高中数学必修二测试题十

高中数学必修二测试题十
班级 姓名 座号 一、选择题(本大题共 l0 小题,每小题 5 分,满分 50 分 ) 1. 下列说法正确的是( ). A.三点确定一个平面 B. 四边形一定是平面图形 C. 梯形一定是平面图形 D. 共点的三条直线确定一个平面 2. 已知过点 P(-2,m),Q(m,4)的直线的倾斜角为 45°,则 m 的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.两条平行直线 3x+4y-12=0 与 6x+8y+11=0 的距离是( ).
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A.

7 2

B.

2 7

C. 2

D. 7 )

4.直线 kx-y+1-3k=0,当 k 变动时,所有直线都通过定点( A. (1,0) B.(0,1) C.(3,1) D. (1,3)
2 2 2 2

5.两圆 x ? y ? 9 和 x ? y ? 8 x ? 6 y ? 9 ? 0 的位置关系是( A. 相离
2 2

)

B. 相交

C. 内切

D. 外切 ).
2 2 2

6. 圆 ( x ? 2 ) ? y ? 5 关于原点 (0, 0 ) 对称的圆的方程为(
2 2 2 2 2

A. ( x ? 2 ) ? y ? 5 ;B. x ? ( y ? 2 ) ? 5 ;C. ( x ? 2 ) ? ( y ? 2 ) ? 5 ; D. x ? ( y ? 2 ) ? 5 . 7.若两条不同的直线与同一平面所成的角相等,则这两条直线( ). A.平行 B.相交 C.异面 D. 以上皆有可能 8.已知球的内接正方体棱长为 1,则球的表面积为( ) A. ? B. 2 ? C. 3? D. 4 ? 9.如图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长相等的正方形, 俯视图是一个圆,那么这个几何体是( ).

A.棱柱 B.圆柱 C.圆台 D.圆锥 10. 如图①,一个圆锥形容器的高为 a ,内装有一定量的水.如果将容器倒置,这时所形成 的圆锥的高恰为
a 2

(如图②),则图①中的水面高度为(

).

A.

a 2



B.

a 3

3



C.

7 2

a



D. ? 1 ?
? ?

?

3

7 ? ?a ; 2 ? ?

二、填空题(本题共 5 题,每小题 5 分,共 25 分)
1

11.空间直角坐标系中点 A 和点 B 的坐标分别是(1,1,2)、(2,3,4),则 A B ? _______. 12.实数 x,y 满足 ( x ? 3) ? ( y ? 4 ) ? 1 ,则 x ? y 的最小值是_______________.
2 2
2 2

13.已知 ? 、 ? 是两个不同的平面,m、n 是平面 ? 及 ? 之外的两条不同直线.给出以下四 个论断: (1) m ? n ; (2) ? ? ? ; (3) n ? ? ; (4) m ? ? . 以以上四个论断中的三个 作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题______________. 14 .若直角三角形的两直角边为 a、b,斜边 c 上的高为 h,则 类比以上性质,如图,在正方体的一角上截取三棱锥 P-ABC, PO 为棱锥的高,记 M ?
1 PO
2

1 h
2

?

1 a
2

?

1 b
2

.

,N ?

1 PA
2

?

1 PB
2

?

1 PC
2
2

,那么

M,N 的大小关系是 M ___N (填 >,<或 =) 15.已知两点 A(-1,0),B(0,2),点 C 是圆 ( x ? 1) ? y ? 1 上任意一点,则 △ ABC 面积的最小值是______________. 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分 解答须写出文字说明、证明 过程和演算步骤 ) 16.(本小题满分 12 分)如图,在平行四边形 OABC 中,点 O 是原点,点 A 和点 C 的坐 标分别是(3,0)、(1,3),点 D 是线段 AB 上的动点。 (1)求 AB 所在直线的一般式方程; (2)当 D 在线段 AB 上运动时,求线段 CD 的中点 M 的轨迹方程.
2
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17.(本小题满分 12 分)如图是一个正四棱台的直观图,它的上底 面是边长为 2 的正方形, 下底面是边长为 4 的正方形, 侧棱长为 2, 侧面是全等的等腰梯形, 求此四棱台的表面积。
D1 A1 B1 C1

D

C

A

B

18.(本小题满分 12 分) 如图,在正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中, (1)求异面直线 A1 B 与 B1C 所成的角;(2)求证 平 面 A1 B D // 平 面 B1C D 1

2

D1

C1

A1

B1

D

C

A

B

19. (本小题满分 12 分) 如图,在矩形 ABCD 中,AB=3 3 ,BC=3,沿对角线 BD 将 BCD 折起,
D C

使点 C 移到点 Cˊ,且 Cˊ在平面 ABD 的射影 O 恰好在 AB 上 (1)求证:BCˊ⊥面 ADCˊ; A (2)求二面角 A—BCˊ—D 的正弦值。 20. (本小题满分 13 分) 如图所示,一隧道内设双行线公路,其截面由一段圆弧和一个长方形构成。已知隧道 总宽度 AD 为 6 3 m, 行车道总宽度 BC 为 2 11 m, 侧墙 EA、 高为 2m, FD 弧顶高 MN 为 5m。 (1)建立直角坐标系,求圆弧所在的圆的方程; (2)为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度 A 之差至少要有 0.5 m。请计算车辆通过隧道的限制高度是多少。
D

B

C'

B

21. (本小题满分 14 分)已知圆 C : x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,直线 l : y ? kx ,且 l 与
2 2

圆 C 相交于 P 、 Q 两点,点 M ? 0, b ? ,且 M P ? M Q .(1)当 b ? 1 时,求 k 的值;(2) 求关于 b 和 k 的二元方程;(3)求 k 的最小值.

3

高中数学必修二测试题十参考答案
一、选择题:(本大题共 l0 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 题 号 答 案 (1) C (2) A (3) A (4) C (5) B (6) A (7) D (8) C (9) B (10) D

二、填空题: (本题共 4 题,每小题 5 分,共 20 分) 11.3 ; 12.4 ;13. ②③④ ? ① 或 ①③④ ? ②;14. =;15. 2 ?
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5 2

;
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三、解答题:(本大题共 6 小题,满分 80 分 15.解:
( 1 )? A B // O C

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解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 )
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? A B 所 在 直 线 的 斜 率 k AB = k OC ?

3?0 1? 0

= 3 ? ? ? ? ? ?2 分 ????? 4分

? A B 所 在 直 线 的 方 程 是 y - 0 = 3 (x - 3 )即 3 x - y - 9 = 0 ( 2 )方 法 一 : 设 线 段 C A 、 C B 的 中 点 分 别 是 点 E 、 F , 由 题 意 可 知 , 点 M 的 轨 迹 是 ? A B C的 中 位 线 E F . 由 平 行 四 边 形 的 性 质 得 点 B 的 坐 标 是 ( 4 ,) , 3 由 中 点 坐 标 公 式 可 得 点 E的 坐 标 是 ( 同 理 点 F的 坐 标 是 ( 1+4 2 3 2 , 3+3 2 ),即 ( 5 2

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 7分

1+3 3+0 3 , ) , 即 ( 2 , ) ,? ? ? 8 分 ? 2 2 2 ,3), ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?9 分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 0 分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 分

? 线 段 EF的 方 程 是 y-

? 3( x - 2 ), 5 2 )

即 6 x ? 2 y ? 9 ? 0, (2 ? x ?

方 法 二 : 设 点 M 的 坐 标 是 ( x , y ) , 点 D 的 坐 标 是 ( x 0 , y 0 ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5分 由 平 行 四 边 形 的 性 质 得 点 B 的 坐 标 是 ( 4 ,) , 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6分

16.解:

? M 是 线 段 CD的 中 点
2

依 题 意 , 上 底 面? 1 下 底 面 的 3 面 积 分 别 是 2 x 和 y ?的 ?侧面是全等的等腰梯形,且侧棱长2 2 2 ?侧面高= 2 -? ? = 3 2 ? 点 D 在?线 段?A B 上 运 动
2 于 是 有 x 04? 2 x ? 1, y 0 ? 2 y ? 3 ? -2 ? 2

? x ?

0

,y ?

0

, 4

2

??????????????????????????? 7分 ??????????????????????????? 8分
??????? 7分

??????? 4分

1 - = 0 , (? 3 x0 4 则 侧 面 ? 3 x 为 y 0 ? 92 + 4 ) ? 3 = 3? 3 ) 面积0( 2 则 该 四 棱 台 的 表 面 积 S=2 +4 +3

? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9 分 ???9 ??
3

? 3 (2 x ? 1) - ( 2 y ? 3 ) - 2 = 0 , 9 2 即 6 x ? 2 y ? 9 ? 0 ,( 2 ? x ?

3 ? 4=20+12

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10分
? ? ? ? ? ? ?1 2 分

5 2

)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 分

17.解:
(1) ? A 1 D ,D B 和 B A 1 分 别 是 正 方 体 三 个 面 上 的 对 角 线 ? A 1D = D B = B A 1 ? ? B A 1D = 6 0 ? B 1 C //A 1 D ( 2 ) ? B 1 C //A 1 D , B 1 C ? 平 面 B A 1 D , A 1 D ? 平 面 B A 1 D ? B 1 C // 平 面 B A 1 D ? 同 理 可 证 B 1 D 1 // 平 面 B A 1 D 又 B 1C 和 B 1 D 1 是 平 面 B 1C D 1 上 的 两 相 交 直 线 ? 平 面 B 1 C D 1 // 平 面 B A 1 D ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 4 分
0

???????????3分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4 分
0

? B 1C 与 A 1 B 所 成 的 角 即 A 1 D 与 A 1 B 所 成 的 角 , 为 ? B A 1D = 6 0

? ? ? ? ? ?6 分

? ? ? ? ? ?8 分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 0 分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 分

4

18. 解:
(1 ) ? C ? O ? 平 面 A B D , D A ? 平 面 A B D ? C ?O ? D A 又 ? D A B = 9 0 , 即 D A ? A B , 且 C ?O ? A B = O
0

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2分

? D A ? 平 面 C ?A B 又 B C ? ? 平 面 C ?A B ? BC? ? DA
0

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4 分

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?6分

又 ? B C ?D = ? B C D = 9 0 , 即 B C ? ? C ?D , 且 C ?D ? D A = D ? BC? ? 平 面 ADC?
(2 ) ? B C ? ? 平 面 A D C ? , A C ? ? 平 面 A D C ? , D C ? ? 平 面 A D C ? ? B C ? ? A C ?, B C ? ? D C ? ? ? A C ? D 即 所 求 二 面 角 A -B C ? -D 的 平 面 角 又 由 (1 ) 知 D A ? 平 面 C ? A B , A C ? ? 平 面 C ? A B ? D A ? A C ?, 即 ? D A C ?为 直 角 三 角 形 其 中 , D A = B C = 3 , D C ?= D C = A B = 3 ? 所 求 为 s in ? A C ? D = DA DC? ? 3 3 3 ? 3 3 3 。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 4 分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 0 分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 分

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?8 分

19.

解:
( 1 ) 以 E F 所 在 直 线 为 x轴 , 以 M N 所 在 直 线 为 y轴 , 以 1 m 为 单 位 长 度 建 立 直 角 坐 标 系 。 2分 ? 则 有 E (-3 3 ,0 ) , F (3 3 ,0 ) , M (0 ,3 ),
2 2

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3分 ? r
2

由 于 所 求 圆 的 圆 心 在 y 轴 上 , 所 以 设 圆 的 方 程 为 (x -0 ) + (y -b ) ? F (3 3 ,0 ) , M (0 ,3 ) 都 在 圆 上

??????????????? 4分

? (3 3 ) 2 + b 2 ? r 2 ? ? ? , 2 2 2 ? 0 + (3 -b ) ? r ? 解 得 b ? ? 3, r
2

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?6 分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?8 分
2

? 36
2

所 以 圆 的 方 程 是 x + (y + 3 ) 方法二:

? 36

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 0 分

以 E F 所 在 直 线 为 x轴 , 以 M N 所 在 直 线 为 y轴 , 以1 m 为 单 位 长 度 建 立 直 角 坐 标 系 。 ? ? ? 2分 设 所 求 圆 的 圆 心 为 G, 半 径 为 r,则 点 G在 y轴 上 在 R t ? G O E 中 , E |= 3 |O
2

??????????????? 3分 ???????????????5分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 7分 ???????????????8分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 0 分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 分 ? ? ? ? ?1 2 分

3,

|G E |= r ,
2

|O G |= r -3 ,
2

则 由 勾 股 定 理 , r = (3

3) + ( r -3 ), 解 得 r = 6

则 圆 心 G的 坐 标 为 (0,-3), 圆 的 方 程 是 x + (y + 3 )
2 2

? 36

(2)设 限 高 为 h,作 C P ? AD , 交 圆 弧 于 点 P, 则 |CP|=h+0.5 。 将 点 P的 横 坐 标 x= 1 1代 入 圆 的 方 程 , 得 1 1 + (y + 3 )
2 2

? 3 6 , 得 y = 2 ,或 y = - 8 ( 舍 )

所 以 h=|CP|-0.5=(y+|DF|)-0.5=(2+2)-0.5=3.5(m) 答 : 车 辆 的 限 制 高 度 为 3.5m。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 3 分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 4 分

20 解: (1)圆 C:, ? x ? 1 ? ? ? y ? 1 ? ? 1
2 2

……1 分

当 b=1 时,点 M ? 0, b ? 在圆 C 上, 当且仅当直线 l 经过圆心 C 时, 满足 M P ? M Q
? 圆心 C 的坐标为(1,1),代入 y=kx

……2 分

5

. ?k ?1 (2)设 P ( x 1 , y 1 ) ,又 ( x 2 , y 2 )
?x2 ? y2 ? 2x ? 2 y ?1 ? 0 由? ? y ? kx

……4 分

得: (1 ? k ) x ? 2 ( k ? 1) x ? 1 ? 0
2 2

……6 分
1

则 x1 ? x 2 ? ? ∵ MP⊥MQ

2 ( k ? 1) k ?1
2

,

x1 x 2 ?

k

2

?1

……8 分

∴ k MP ? k MQ ?

y1 ? b x1

?

y2 ? b x2

? ?1

……9 分

∵ y 1 ? kx 1 , y 2 ? kx 2 ∴ ?
? y1 ? b x1
2

?

y2 ? b x2

?

kx 1 ? b kx 2 ? b ? x1 x2
2

k x 1 x 2 ? kb ( x 1 ? x 2 ) ? b x1 x 2 x1 ? x 2 x1 x 2
2 2

? k ? kb
2

?

b

x1 x 2
2 2

? k ? 2 kb ( k ? 1) ? b ( k ? 1)

……11 分 ……12 分

化简得: b ?
2

2 k ( k ? 1) k ?1
2

b ?1? 0

(3)将(2)中关于 b、k 的二元方程看作关于 b 的一元二次方程,k 为参数 ∵ b 有实数解 ∴△ ? (
2 k ( k ? 1) k ?1
2

) ? 4 ≥0
2

解之得 k≥1 ∴ k 的最小值为 1.

……14 分

6


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