《高考调研》2015届高考数学总复习(人教新课标理科)配套课件:8-5 直线、平面垂直的判定及性质_图文

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第5课时

直线、平面垂直的判定及性质

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1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解 空间中线面垂直的有关性质与判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关 系的简单命题.

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请注意!

纵观近几年高考题,始终围绕着垂直关系命题,这突出了垂 直关系在立体几何中的重要地位,又能顺利实现各种关系的转 化 , 从 而 体 现 了 能 力 命 题 的 方 向 . 特 别 是 线 面 垂 直 , 集 中 了 证 明 和计算的中心内容.

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1.直 线 与 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 如 果 一 条 直 线 与 平 面 内 的 两 条 线 与 这 个 平 面 推 论 一 条 直 线 也

相交 直 线 垂 直 , 那 么 这 条 直

垂直 .
如 果 在 两 条 平 行 直 线 中 , 有 一 条 垂 直 于 平 面 , 那 么 另

垂直 于 这 个 平 面 .

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2.直 线 与 平 面 垂 直 的 性 质 定 理 1 ( ) 如 果 两 条 直 线 垂 直 于

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同一个平面, 那 么 这 两 条 直 线 平 行 .

2 ( ) 如 果 一 条 直 线 垂 直 于 一 个 平 面 , 那 么 它 就 和 平 面 内 的 任意一条 直 线 垂 直 . 3.平 面 与 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 如 果 一 个 平 面 面 互 相 垂 直 . 4.平 面 与 平 面 垂 直 的 性 质 定 理 如 果 两 个 平 面 互 相 垂 直 , 那 么 在 一 个 平 面 内 的 直 线 垂 直 于 另 一 个 平 面 .
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经过了另一个平面的一条垂线 , 那 么 两 个 平

垂直于它们交线.

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1.“直线 l 垂直于平面 α 内的无数条直线”是“l⊥α”的 ( A. 充 分 不 必 要 条 件 C.充要条件
答案 B

)

B.必要不充分条件 D. 既 不 充 分 又 不 必 要 条 件

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2. 已 知 m、n 是 两 条 不 同 的 直 线 , ( )

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α、β、γ 是 三 个 不 同 的 平

面 , 则 下 列 命 题 中 正 确 的 是

A. 若 α⊥γ,α⊥β, 则 γ∥β B. 若 m∥n,m?α,n?β, 则 α∥β C. 若 m∥n,m∥α, 则 n∥α D. 若 m∥n,m⊥α,n⊥β, 则 α∥β
答案 D

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解 析 与 平 面

对 于 选 项

A, 两 平 面

β 、γ 同 垂 直 于 平 面 B, 平 面 n可 能 与 平 面

α, 平 面

β

γ可 能 平 行 , 也 可 能 相 交 ; 对 于 选 项 C, 直 线

α、β 可 能 α平 行 , 也

平 行 , 也 可 能 相 交 ; 对 于 选 项 可 能 在 平 面 α内 ; 对 于 选 项 D.

D,由 m∥n,m⊥α,∴n⊥α.又 n⊥

β,∴α∥β, 故 选

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3. 设 b,c 表 示 两 条 直 线 , 中 真 命 题 是 ( )

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α,β 表 示 两 个 平 面 , 下 列 命 题

A. 若 b?α,c∥α, 则 b∥c B. 若 b?α,b∥c, 则 c∥α C. 若 c∥α,c⊥β,则 α⊥β D. 若 c∥α,α⊥β, 则 c ⊥β
答案 C

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解析 如果一条直线平行于一个平面, 它不是与平面内的所 有直线平行,只有部分平行,故 A 错;若一条直线与平面内的 直 线 平 行 , 该 直 线 不 一 定 与 该 平 面 平 行 , 该 的 直 线 , 故 直线可能是该平面内

B错 ; 如 果 一 个 平 面 与 另 一 个 平 面 的 一 条 垂 线 平 行 ,

那么这两个平面垂直,这是一个真命题,故 C 对;对 D 来讲, 若 c∥α,α⊥β,则 c 与 β 的位置关系不定,故选 C.

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4.2 ( 0 1 3 ·

课 标 全 国

Ⅱ)已知 m,n 为异面直线,m⊥平面 α,n )

⊥平面 β.直线 l 满足 l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,则( A.α∥β 且 l∥α B.α⊥β 且 l⊥β C.α 与 β 相交,且交线垂直于 l D.α 与 β 相交,且交线平行于 l
答案 D

解析 因为 m⊥α,l⊥m,l?α,所以 l∥α.同理可得 l∥β. 又因为 m,n 为异面直线,所以 α 与 β 相交,且 l 平 行 于 它 们的交线.故选 D.
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5. 在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,AC=BC= AA1=2,∠A C B =90° ,E 为 BB1 的中点,∠A1DE=9 0 ° . 求证:CD⊥平面 A1ABB1.

答案



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证 明 连 接 A1E,EC,

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∵AC=BC=2,∠A C B =9 0 ° ,∴AB=2 2. 设 AD=x, 则 BD=2 2-x. ∴A1D2=4+x2,DE2=1+(2 2-x)2,A1E2=(2 2)2+1 . ∵ ∠ A1DE=9 0 ° ,∴A1D2+DE2=A1E2.∴x= 2. ∴D 为 AB 的 中 点 . ∴CD⊥AB.

又 AA1⊥CD, 且 AA1∩AB=A, ∴CD⊥平面 A1ABB1.

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例1 如 图 所 示 , 已 知 别是 AB,PC 的中点. 1 ( ) 求证:MN⊥CD;

PA⊥矩形 A B C D

所 在 平 面 ,

M,N 分

2 ( ) 若∠P D A =45° ,求证:MN⊥平面 P C D .

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【 解 析 】

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1 ( ) 连 接 AC,∵PA⊥平面 A B C D 中 , N 为 PC 中 点 .



∴PA⊥AC, 在 Rt△P A C 1 ∴AN=2PC. ∵PA⊥平面 A B C D

,∴PA⊥BC.

又 BC⊥AB,PA∩AB=A, ∴BC⊥平面 P A B ,∴BC⊥PB. 从 而 在 Rt△PBC 中,BN 为 斜 边 PC 上 的 中 线 ,

1 ∴BN=2PC.∴AN=BN,∴ △ ABN 为 等 腰 三 角 形 .
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又M为 底 边 的 中 点 ,

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∴MN⊥AB, 又 AB∥CD,∴MN⊥CD. 2 ( ) ∵ ∠P D A =4 5 ° ,PA⊥AD,∴AP=AD. ∵A B C D 为 矩 形 , ∴AD=BC,∴PA=BC. ∴AM=BM.

又∵M 为 AB 的 中 点 ,

而∠P A M =∠C B M =9 0 ° , ∴PM=CM, 又 N 为 PC 的 中 点 , ∴MN⊥PC.

由1 ( ) 知 MN⊥CD,PC∩CD=C,∴MN⊥平 面 P C D .
【答案】 1 ( ) 略 2 ( ) 略
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探 究 1 证 线 面 垂 直 的 方 法 有 :

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1 ( ) 利 用 判 定 定 理 , 它 是 最 常 用 的 思 路 . 2 ( ) 利 用 线 面 垂 直 的 性 质 : 若 两 平 行 线 之 一 垂 直 于 平 面 , 则 另 一 条 线 必 垂 直 于 该 平 面 . 3 ( ) 利 用 面 面 垂 直 的 性 质 : 垂 直 于 交 线 的 直 线 垂 直 于 另 一 平 面 . ②若 两 相 交 平 面 都 垂 直 于 第 三 个 平 面 , 则 它 们 的 交 线 垂 直 于 第 三 个 平 面 . ①两平面互相垂直,在一个面内

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思考题 1 A B C D

如 图 所 示 , 四 棱 锥

P-A B C D

中,PA⊥底面

,AB⊥AD,AC⊥CD,∠A B C =60° ,PA=AB=BC,E 是

PC 的 中 点 . 求 证 : 1 ( ) CD⊥AE; 2 ( ) PD⊥平面 ABE.
【证明】 1 ( ) ∵PA⊥底面 A B C D ∴CD⊥PA. 又 CD⊥AC,PA∩AC=A, 故 CD⊥平面 P A C ,AE?平面 P A C . 故 CD⊥AE.
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2 ( ) ∵PA=AB=BC,∠ABC=6 0 ° , 故 PA=AC. ∵E 是 PC 的 中 点 , 故 由1 ( ) 知 CD⊥AE, 由 于 AE⊥PC. PC∩CD=C,

从 而 AE⊥平 面 P C D , 故 AE⊥PD. 易 知 BA⊥PD, 故 PD⊥平 面 ABE.
【答案】 1 ( ) 略 2 ( ) 略

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例2 1 ( ) △ABC 为 正 三 角 形 , CE=CA=2BD,M 是 EA 的 中 点 , 求 ①DE=DA; ②平 面 B D M ⊥平 面 E C A ; ③平 面 D E A ⊥平 面 E C A .

EC⊥平 面 A B C ,BD∥CE,且 证 :

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【 证 明 】

①取 EC 的 中 点

F, 连 接

DF.

∵BD∥CE,∴DB⊥BA.又 EC⊥BC, 在 Rt△EFD 和 Rt△D B A 中 ,

1 ∵EF=2EC=BD,FD=BC=AB, ∴Rt△EFD≌Rt△D B A ,∴DE=DA.

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②取 CA 的 中 点 N, 连 接

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1 MN、BN, 则 MN 綊2EC. B D M 内 .

∴MN∥BD,∴N 点 在 平 面

∵EC⊥平面 ABC,∴EC⊥BN. 又 CA⊥BN,∴BN⊥平 面 E C A . ∵BN?平面 B D M ,∴平 面 B D M ⊥平 面 E C A . ③ ∵ DM∥BN,BN⊥平 面 E C A , ∴DM⊥平 面 E C A ,又 DM?平 面 D E A , ∴平 面 D E A ⊥平 面 E C A .
【答案】 ①略 ②略
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③略
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2 ( ) 已 知 平 面

P A B ⊥平面 ABC, 平 面

P A C ⊥平面 ABC.AE⊥平

面 PBC,E 为垂足. ①求证:PA⊥平面 ABC; ②当 E 为△PBC 的 垂 心 时 , 求 证 : △ABC 是直角三角形.

【思路】 已知条件“平面 P A B ⊥平面 ABC,??”, 想 到 面面垂直的性质定理,便有如下解法.

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【 证 明 】 ①在 平 面 ABC 内 取 一 点

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D, 作 DF⊥AC 于 F. AC,∴DF⊥平 面 P A C .

平 面 P A C ⊥平 面 ABC, 且 交 线 为 又 PA?平面 P A C , ∴DF⊥PA.作 DG⊥AB 于 G, 同 理 可 证 : DG⊥PA. ABC 内 , 且

DG、DF 都 在 平 面 ∴PA⊥平面 ABC.

DG∩DF=D,

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②连 接 BE 并 延 长 交 ∵E 是△P B C 又 已 知 的 垂 心 , PC 于 H, ∴PC⊥BH.

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AE 是 平 面

PBC 的 垂 线 ,

PC?平 面 PBC,

∴PC⊥AE.又 BH∩AE=E,∴PC⊥平 面 ABE. 又 AB?平 面 ABE,∴PC⊥AB. ∵PA⊥平面 ABC,∴PA⊥AB. 又 PC∩PA=P,∴AB⊥平 面 P A C . 又 AC?平面 P A C ,∴AB⊥AC. 即△ABC 是 直 角 三 角 形 .
【答案】 ①略 ②略
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探 究 2

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由1 ( ) 应 掌 握 证 明 两 平 面 垂 直 常 转 化 为 线 面 垂 直 , 利

用 判 定 定 理 来 证 明 . 也 可 作 出 二 面 角 的 平 面 角 , 证 明 平 面 角 为 直 角 , 利 用 定 义 来 证 明 . 由2 ( ) 已 知 两 个 平 面 垂 直 时 , 过 其 中 一 个 平 面 内 的 一 点 作 交 线 的 垂 线 , 则 由 面 面 垂 直 的 性 质 定 理 可 得 此 直 线 垂 直 于 另 一 个 平 面 , 于 是 面 面 垂 直 转 化 为 线 面 垂 直 , 由 此 得 出 结 论 : 两 个 相 交 平 面 同 时 垂 直 于 第 三 个 平 面 , 则 它 们 的 交 线 也 垂 直 于 第 三 个 平 面 . ②的 关 键 是 灵 活 利 用 ①题 的 结 论 .

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思考题 2 2 ( 0 1 · 平面 P A D ⊥平面 A B C D AP,AD 的 中 点 .

江苏)如图所示,在四棱锥 P-A B C D

中,

,AB=AD,∠B A D =60° ,E,F 分别是

求证:1 ( ) 直线 EF∥平面 P C D ; 2 ( ) 平面 BEF⊥平面 P A D .

【 解 析 】 点 , 所 以 又 因 为 所 以 直 线

1 ( ) 在△P A D

中 , 因 为

E,F 分 别 为

AP,AD 的 中

EF∥PD. EF?平 面 P C D ,PD?平面 P C D , EF∥平 面 P C D .
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2 ( ) 连 接 BD.因 为 AB=AD,∠B A D =6 0 ° , 所 以 △ABD 为 正 三 角 形 . 因 为 因 为 平 面 F 是 AD 的 中 点 , 所 以 P A D ⊥平 面 A B C D , =AD, 所 以 BF⊥平 面 P A D . BEF⊥平面 P A D . , BF⊥AD.

BF?平 面 A B C D

平 面 P A D ∩平 面 A B C D 又 因 为

BF?平 面 BEF, 所 以 平 面

【答案】 1 ( ) 略 2 ( ) 略
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例 3 如图 所 示 , 在 直 角 梯 形

A B E F

中 , 将

D C E F

沿 CD 折

起使∠F D A =60° ,得到一个空间几何体.

1 ( ) 求证:BE∥平面 A D F ; 2 ( ) 求证:AF⊥平面 A B C D 3 ( ) 求 三 棱 锥 E—B C D ;

的体积.

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【 解 析 】 之 后 平 行 关 系 不 变 . 又 因 为

1 ( ) 由 已 知 条 件 , 可 知

BC∥AD,CE∥DF, 折 叠

BC?平 面 A D F ,AD?平面 A D F ,

所 以 BC∥平 面 A D F .同 理 CE∥平 面 A D F . 又 因 为 所 以 平 面 BC∩CE=C,BC,CE?平 面 B C E , B C E ∥平 面 A D F .

所 以 BE∥平 面 ADF.

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2 ( ) 由 于 ∠F D A =6 0 ° ,FD=2,AD=1, 所 以 AF2 = FD2 + AD2 - 2×FD×AD×c o s F D A =4+1- 1 2×2×1×2=3 . 即 AF= 3. 所 以 AF2+AD2=FD2.所 以 AF⊥AD. 又 因 为 DC⊥FD,DC⊥AD,AD∩FD=D, AF?平 面 A D F ,

所 以 DC⊥平 面 A D F .又 因 为 所 以 DC⊥AF.

因 为 AD∩DC=D,AD,DC?平面 A B C D 所 以 AF⊥平 面 A B C D .
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3 ( ) 因为 DC⊥EC,DC⊥BC,EC,BC?平面 EBC,EC∩BC =C,所以 DC⊥平面 EBC.又 因 为 =60° ,所以∠E C B =6 0 ° . 又因为 EC=1,BC=1,所以 S△C E B 所以 VE-C B D 1 3 3 =2×1×1× 2 = 4 . DF∥EC,AD∥BC,∠F D A

1 1 3 3 =VD-EBC=3×DC×S△E C B = ×1× 3 4 = 12 .

3 【答案】 1 ( ) 略 2 ( ) 略 3 ( ) 12

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探究 3 以棱柱或棱锥为载体, 综合考查直线与平面的平行、 垂直关系是高考的一个重点内容.解决这类问题时,核心是熟练 掌 握 平 行 、 垂 直 等 的 判 定 定 理 以 及 性 质 定 理 , 通 过 不 断 利 用 这 些 定理,进行平行与垂直关系的转化,证得问题结论.

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思 考 题 底 面 A B C D =2 . 1 ( ) 求 证 : AC⊥平 面 BB1C1C; 2 ( ) 在 A1B1 上 是 否 存 在 一 A C B 平 行 ? 证 明 你 的 结 论 . 1都 点 P, 使 得 3 2 ( 0 1 4 · 是 直 角 梯 形 , 潍 坊 质 检 )直 棱 柱

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A B C D

-A1B1C1D1 中,

∠BAD=∠A D C =9 0 ° , AB=2AD=2CD

DP 与 平 面

B C B

平 面 1和

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【 解 析 】 A B C D

1 ( ) ∵直 棱 柱

A B C D

- A1B1C1D1 中, BB1 ⊥平面

,∴BB1⊥AC. 又∵∠BAD=∠A D C =90° ,AB=2AD=2CD=2, ∴AC= 2,∠C A B =4 5 ° . ∴BC= 2.∵BC2+AC2=AB2,∴BC⊥AC. 又 BB1∩BC=B,BB1?平面 BB1C1C, BC?平面 BB1C1C,∴AC⊥平面 BB1C1C.

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2 ( ) 存 在 点 P,P 为 A1B1 的 中 点 .

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由 P 为 A1B1 的 中 点 , 有

1 PB1∥AB, 且 PB1=2AB.

1 又∵DC∥AB,DC=2AB, ∴DC∥PB1, 且 DC=PB1. ∴DCB1P 为 平 行 四 边 形 , 从 而 又 CB1?平 面 A C B ∴DP∥平面 A C B
【答案】 1 ( ) 略 2 ( ) P 为 A1B1 的中点时, DP 与平面 B C B
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CB1∥DP. A C B
1, 1.

面 1,DP?平 理 , 1.同

DP∥平 面 B C B

平 面 1和

A C B

平 行 . 1都
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1.判 定 线 面 垂 直 的 方 法 主 要 有 三 种 : 1 ( ) 利 用 定 义 ; 2 ( ) 利 用 判 定 定 理 (垂 直 于 两 相 交 直 线 ); a∥b? α∥β? ? ? ??b⊥α, ??a⊥β. a⊥α? a⊥α? ? ?

3 ( ) 与 平 行 关 系 联 合 运 用 , 即

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2.判定面面垂直的方法,主要有两种: 1 ( ) 利 用 定 义 : 判 定 两 平 面 相 交 所 成 的 二 面 角 为 直 角 ; 2 ( ) 利 用 判 定 定 理 : 一 个 平 面 经 过 另 一 个 平 面 的 垂 线 .

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1.2 ( 0 1 4 ·

成 都 一 诊

)设 α、β 是两个不同的平面,a、b 是两 )

条不同的直线,给出下列四个命题,其中真命题是( A.若 a∥α,b∥α,则 a∥b B.若 a∥α,b∥β,a∥b,则 α∥β C.若 a⊥α,b⊥β,a⊥b,则 α⊥β D.若 a、b 在平面 α 内的射影互相垂直,则 a⊥b
答案 C

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解 析

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与 同 一 平 面 平 行 的 两 条 直 线 不 一 定 平 行 , 所 以

A 错 B 错 OA、OB 确 定 的 平 面 分 O A C B

误 ; 与 两 条 平 行 直 线 分 别 平 行 的 两 个 平 面 未 必 平 行 , 所 以 误 ; 如 图 1 ( ) , 设 OA∥a,OB∥b, 直 线

别 交 α、 β 于 AC、 BC, 则 OA⊥AC, OB⊥BC, 所 以 四 边 形 为 矩 形 , ∠A C B 如 图2 ( ) , 直 线 为 二 面 角 a、b 在 平 面 α-l-β 的 平 面 角 , 所 以 α内 的 射 影 分 别 为 C.

α⊥β, C正 确 ; m、n, 显 然 m⊥n,

但 a、b 不 垂 直 , 所 以

D错 误 , 故 选

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2.2 ( 0 1 2 · 沿 矩 形 的 对 角 线 浙江)已 知 矩 形 A B C D

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,AB=1,BC= 2.将△ABD ( BD 垂 直 CD 垂 直 BC 垂 直 )

BD 所 在 的 直 线 进 行 翻 折 , 在 翻 折 过 程 中 , AC 与 直 线 AB 与 直 线 AD 与 直 线

A. 存 在 某 个 位 置 , 使 得 直 线 B. 存 在 某 个 位 置 , 使 得 直 线 C. 存 在 某 个 位 置 , 使 得 直 线 D. 对 任 意 位 置 , 三 对 直 线 “AD 与 BC”均 不 垂 直
答案 B

“AC 与 BD”,“AB 与 CD”,

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解析 对于 AB⊥CD, 因 为

BC⊥CD, 可 得

CD⊥平面 A C B ,

因此有 CD⊥AC.因为 AB=1,BC= 2,CD=1,所以 AC=1, 所以存在某个位置,使得 AB⊥CD.

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3. 如图所示,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90° , BC1⊥AC,则 C1 在面 ABC 上 的 射 影 A.直线 AB 上 B.直线 BC 上 C.直线 CA 上 D.△ABC 内部
答案 A

H 必在(

)

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解析 ∵CA⊥AB,CA⊥BC1,AB∩BC1=B, ∴CA⊥平面 ABC1.∴平面 ABC⊥平面 ABC1. ∴过 C1 作垂直于平面 ABC 的 直 线 在 平 面 ∴H∈AB. ABC1 内.

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4.2 ( 0 1 3 ·

辽宁)如图所示,AB 是圆的直径,PA 垂 直 圆 所 在

的平面,C 是圆上的点. 求证:平面 P A C ⊥平面 PBC.

答案



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解析 由 AB 是圆的直径,得 AC⊥BC. 由 PA⊥平面 ABC,BC?平面 A B C ,得 PA⊥BC. 又 PA∩AC=A,PA?平面 P A C ,AC?平面 P A C , 所以 BC⊥平面 P A C .因为 BC?平面 PBC. 所以平面 PBC⊥平面 P A C .

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5.2 ( 0 1 2 ·

陕西) 1 ( ) 如 图 所 示 , 证 明 命 题

“a 是平面 π 内的一

条直线,b 是 π 外 的 一 条 直 线

(b 不垂直于 π),c 是直线 b 在 π 上

的投影,若 a⊥b,则 a⊥c”为真; 2 ( ) 写 出 上 述 命 题 的 逆 命 题 , 并 判 断 其 真 假 (不需证明).

答案 1 ( ) 略 2 ( ) 略

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解 析 1 ( ) 方 法 一 : 如 图 所 示 ,

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过 直 线 的 方 向 向 量 分 别 是

b上 任 一 点 作 平 面

π的 垂 线

n, 设 直 线

a,b,c,n

a,b,c,n, 则 b,c,n 共 面 . λ,μ 使 得 c=λb+μn,则

根 据平 面 向 量 基 本 定 理 , 存 在 实 数 a· c=a· (λb+μn)=λ(a· b)+μ(a· n). 因 为 a⊥b, 所 以 又 因 为 a· b=0 .

a?π,n⊥π, 所 以
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a· n=0, 故 a· c=0, 从 而
授人以渔 自助餐

a⊥c.
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方 法 二 : 如 图 所 示 ,

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记 c∩b=A,P 为 直 线 PO⊥π, 垂 足 为

b上 异 于 点

A的 任 意 一 点 , 过

P作

O, 则 O∈c.

∵PO⊥π,a?π,∴直 线 PO⊥a. 又 a⊥b,b?平 面 P A O ,PO∩b=P, ∴a⊥平 面 P A O , 又 c ?平 面 P A O ,∴a⊥c.
课前自助餐 授人以渔 自助餐

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2 ( ) 逆 命 题 为

:a 是平面 π 内的一条直线,b 是 π 外的一条直 b 在 π 上的投影,若 a⊥c,则 a⊥b.

线(b 不垂直于 π),c 是 直 线 逆命题为真命题.

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6. 如 图 所 示 , 四 棱 锥 △P A D 为 等 腰 三 角 形 ,

P-A B C D

中 , 四 边 形

A B C D

为 矩 形 , ,

∠APD=90° ,平面 P A D ⊥平面 A B C D

且 AB=1,AD=2,E、F 分别为 PC、BD 的 中 点 . 1 ( ) 证明:EF∥平面 P A D ; 2 ( ) 证 明 : 平 面 3 ( ) 求 四 棱 锥 P D C ⊥平面 P A D ; P—A B C D 的体积.

2 答案 1 ( ) 略 2 ( ) 略 3 ( ) 3

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解析 1 ( ) 如图所示,连接 AC. ∵四边形 A B C D 为 矩 形 且 F 是 BD 的中点,

∴F 也是 AC 的中点. 又 E 是 PC 的中点,EF∥AP, ∵EF?平面 P A D ,PA?平面 P A D ,∴EF∥平面 P A D .

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2 ( ) 证 明 : ∵面 P A D ⊥平面 A B C D 面A B C D =AD,

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,CD⊥AD, 平 面

P A D ∩平

∴CD⊥平面 P A D . ∵CD?平面 P D C ,∴平 面 P D C ⊥平 面 P A D . 3 ( ) 取 AD 的 中 点 为 O.连 接 PO. ,△P A D 为 等 腰 直 角 三 角 形 , P—A B C D 的 高 .

∵平 面 P A D ⊥平 面 A B C D ∴PO⊥平面 A B C D

,即 PO 为 四 棱 锥

∵AD=2,∴PO=1 . 又 AB=1, ∴四 棱 锥 P—A B C D 的 体 积
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1 2 V=3PO· AB· AD=3.
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课时作业(五十二 )

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