必修5第二章《数列》选择题精选多练(四)详解详析


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第二章《数列》选择题精选多练(四)详解详析
姓名:________ 座号:________ 得分:________

046.等比数列 {an } 中, an > 0 , a2a4 ? 2a3a5 ? a4a6 ? 25 ,则 a3 ? a5 等于 A. 5 【答案】A. B. 10 C. 15 D. 20



A )

【解析】根据等比数列的性质得 (a3 ? a5 ) ? 25 ,又 an > 0 ,故 a3 ? a5 ? 5 .故选 A.
2

【点评】本题运用了等比数列的一个性质: an ? an?1 ? an?1 .
2

047.等差数列 {an } 的前 m 项和为 30 ,前 2m 项和为 100 ,则它的前 3m 项和等于 A. 30 【答案】D. B. 130 C. 170



D )

D. 210

10 20 m( m ? 1) ? ? d ? 30 ? a1 ? m ? m 2 ? Sm ? ma1 ? ? ? 2 【解一】由已知条件,得 ? ,解得 ? ,故 ? S2 m ? 2ma1 ? 2m(2m ? 1) d ? 100 ? d ? 40 ? ? ? 2 m2 ?
3m(3m ? 1) d ? 210 .故选 D. 2 ① ? m( a1 ? am ) ? 60 ? m( a ? a ) ? 100 ② ? 1 2m 【解二】由已知,得 ? ,由③ ? ②及② ? ①结合④, S3m ? 210 . ?3m( a1 ? a3m ) ? 2 S3m ③ ? a3 m ? a 2 m ? a 2 m ? a m ④ ? S3m ? 3ma1 ?
【解三】根据等差数列前 n 项和的性质可知: Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m 成等差数列,故 Sm ?

( S3m ? S2m ) ? 2( S2m ? Sn ) ,故 S3m ? 3( S2m ? Sm ) ? 3 ? 70 ? 210 .故选 D.
【解四】因 {an } 是等差数列,故设 Sn ? an ? bn ,故 Sm ? am ? bm ? 30 , S2m ? 4m a ? 2mb
2 2 2

20 10 2 b? ,故 S3m ? 9m a ? 3mb ? 210 .故选 D. 2 , m m n( n ? 1) S d S S d ,得 n ? a1 ? (n ?1 ,由此可知 { n } 也成等差数列,即 m , ) 【解五】由 Sn ? na1 ? 2 n 2 n m S 2 m S3m 2 S 2 m S m S3m ? ? , 成等差数列,故 ,又 Sm ? 30 , S2m ? 100 ,得 S3m ? 210 . 2m 3m 2m m 3m
? 100 ,联立解得 a ?
【解六】取 m ? 1 ,则 a1 ? S1 ? 30 , a2 ? S2 ? S1 ? 70 ,故 d ? a2 ? a1 ? 40 ,故 a3 ? a2 ? d ?

70 ? 40 ? 110 ,故 S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? 30 ? 70 ? 110 ? 210 .故选 D.
【点评】本题解法较多,技巧性较强,可开阔思路,应探索研究,寻求简捷的解题方法. 048.各项均为正数的等比数列 {an } 中, a1 ? 3 ,前三项和 S3 ? 21 ,则 a3 ? a4 ? a5 为 A. 68 B. 84 C. 96
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B )

D. 187

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【答案】B. 【解析】由 S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? a1 (1 ? q ? q ) ? 3(1 ? q ? q ) ? 21,故 q ? q ? 1 ? 7 ,解得 q ? 2
2 2
2

或 q ? ?3 ,故 a3 ? a4 ? a5 ? a1q (1 ? q ? q ) ? 3 ? 2 ? 7 ? 84 .故选 B.
2 2 2

【点评】本题在解题中运用了整体思想. 049.已知 {an } 、 {bn } 均为等比数列,那么 A. {an ? bn } 、 {an ? bn } 都一定是等比数列 B. {an ? bn } 一定是等比数列,但 {an ? bn } 不一定是等比数列 C. {an ? bn } 不一定是等比数列,但 {an ? bn } 一定是等比数列 D. {an ? bn } 、 {an ? bn } 都不一定是等比数列 【答案】C. 【解析】若 an ? (?1) , bn ? (?1)
n n?1

( C )

,则 {an ? bn } 不是等比数列;若 {an } 的公比为 q1 , {bn } 的

公比为 q2 ,则

an ?1bn ?1 ? q1q2 ? 常数.故选 C. an bn

【点评】注意等比数列各项均不为零. 050.若 a 、 b 、 c 成等比数列,则函数 y ? ax ? 3bx ? c 的图象与 x 轴的交点的个数是 (
2

C )

A. 0 【答案】C.

B. 1

C. 2

D. 1 或 2

【解析】由题意得 a 、 b 、 c 均不为 0 ,且 b ? ac ,故 ? ? (3b) ? 4ac ? 5b > 0 .
2

2

2

051.公比为整数的等比数列 {an } 中,若 a1 ? a4 ? 18 , a2 ? a3 ? 12 ,则此数列的前 8 项和( A. 502 【答案】B. 【解析】因 B. 510 C. 513 D. 520

B )

1 a1 ? a4 1 ? q3 1 ? q ? q2 18 3 ? ? ? ? ,即 2q2 ? 5q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 2 或 q ? 2 2 a2 ? a3 q ? q q 12 2
3 3

(舍去).又 a1 ? a1q ? a1(1 ? q ) ? 18 ,故 a1 ? 2 ,故 S8 ?

2(1 ? 2 ) ? 510 .故选 B. 1? 2
8

【点评】要注意等比数列各项均不为零,否则容易误选为 D. 052.下面的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列, 每一纵行成等比数列,则 a ? b ? c 的值为 A. 4 【答案】D. 【解析】由题意得 a ? B. 3 C. 2 ( D ) D. 1

1 0.5

2 1 a b c

1 1 3 ,设等差数列的公差为 d ,则 d ? ,故第 1 行的各个数依次是 1 , , 2 2 2 5 1 3 5 3 5 1 5 1 4 3 2 , ,3 ; 2 行的各个数依次是 , ,1 , , ;b ? ? ( )3 ? 第 ,c ? 3 ? ( ) ? , 2 2 4 4 2 2 2 16 2 16 1 5 3 ? ? 1 .故选 D. 故a ?b ? c ? ? 2 16 16
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【点评】求 a 、 b 、 c 时要注意找出每行、每列的首项、公差或公比. 053.等比数列 {an } 中, a1 ? 512 ,公比 q ? ? 则 b1 , b2 ,…中,最大的是 A. b8 【答案】B. 【解析】因 a1 > 0 , q < 0 ,故当 n 为偶数时, an < 0 ,故排除 C、D,又 a9 ? 2 ,故 b8 < b9 . 故选 B. 054.在等比数列 {an } 中,若前 10 项的和为 20 ,第 11 项到第 20 项的和为 80 ,则第 21 项到第 30 项 的和为 A. 160 【答案】B. B. 320 C. 640 ( D. 1280 B ) B. b9 C. b10 D. b11

1 ,用 bn 表示它的前 n 项之积,即 bn ? a1a2a3 ??? an , 2
( B )

【解析】由题意知 S10 ? 20 , S20 ? S10 ? 80 ,又 S10 , S20 ? S10 , S30 ? S20 成等比数列,故

( S20 ? S 10)2 S30 ? S 20 ? ? 320 .故选 B. S10
【点评】 本题运用了等比数列前 n 项和 Sn 的一个性质: 若数列 {an } 是等比数列, Sk ,S2k ? Sk , 则

S3k ? S2k (三项都不为 0 )也成等比数列.
055.等比数列 {an } 的首项为 1 ,公比为 q ,前 n 项的和为 S ,由原数列各项的倒数组成一个新数 列{

1 } 的前 n 项的和为 an
qn B. S
C.



D )

1 A. S
【答案】D.

1 n qS

D.

S n ?1 q

【解析】举特殊例子 1 , 2 , 4 , 8 ,计算得 S ? 15 , S ?
/

15 S ? 4?1 .也可用直接法,当 q ? 1 时 8 q

1 n qn q ? 1 1 / S ? ? ? ;当 q ? 1 时,显然也满足.故选 D. 1 q ? 1 q n ?1 1? q 1?
【点评】特值法是解数列类选择题时经常运用的一种技巧.若数列 {an } 是等比数列,且其公比为

q ,则数列 {

1 1 } 也是等比数列,且其公比为 . q an

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056.已知 {an } 是首项为 1 的等比数列, Sn 是 {an } 的前 n 项和,且 9S3 ? S6 ,则数列 { 和为 15 A. 或 5 8 【答案】C. 【解析】由题意易知 q ? 1 ,则 9 ? 31 B. 或 5 16 C. 31 16

1 } 的前 5 项 an
( C )

15 D. 8

3 6 1 1 1? q 1? q ,解得 q ? 2 ,故数列 { } 是以 1 为首项,以 ? 2 an 1? q 1? q

为公比的等比数列,由求和公式可得 S5 ?
*

31 .故选 C. 16
n 2 2 2

057.等比数列 {an } 对任意 n ? N 都有 a1 ? a2 ? ??? ? an ? 2 ? 1 ,则 a1 ? a2 ? ??? ?an ? ( A. 4 ? 1
n

C )
2

B. (2 ? 1)
n

2

C. (4 ? 1)
n

1 3
2

D. (2 ? 1)
n

1 3

【答案】C. 【解析】由题意得 S ? 2 ? 1 ,进而可得 an ? 2
n

n ?1

,故 an ? 4

n ?1

,显然数列 {an } 也是等比数列,

2

故其前 n 项和 S ?
/

1? 4 1 ? (4n ? 1) .故选 C. 1? 4 3
n

【点评】若数列 {an } 是等比数列,且其公比为 q ,则数列 {an } 也是等比数列,且其公比为 q . 本题也可用特值法来解,如取 n ? 1 , 2 . 058.等比数列 {an } 的首项为 8 , Sn 是其前 n 项和,某同学经计算得 S2 ? 20 , S3 ? 36 , S4 ? 65 , 后来该同学发现其中一个算错了,则算错了的是 A. S1 【答案】C. B. S2 C. S3 ( D. S4 C )

?

?

【解析】因 {an } 是等比数列,又 a1 ? 8 ,故由 S2 ? a1 ? a2 ? a1(1 ? q) ? 20 ,得 q ?

3 ;同理由 2

S3 ? 36 ,得 q ?

3 ?1 ? 15 ;由 S4 ? 65 ,得 q ? .故 S3 算错了.故选 C. 2 2

【点评】 本题运用了等比数列前 n 项和 Sn 的一个性质: 若数列 {an } 是等比数列, Sk ,S2k ? Sk , 则

S3k ? S2k (三项都不为 0 )也成等比数列.
059.设 {an } 是公比为 a (a ? 1) ,首项为 b 的等比数列, Sn 是其前 n 项和,对任意的 n ? N ,点
*

( Sn , Sn?1 ) 应
A.在直线 y ? ax ? b 上 C.在直线 y ? bx ? a 上 【答案】A. 【解析】求出 Sn , Sn ?1 ,再逐个验证.因 Sn ? B.在直线 y ? bx ? a 上 D.在直线 y ? ax ? b 上

( A )

n b b(1 ? a ) ba n ? (a ? 1) , aSn ? b ? a ( ) 1? a 1? a 1? a

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?b ?

ba b ba b(1 ? a ) ? ? ? ? Sn ?1 ,即 Sn?1 ? aSn ? b ,即点 ( Sn , Sn?1 ) 在直线 1? a 1? a 1? a 1? a

n ?1

n ?1

n ?1

y ? ax ? b 上.故选 A.
【点评】本题计算量较大,务必细心.另外,本题也可用特值法快速求解,显然点 ( S1, S2 ) 为

(b, b ? ab) ,该点只在直线 y ? ax ? b 上.
060.在由正数组成的等比数列 {an } 中,如果 a4a5a6 ? 3 ,那么 log3 a1 ? log3 a2 ? log3 a8 ? log3 a9 的值是 A. 2 【答案】D.
1
4 4



D )

3 B. 4

C. 3

4 3

D.

4 3

【解析】由 a4a5a6 ? 3 ,得 a5 ? 3 ,故 a3 ? 33 ,故原式 ? log3 a5 ? log3 33 ?
3

4 .故选 D. 3

【点评】对于对数式,我们应该想到利用对数性质来进行多项合并的变形简化处理,这样可出现 连乘式,便于根据等比性质求解.

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