第十一章无穷级数练习题

第十一章 无穷级数 § 11.1 常数项级数的概念与性质 一、判断题 1. ?u n ?1 ? n 收敛,则 lim(u n ? u n ? 3) ? 3 n ?? 2 ( ) 2.若 lim u n ? 0 , n ?? ?u n ?1 ? n 发散。 ( ) 3. ? un 收敛,则 ? (u n ? 10) 收敛。 n ?1 n ?1 ? ? ( ) 4. ?u n ?1 ? ? n 发散, ?v n ?1 ? n 发散,则 ? ? (u n ?1 ? n ? v n ) 也发散。 ( ) 5.若 ? un 收敛,则 ? u n?2 也收敛。 n ?1 n ?1 ( ) 二、填空题 1. ? 1 ? 3 ? 5 ? (2n ? 1) 该级数的前三项是 ? n ?1 2 ? 4 ? 6(2n) 1 2 3 。 。 。 2.级数 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? ? ? ? 的一般项是 4 5 3.级数 x ? x ? x x ? 2 2?4 2?4?6 x2 ? ? ? ? 的一般项为 2? 4? 6?8 4.级数 ? ( n ?1 ? 1 1 ? ) 的和为 n(n ? 1) 2 n 。 三、选择题 1. 下列级数中收敛的是( (A) 4 n ? 8n ? 8n n ?1 ? ) (C) 2n ? 4n ? 8n n ?1 ? (B) 8n ? 4 n ? 8n n ?1 ? (D) 2n ? 4n ? 8n n ?1 ? 2. 下列级数中不收敛的是( ) ? 1 1 (A) ? ln(1 ? 1 ) (B) ? n (C) ? (D) 3 ? ? ? n n ?1 3 n ?1 n( n ? 2) n ?1 ? n ?1 n ? (?1) n 4n 3. 如果 (A) ? ?u n ?1 ? n 收敛,则下列级数中( ? )收敛。 ? ? (u n ? 0.001) n ?1 (B) ? u n?1000 (C) n ?1 ?2 n ?1 un (D) ? 1000 n ?1 u n ? 4. 设 ?u n ?1 ? n =2,则下列级数中和不是 1 的为( ) (A) 1 ? n ?1 n(n ? 1) ? (B) 1 ? n n ?1 2 ? (C) un ? n?2 2 ? (D) ?2 n ?1 ? un 四、求下列级数的和 1. 3n ? 2 n ? 5n n ?1 ? 2. ? (2n ? 1)(2n ? 1) n ?1 ? 1 3. ?( n ?1 ? n ? 2 ? 2 n ?1 ? n) 4. ? (2n ? 1)q n ?1 ? n ?1 ( q ? 1) 五、判断下列级数的收敛性。 1. 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? n ? ??? 3 6 9 3 2. 1 1 1 1 ? ? 3 ? ??? ? n ? ??? 3 3 3 3 3. 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 2 ? ? 3? ? ??? ? n ? 2 10 2 20 2 30 5n 2 六、已知 ? n ?1 ? u n 收敛,且 u n ? 0 , vn ? u2n?1 (n ? 1,2 ? ??) 求证: ?v n ?1 ? n 也收敛。 § 11.2 一、判断题 1.若正项级数 常数项级数的审敛法(1) ?u n ?1 ? ? n 收敛,则 ?u n ?1 ? 2 n 也收敛。 ( ) 2.若正项级数 二、填空题 1. ?u n ?1 n 发散,则 lim n ?? u n?1 ? r ? 1。 un ( ) ?n n ?1 ? ? 1 p ,当 p 满足条件 时收敛。 ? 2.若 ?u n ?1 n 为正项级数,且其部分和数列为 ?sn ? ,则 ?u n ?1 n 收敛的充要条件是 。 三、选择题 1. 下列级数中收敛的是 (A) ? ?n n ?1 n ? 1 n n (B) ? ? n ?1 4 3n ( C ) ( D ) ? ? ? n n ?1 n( n ? 2) n ?1 (n ? 1)(n ? 3) n ?1 n ? 2 ? 2. ?u n ?1 为正项级数,下列命题中错误的是 ? ? u n ?1 ? ? ? 1 ,则 ? u n 收敛。(B)如果 lim u n?1 ? ? ? 1 ,则 ? u n 发散。 un n ?? u n n ?1 n ?1 (A) 如果 lim n ?? (C)如果 ? u n?1 ? 1 ,则 ? u n 收敛。 un n ?1 (D)如果 ? u n?1 ? 1 ,则 ? u n 发散。 un n ?1 2. 判断 ? n ?1 ? 1 n 1? 1 n 的收敛性,下列说法正确的是( ) (A)?1 ? 1 ? 0. ?此级数收敛。 n (B)? lim n ?? 1 n 1? 1 n ? 0. ?此级数收敛。 (C)? 1 ? 1 . ?级数发散。 1 1? n n n (D)以上说法均不对。 四、用比较判断法或其极限形式判定下列级数的收敛性。 ? 1. ? 2n ? 1 n ?1 1 2. ? n ?1 ? n cos2 n? 3 (n ? 1) 3 3. 1 ? n ?1 (n ? 1)(n ? 3) ? 4. ? arctann n ?1 ? 2 5. 1 (1 ? cos ) ? n n ?1 ? 6. ? ( n ? sin n ) n ?1 ? ? ? 五、用比值判断法判断下列级数的收敛性。 1. n!

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