1.3 函数的基本性质——单调性与最值第二课时_图文

第一章 集合与函数概念

1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大(小)值
海南中学 唐盛彪 2013年9月18日

温故知新
y
f(x2) f(x1)

温故知新
y
f(x1) f(x2)

O

x1

x2

x

O

x1

x2

x

设函数y=f(x)的定义域为I,区间D ?I. 如果对于定义域I内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1,x2, 当x1<x2时,都有f(x1 ) < f(x2 ), 那么就说f(x)在区间 D 上是增 函 数,D称为f(x)的单调增区间.

设函数y=f(x)的定义域为I,区间D ? I. 如果对于定义域I内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1,x2, 当x1<x2时,都有 f (x1 ) > f(x2 ), 那么就说f(x)在区间D上是减函数, D称为f(x)的单调 减 区间.

温故知新

证明函数单调性的步骤:
1.取值:设任意x1、x2属于给定区间,且x1< x2
2.作差变形:作差f(x1)-f(x2)并适当变形; 3.定号:确定f(x1)-f(x2)的正负; 4.结论:由定义得出函数的单调性.

y
o y x x

y

在(-∞,+∞) 是减函数 在(-∞,0), (0,+∞)是 减函数
b ? ? - ?, - ? 在? 2a ? ?

在(o y x x

∞,+∞)是
增函数
在(-∞,0), (0,+∞)是 增函数
? b ? ? , ?? ? 在 ? 2a ? ?

o y o

o
y

x

是增函数 ? b ? ? , ?? ? 在 ? 2a ? ? 是减函数

o

x

是增函数 b ? ? - ? 在? - ?, 2a ? ? 是减函数

思考探索

1.确定函数的单调性有哪些手段和方法?

2.函数图象上升与下降反映了函数的单调性, 如果函数的图象存在最高点或最低点,它又 反映了函数的什么性质?

思考探索
观察下列两个函数的图象:
y
M
M

y

x

o

x0
图1

o
图2

x0

x

思考1:这两个函数图象有何共同特征?

函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称?
思考2:设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M, 则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小 关系如何?

形成概念
思考3:怎样定义函数f(x)的最大值?用什么符 号表示? 一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为I,如果存 在实数M满足: (1)对于任意的 x ? I , 都有 f ( x) ? M ; (2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M . 那么称M是函数 y ? f ( x) 的最大值,记作
ymax ? f ( x0 )

思考探索 观察下列两个函数的图象:
y y

m

m

o

x0
图1

x

x0

o
图2

x

思考1:这两个函数图象各有一个最低点,函数图 象上最低点的纵坐标叫什么名称? 思考2:仿照函数最大值的定义,怎样定义函数 f ( x) 的最小值?

形成概念
一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为I,如果存 在实数M满足: (1)对于任意的 x ? I , 都有 f ( x) ? M ; (2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M . 那么称M是函数 y ? f ( x) 的最大值,记作 ymax ? f ( x0 ) 一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为I,如果存 在实数m满足: (1)对于任意的 x ? I , 都有 f ( x) ? m ; (2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? m . 那么称m是函数 y ? f ( x) 的最小值,记作
ymin ? f ( x0 )

例题讲解
例3.“菊花”烟花是最壮观得烟花之一,制造时一般是 期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距离地面的高 度h(m)与时间t(s)之间的关系为

h(t ) ? ?4.9t ? 14.7t ? 18.
2

那么烟花冲出后什么时候是 它暴裂的的最佳时刻? 这时 距地面的高度是多少 (精确 到1m)?

例题讲解
2 作出函数 h ( t ) ? ? 4.9 t ? 14.7t ? 18.的图象, 解: 显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶

点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是

这时距地面的高度。

例题讲解
由二次函数的知识,对于函数

h(t ) ? ?4.9t 2 ? 14.7t ? 18.
我们有:

14.7 当t?? ? 1.5 时,函数有最大值 2 ? (?4.9)

4 ? (?4.9) ? 18 ? 14.72 h? ? 29. 4 ? (?4.9)
于是,烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻, 这时距地面的高度约为29m。

例题讲解
和最小值。

2 例4.求函数 y ? 在区间 [ 2, 6 ] 上的最大值 x ?1

例题讲解
解:设 x1 , x2 是区间 [ 2, 6 ] 上的任意两个实数, 且 x1 ? x2 ,则
2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? x1 ? 1 x2 ? 1
2[( x2 ? 1) ? ( x1 ? 1)] ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 2( x2 ? x1 ) ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

因为 2 ? x1 ? x2 ? 6 所以

x2 ? x1 ? 0, ( x1 ?1)(x2 ?1) ? 0,

例题讲解
于是
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0



f ( x1 ) ? f ( x2 )

端点上分别取得最大值与最小值,即在 x=2 时取 小值0.4。

2 所以函数 y ? 是区间 [ 2, 6 ] 上的减函数。 x ?1 2 因此,函数 y ? 在区间 [ 2, 6 ] 的两个 x ?1

得最大值,最大值是2,在x=6时取得最小值,最

和最小值。

2x 变式.求函数 y ? 在区间 [ 2, 6 ] 上的最大值 x ?1

课堂练习
1.已知函数 f ( x) ? 2 x ? mx ? 3
2

(1)若函数 f ( x ) 在 ? ?2, ?? ? 上是增函数, 在 ? ??, ?2? 上是减函数,求 f (1) ; (2)若函数 f ( x ) 在 ? ?2, ?? ? 上是增函数, 求实数 m 的取值范围.

(1) f (1) ? 13

(2) m ? ?8

课堂练习
2.求函数 f ( x) ? x ? 2x 在下列区间的最值
2

(1)

? 2, 4?

(2) ? ?3 , 2 ?
(2) ymin ? ?1, ymax ? 15

(1) ymin ? 0, ymax ? 8

变式训练
3.求函数 f ( x) ? x ? ax ? 3 ? a, x ???2,2? 的最小值.
2

练习1.已知函数f (x)=x2-2x,若x∈ [-3,2],求函数f(x)的最值.
ymin ? ?1; ymax ? 15

5.已知函数f (x)=x2-2x-3,若x∈ [t, t +2]时,求函数f(x)的最值.
解:f ( x) ? x ? 2x ? 3 ? ( x ?1) ? 4
2 2

其对称轴为x ? 1,由二次函数的性质, 有

1、当t ? 2 ? 1,即t ? ?1时,有

f min ( x) ? f (t ? 2) ? (t ? 2) ? 2(t ? 2) ? 3 ? t ? 2t ? 3
2 2

f max ( x) ? f (t ) ? t ? 2t ? 3
2

2、当t ? 1 ? t ? 2,即? 1 ? t ? 1时,有

f min ( x) ? f (1) ? 1 ? 2 ? 3 ? ?4
2

又f (t ? 2) ? f (t ) ? 4t

?当?1 ? t ? 0时,有f max ( x) ? f (t ) ? t 2 ? 2t ? 3
?当0 ? t ? 1时,有f max ( x) ? f (t ? 2) ? t 2 ? 2t ? 3
3、当t ? 1时,有

f min ( x) ? f (t ) ? t 2 ? 2t ? 3

f max ( x) ? f (t ? 2) ? t ? 2t ? 3
2

x ? 2x ? a 6 、 已知函数f(x)= , x∈[1,+∞). x 1 (Ⅰ)当a= 时,求函数f ( x )的最小值. 2
2

(Ⅱ)若对任意x∈[1,+∞),f (x)>0恒成立, 试求实数a的取值范围.

1 x ? 2x ? 1 1 2 解: (1)a ? 时,f ( x) ? ? x? ?2 2 x 2x 设1 ? x1 ? x2,则
2

1 1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? ? 2) ? ( x2 ? ? 2) 2 x1 2 x2 x2 ? x1 1 ? ( x1 ? x2 ) ? ? ( x1 ? x2 )(1 ? ) 2 x1 x2 2 x1 x2
2 x1 x2 ? 1 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2

?1 ? x1 ? x2, ? x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1, 2 x1 ? x2 ? 2, ? 2 x1 ? x2 ? 1 ? 0

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,即f ( x1 ) ? f ( x2 ).
? f ( x)在[1 , ? ?)上单调递增。
1 7 ? f min ( x) ? f (1) ? 1 ? ? 2 ? 2 2

x2 ? 2x ? a (2) ? f ( x) ? ? 0对于任意x ? [1,??)恒成立 x

即x 2 ? 2x ? a ? 0对于任意x ?[1,??)恒成立
2 2

?a ? ?( x ? 2x) ? ?( x ? 1) ? 1对任意x ?[1,??)恒成立

设g ( x) ? ?( x ? 1) ? 1 ,则g ( x)在[1,??)上单调递减
2

? gmax ( x) ? g (1) ? ?2 ? 1 ? ?3,
2

? a ? ?( x ? 1)2 ? 1对任意x ?[1,??)恒成立
? a ? ?3

课外作业: 证明:函数y=x+

(1)在区间[0,1] 是减函数 (2)在区间[-1,0]是减函数

1 x

(3)在区间(1,+ ∞)是增函数
(4)在区间(-∞,-1)是增函数
1 x

函数的奇偶性、单调性

—综合课

函数奇(偶)性、单调性的有关性质:
(1)若奇函数 y= f ( x)的定义域包含0,则 f (0) ? 0 (2)若奇函数 f ( x) 在 ? ??,0? 上递减,则在 ? 0, ???

上递减;若奇函数 f ( x) 在 ? ??,0? 上递增,则 在 ? 0, ??? 上递增;
(3)若偶函数 f ( x) 在 ? ??,0? 上递减,则在 ? 0, ??? 上递增;若偶函数 f ( x) 在 ? ??,0? 上递增,则 在 ? 0, ??? 上递减;

例题与练习 1.判断以下函数的奇偶性:

x( x ? 1) (1). f ( x) ? x ?1

(2). f ( x) ? ax ?1,(a ? 0)
2

(3).F ( x) ? f ( x) ? f (?x) ? 3

(f (x)是奇函数)

2.若 y ? ax2 ? bx ? 3在 ?3a,1 ? 2a?上是偶函数,则

a ? _____

,

b ? ______;

2x ? a 3.若 f ( x) ? x 是奇函数,则 2 ?a

a ?_____

;

4.已知 f ( x) ? ax5 ? bx?3 ? cx ? 7,若 f (1) ? 6 ,求 f (?1) 的值。

5.若y ? 2x ? mx ? 3 ,当? ?2, ?? ? 递增,当 ? ??, ?2?
2

时递减,则 m ? _____ , f (1) ? ______;
ax 2 ? 1 , ( a, b, c ? N ) 是奇函数,又 f (1) ? 2 6.若 f ( x) ? bx ? c f (2) ? 3 ,求 f ( x ) 的解析式。

7.若 f ( x) 在上 x ? ? ?1,1? 递减,且 f (1 ? a) ? f (2a ?1) , 求

a 的取值范围。

8.若 y ? 2x2 ? mx ? 3,当? ?2, ?? ? 递增,则 取值范围是______;

m




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