四川省乐山市2013届高三第二次诊断性考试--数学(理)


四川省乐山市 2013 届高三第二次诊断性考试

数学(理)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间为 120 分钟。 考试结束后,将本试卷和答题卡一并收回。 . 参考公式: 如果事件 A、B 互斥, 球的表面积公式 那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立, 那么 P(A· B)=P(A)· P(B) , 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P, S=4 ? R ;
2

其中 R 表示球的半径. 球的体积公式 V?

4 ? R3 ; 3

那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 Pn(k)=C k Pk(1-P)n k; n


其中 R 表示球的半径。

第Ⅰ 卷(选择题 共 50 分)
注意事项: 1.答题前,考生务必将自已的姓名、报名号用 0.5 毫米的黑色签字填写在答题卡上。并将条 形码粘贴在答题考的指定位置。 2.选择题用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,其他试题用 0.5 毫米黑色签字笔书 写在答题卡对应题框内,不得超越题框区域。在草稿纸、试卷上答题无效。 3.考试结束后,监考人员将本试题卷和答题卡分别收回并装袋。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.复数(i ? )2 等于 A.4 B.-4 C.4i D.-4i 2.设全集 U=R,A= {x|x<-4 或 x≥3},B={x|-l<x<6},则集合{x|-l<x<3}是 A. UA) ? (CUB)B.CU(A ? B) (C C. UA) ? B (C D.A ? B 3.给出如下四个命题:① 若“p 且 q”为假命题,则 p、q 均为假命题;② 命题“若 a>b,则 2a>2b-1” 的否命题为“若 a≤b,则 2a≤2b-1”;③ ?x ∈ “ R,x2 +1≥1"的否定是“ ?x ∈ R,x2+1<1”;④ 命题“若 cosx=cosy,则 x=y”的逆否命题为真命题。 其中正确的命题的个数是 A.4 B.3 C.2 D.l 4.已知正方体 ABCD-Al B1C1D1 的棱长为 a, AM ?

1 i

???? ?

1 ????? MC1 ,点 N 为 B1B 的中点,则|MN|= 2

A.

21 a 6

B.

6 a 6

C.

15 a 6

D.

15 a 3

5.已知圆 C 的方程为 x2+y2+2x-2y+l=0,当圆心 C 到直线 kx+y+4=0 的距离最大时,k 的值为

A.

1 5

B.-

1 5

C.-5
3

D.5

6.已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等,体积为 l2 3cm .其三视图中的俯视图如图所示,则 其左视图的面积是 A.4cm2 B. 2 3 cm2 C.8cm2 D. 4 3 cm2 7.铁矿石 A 和 B 的含铁率 a,冶炼每万吨铁矿石的 CO2 排放量 b 及每万吨铁矿石的价格 c 如下表: a A B 50% 70% B(万吨) 1 0.5 C(百万元) 3 6

某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨)铁,若要求 CO2 排放量不超过 2(万吨) ,则购买铁矿石的最 少费用为 A.16 百万元 B.15 百万元 C.14 百万元 D.13 百万元

? 1 x 3 ?( ) ? , x ? 2 8.已知函数 f(x)= ? 2 ,若函数 g(x)=f(x)-k 有两个不同的零点,则实数 k 的 4 ?1og 2 x, 0 ? x ? 2 ?
取值范围是 A. ( ,1)

3 4

B. (0, )

3 4

C. (??,1)

D. (0,1)

9.如果存在正整数 ? 和实数 ? ,使得函数 f(x)=cos2 (? x ? ? ) 的图象如图所示,且图象经过点(1, 0) ,那么 ? 的值为 A.4 B.3 C.2 D.l 10.定义方程 f(x)=f′(x) (f′(x)是 f(x)的导函数)的实数根 xo 叫做函数 f(x)的“新驻点”, 若函数 g(x)=x,h(x)=ln(x+1) ? (x)=x3-1 的“新驻点”分别为 ? 、 ? 、 ? ,则 ? 、 ? 、 ,

? 的大小关系为
A. ? > ? > ? B. ? ? ? ? ? C. ? ? ? ? ? D. ? ? ? ? ?

第Ⅱ 卷(非选择题 共 100 分)
注意事项: 1.考生须用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答,作图题可先 用铅笔画线,确认后用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚,答在试题卷上无效. 2.本部分共 11 小题,共 100 分. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上. 11.若 (2 x ? ) 展开式中各项的二项式系数之和为 32,则该展开式中含 x3
n

1 x

的项的系数为 。 12.执行如图所示的程序框图,若输入 x=2,则输出 y 的值为 。 13.设点 M 是半径为 R 的圆周上一个定点,其中 O 为圆心,连接 OM,在 圆周上等可能地取任意一点 N,连接 MN,则弦 MN 的长超过 2 R 的 概率为__ . 14.在平面直角坐标系中,以点(1,0)为圆心,r 为半径作圆,依次与抛 物线 y2=x 交于 A、B、C、D 四点,若 AC 与 BD 的交点 F 恰好为抛物线 的焦点,则 r= 。 15.设集合 X 是实数集 R 上的子集,如果 xo∈ 满足:对 ?a >0,都 ?x ∈ R X,使得 0<|x-xo|<a,那 么称 xo 为集合 X 的聚点,用 Z 表示整数集,则给出下列集合:

n | n ? Z , n ? 0} ; ② R\{0}(R 中除去元素 0) ; n ?1 1 ③ | n ? Z , n ? 0} ; { ④ 整数集 Z. n
①{ 其中以 0 为聚点的集合的序号有 . (写出所有正确集合的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知 a= (2sin( x ?

?
12

),cos( x ?

)), b ? (cos( x ? ), 2sin( x ? )) ,函数 12 12 12

?

?

?

b f ( x) ? a · ? 2cos2 x
(1)求 f(x)的最小正周期; (2)若函数 y=g(x)的图象是由 y=f(x)的图象向左平移 位长度得到的,当 x∈ [0,

? ]时,求 y=g(x)的最大值和最小值. 2

? 个单位长度,再向下平移 1 个单 4

17. (本小题共 12 分) 某校在一次“诊断性”考试中,对该年级的 1000 名考生的数学成绩进行统计分析,成绩的频率分 布直方图如图所示,规定 125 及其以上为优秀。 (1)下表是这次考试成绩的频数分布表,求正整数 a、b 值; 区间 [115,120) [120,125) [125,130) [130,135) [135 ,140] 人数 50 a 350 300 b

(2)现在要用分层抽样的方法从这 1000 人中抽取 40 人的成绩进行分析,求其中成绩为优秀的 学生人数; (3)在(2)中抽取的 40 名学生中,要随机选取 2 名学生参加座谈会,记“其中成绩为优秀的 人数”为 X,求 X 的分布列与数学期望.

18. (本小题共 12 分) 如图,在多面体 ABCD-EF 中,四边形 ABCD 为正方形,EF∥ AB,EF⊥ EA,AB=2EF,∠ AED= o 90 ,AE=ED,H 为 AD 的中点。 (1)求证:EH⊥ 平面 ABCD; (2)求二面角 A-FC-B 的大小.

19. (本小题共 12 分) 已知数列{an}有 al=a,a2=p(常数 p>0) ,对任意的正整数 n,Sn=a1+a2+…+an,并有 Sn 满足 Sn=

n(an ? a1 ) . 2

(1)试判断数列{an}是否是等差数列,若是,求其通项公式,若不是,说明理由; (2)令 Pn ?

Sn ? 2 Sn ?1 ? ,Tn 是数列{pn}的前 n 项和,求证:Tn-2n<3. Sn ?1 Sn ? 2

20. (本小题共 13 分) 已知椭圆 W 的中心在原点,焦点在 x 轴上;离心率为

6 ,椭圆短轴的一个端点与两焦点构成 3

的三角形的面积为 2 2 。椭圆 W 的左焦点为 F,过 x 轴的一点 M(-3,0)任作一条斜率不为 零的直线 l 与椭圆 W 交于不同的两点 A、B,点 A 关于 x 轴的对称点为 C. (1)求椭圆 W 的方程; (2)求证: CF ? ? FB(? ∈ ; R) (3)求△MBC 面积 S 的最大值.

??? ?

??? ?

21. (本小题共 14 分)

e 已知函数 f(x)=(x2-3x+3)· ,其定义域为_[-2,t](t>-2) ,设 f(-2)=m,f(t)=n。
(1)试确定 t 的取值范围,使得函数 f(x)在[-2,t]上为单调函数; (2)试判断 m,n 的大小并说明理由; (3)求证:对于任意的 t>-2,总存在 xo∈ (-2,t) ,满足 的个数,

x

f ?( xo ) 2 ? (t ? 1) 2 ,并确定这样的 xo xo e 3


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