则三棱锥

O ? ABC 外接球的表面积为( )

A. 6? a2

B. 9? a2

C.12? a2

D. 24? a2

4、三棱锥 P ? ABC 的四个顶点均在同一球面上,其中 ?ABC 是正三角形 PA ? 平面

ABC, PA ? 2AB ? 6 则该球的体积为( )

A. 16 3? 答案及解析:
10.B

B. 32 3?

C. 48?

D. 64 3?

点评: 本题考查球的内接体与球的关系,考查空间想象能力,利用割补法结合球内接多 面体的几何特征求出球的半径是解题的关键.
5、如图的几何体是长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的一部分,其中 AB ? AD ? 3, DD1 ? BB1 ? 2cm 则该几何体的外接球的表面积为

(A 11? cm2

(B) 22? cm2 (C) 11 22 cm2 ( D)11 22? cm2 3

答案及解析:
12.【知识点】几何体的结构. G1
B 解析:该几何体的外接球即长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的外接球,而若长方体
ABCD ? A1B1C1D1 的外接球半径为 R ,则长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的体对角线为 2R, 所以 (2R)2 ? 32 ? 32 ? 22 ? 22 ? R2 ? 11 ,所以该几何体的外接球的表面积 22? cm2 ,
2
故选 B.
【思路点拨】分析该几何体的外接球与长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的外接球的关系,进而
得结论.

6、一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直 角三角形,则该几何体的外接球的表面积是( )

A. 12π
答案及解析:
14.

B. 4 π

C. 3π

D. 12 π

考点: 由三视图求面积、体积. 分析: 三视图复原几何体是四棱锥,扩展为正方体,它的体对角线,就是球的直径,求出 半径,解出球的表面积. 解答: 解:由三视图知该几何体为四棱锥,记作 S﹣ABCD, 其中 SA⊥面 ABCD.面 ABCD 为正方形,将此四棱锥还原为正方体,易知正方体的体对角线 即为外接球直径,所以 2r= . ∴S 球=4π r2=4π × =3π .
答案:C 点评: 本题考查三视图求表面积,几何体的外接球问题,是基础题.

(三)寻求轴截面圆半径法

1、正四棱锥 S ? ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2 ,

S、A、B、C、D 都在同一球面上,则此球的体积为

.

S

D

C

O1 A 图3 B

小结 根据题意,我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面 圆,于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球 半径的通解通法,该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆,从而把立体几何问 题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.
2、求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积

3、三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1=2 且 AA1⊥平面 ABC,△ABC 是边长为 棱柱的六个顶点都在一个球面上,则这个球的体积为()

的正三角形,该三

A. 8π

B.

C.

D. 8 π

答案及解析:
7.C

考点: 球的体积和表面积.

专题: 计算题;空间位置关系与距离.

分析: 根据题意,正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心,求出球的半径

即可求出球的体积.

解答: 解:由题意可知:正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心,

因为△ABC 是边长为 的正三角形,所以底面中心到顶点的距离为:1;

因为 AA1=2 且 AA1⊥平面 ABC,所以外接球的半径为:r=

=.

所以外接球的体积为:V= π r3= π ×( )3=



故选:C. 点评: 本题给出正三棱柱有一个外接球,在已知底面边长的情况下求球的体积.着重考 查了正三棱柱的性质、正三角形的计算和球的体积公式等知识,属于中档题. 8.

4、已知三棱锥 A? BCD 中, AB ? AC ? BD ? CD ? 2 , BC ? 2AD ,直线 AD 与底面 ?
BCD 所成角为 ,则此时三棱锥外接球的体积为 3

A. 8?

B. 2? 3

答案及解析:

11.D

C. 4 2? 3

D. 8 2 ? 3

(四)球心定位法

1、在矩形 ABCD 中, AB ? 4, BC ? 3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二

面角 B ? AC ? D ,则四面体 ABCD 的外接球的体积为

A. 125 ? 12

B. 125 ? 9

C. 125 ? D. 125 ?

6

3

D

AO

C

图4 B

2、如图所示是一个几何体的三视图,则这个几何体外接球的表面积为

A. 8?

B. 16?

C. 32?

D. 64?

3、三棱锥 P ? ABC 中,底面 ?ABC 是边长为 2 的正三角形, PA ⊥底面 ABC ,且 PA ? 2 ,则此三棱锥外接球的半径为( )

A. 2

B. 5

C. 2

D. 21 3

4、如图,在三棱锥 A﹣BCD 中,△ACD 与△BCD 是全等的等腰三角形,且平面 ACD⊥平面

BCD,AB=2CD=4,则该三棱锥的外接球的表面积为



B.
C.答案及解析:
D.27.

E. F.考点:球的体积和表面积;球内接多面体. G.专题:空间位置关系与距离. H.分析:取 AB,CD 中点分别为 E,F,连接 EF,AF,BF,求出 EF,判断三棱锥的外接球 球心 O 在线段 EF 上,连接 OA,OC,求出半径,然后求解表面积. I.解答: 解:取 AB,CD 中点分别为 E,F,连接 EF,AF,BF,由题意知 AF⊥BF,AF=BF, EF=2,易知三棱锥的外接球球心 O 在线段 EF 上,连接 OA,OC,有 R2=AE2+OE2,R2=CF2+OF2,

求得

,所以其表面积为



J.故答案为:



K. L.点评:本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题,对考生的空间想象能力与运 算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求,本题是一道综合题,属于较难题. M.28. N.29.
5、在三棱锥 A ? BCD 中,底面 BCD 为边长为 2 的正三角形,顶点 A 在底面 BCD 上的 射影为 ?BCD 的中心, 若 E 为 BC 的中点,且直线 AE 与底面 BCD 所成角的正切值为
O. 2 2 ,则三棱锥 A ? BCD 外接球的表面积为__________. P.答案及解析: Q.29. 6?
R. 二、内切球问题 1、一气球(近似看成球体)在不变形的前提下放在由长为 2 的 12 根木条搭成的正方体中, 该气球球表面积最大是__________.
2、正三棱锥的高为 1,底面边长为 2 6 。求棱锥的内切球的表面积。
3、 三棱锥 A ? BCD 的两条棱 AB ? CD ? 6 ,其余各棱长均为 5 ,求三棱锥的内切球半径.

4、如图,已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的内切球,则平面 ACD1 截球 O 的截 面面积为( )

A. π

B.

C.

D. π

答案及解析:
4.C

考点:截面及其作法 . 专题:空间位置关系与距离. 分析:根据正方体和球的结构特征,判断出平面 ACD1 是正三角形,求出它的边长,再通过 图求出它的内切圆的半径,最后求出内切圆的面积 解答: 解:根据题意知,平面 ACD1 是边长为 的正三角形, 且球与以点 D 为公共点的三个面的切点恰为三角形 ACD1 三边的中点, 故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积,

则由图得,△ACD1 内切圆的半径是 ×tan30°= , 则所求的截面圆的面积是 π × × = . 故选:C

已知正四棱锥 O ? ABCD (底面是正方形且顶点在顶面的射影是底面正方形的中心的棱锥
叫做正四棱锥)的体积为12 ,底面边长为 2 3 ,则正四棱锥 O ? ABCD 内切球的表面积为
________.
答案及解析: 28. 4?


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