辽宁省大连市第二十高级中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 文

2015-2016 学年度上学期期末考试 高二数学(文科)试卷
考试时间:120 分钟 试题分数:150 分 卷Ⅰ 一、选择题: 本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 对于常数 m 、 n ,“ mn ? 0 ”是“方程 mx2 ? ny 2 ? 1 的曲线是双曲线”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 2. 命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定 是 .. A.所有不能被 2 整除的数都是偶数 C.存在一个不能被 2 整除的数是偶数 3. 已知椭圆 D.既不充分也不必要条件

B.所有能被 2 整除的数都不是偶数 D.存在一个能被 2 整除的数不是偶数

x2 y2 ? ? 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 7 ,则 P 到另一焦点距离为 25 16

A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 4 . 在一次跳伞训练中 ,甲、乙两位学员各跳一次 , 设命题 p 是“甲降落在指定范围”, q 是 “乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降 落在指定范围”可表示为 A. ? ?p ? ? ? ?q ? B. p ? ? ?q ? C. ? ?p ? ? ? ?q ? D. p ? q

5. 若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 3 ,则其渐近线的斜率为 a 2 b2
B. ?

A. ?2 6. 曲线 y ?

1 2

C. ? 2

D. ?

2 2

? sin x 1 ? 在点 M ( , 0) 处的切线的斜率为 4 sin x ? cos x 2
B. ?

A.

2 2

2 2

C.

1 2

D. ?

1 2

7. 已知椭圆

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) ? ? 1 的焦点恰好是一个正方形 的焦点与双曲线 2a 2 2b 2 a2 b2
1

的四个顶点,则抛物线 ay ? bx2 的焦点坐标为 A. (

3 ,0 ) 4

B. (

3 ,0 ) 12

C. (0,

3 ) 12

D. (0,

3 ) 4

8.设 z1 , z2 是复数, 则下列命题中的假命题是 A.若 | z1 |?| z2 | , 则 z12 ? z2 2 C.若 | z 1 |?| z 2 | , 则 z1· z1 ? z2 · z2 B.若 z1 ? z2 , 则 z1 ? z2 D.若 | z1 ? z2 |? 0 , 则 z1 ? z2

9. 已知命题“若函数 f ( x) ? ex ? mx 在 (0, ??) 上是增函数,则 m ? 1 ”,则下列结论正确的 是 A.否命题“若函数 f ( x) ? ex ? mx 在 (0, ??) 上是减函数,则 m ? 1 ”是真命题 B.逆否命题“若 m ? 1 ,则函数 f ( x) ? e ? mx 在 (0, ??) 上不是增函数”是真命题
x

C.逆否命题“若 m ? 1 ,则函数 f ( x) ? ex ? mx 在 (0, ??) 上是减函数”是真命题 D.逆否命题“若 m ? 1 ,则函数 f ( x) ? ex ? mx 在 (0, ??) 上是增函数”是假命题 10. 马云常说“便宜没好货”,他这句话 的意思是:“不便宜 ”是“好货”的 A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2 11. 设 a ? 0 , f ( x) ? ax ? bx ? c ,曲线 y ? f ( x) 在点 P ( x0 , f ( x0 ) )处切线的倾斜角的

取值范围是 [0, A. [ 0, ]

?
4

] ,则 P 到曲线 y ? f ( x) 对称轴距离的取值范围为
B. [0,
3

1 a

b ?1 ] 2a
2

C. [0,

b ] 2a

D. [0,

1 ] 2a

12. 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 有两个极值点 x1 , x2 ,若 f ( x1 ) ? x1 ? x2 ,则关于 x 的 方程 3( f ( x)) ? 2af ( x) ? b ? 0 的不同实根个数为
2

A.2

B.3

C. 4

D. 5

卷Ⅱ 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 设复数 z ?

3?i ,那么 z ? z 等于________. 2
2

14. 函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 2 在区间 x ?[?1,1] 上的最大值是________. 15. 已知函数 f ( x) ? ln x ? f '(1) x 2 ? 5 x ? 4 ,则 f (1) =________. 16. 过抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜角为 45 的直线,与抛物线分别交于 A 、 B 两
?

点( A 在 y 轴左侧) ,则

AF ? FB



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 已知 z 是复数, z ? 2i 和 (Ⅰ)求复数 z ; (Ⅱ)求

z 均为实数( i 为虚数单位). 2?i

z 的模. 1? i

18.(本小题满分 12 分) 已知集合 A ? ?x | (ax ?1)(ax ? 2) ? 0? ,集合 B ? ?x | ?2 ? x ? 4?. 若 x ? B 是 x ? A 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分) 设椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0), 点 O 为坐标原点,点 A , B 分别为椭圆的右顶点和上 a 2 b2
5 . 10

顶点,点 M 在线段 AB 上且满足 | BM |? 2 | MA | ,直线 OM 的斜率为 (Ⅰ)求椭圆的离心率;

(Ⅱ)设点 C 为椭圆的下顶点, N 为线段 AC 的中点,证明: MN ? AB . 20. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?

a 3 3 2 x ? x ? (a ? 1) x ? 1 (其中常数 a ? R ). 3 2

(Ⅰ)已知函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值;
3

(Ⅱ)已知不等式 f '( x) ? x2 ? x ? a ? 1 对任意 a ? (0, ??) 都成立,求实数 x 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C1 :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,且椭圆上点到椭圆 C1 左焦点距离的最 2 a b 2

小值为 2 ? 1 . (Ⅰ)求 C1 的方程; (Ⅱ)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2 : y 2 ? 4x 相切,求直线 l 的方程.

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? a( x ?1) ? ( x ?1) (其中常数 a ? R ).
2

(Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? 0 ,求实数 a 的取值范围.

4

2015-2016 学年度上学期期末考试高二数学(文科)参考答案 一.选择题 CDBAC CDABB DB 二.填空题

1

2

?1

3? 2 2

三.解答题 17. 解: (Ⅰ)设 z ? a ? bi ,所以 z ? 2i ? a ? (b ? 2)i 为实数,可得 b ? ?2 ,

a ? 2i 2a ? 2 ? (a ? 4)i ? 为实数,所以 a ? 4 ,即 z ? 4 ? 2i .┅┅┅┅┅┅┅5 分 2?i 5 z 4 ? 2i ? ? 1 ? 3i ,所以模为 10 ┅┅┅┅┅┅┅10 分 (Ⅱ) 1? i 1? i 2 1 2 1 a ? 0 时, A ? [? , ] , 18.解: (1) 若 x ? B 是 x ? A 的充分不必要条件, 所以 ?2 ? ? , 4 ? , a a a a 1 1 0 ? a ? ,检验 a ? 符合题意;┅┅┅┅┅┅┅4 分 4 4 A ? R (2) a ? 0 时, ,符合题意;┅┅┅┅┅┅┅8 分 1 2 1 2 (3) a ? 0 时, A ? [ , ? ] ,若 x ? B 是 x ? A 的充分不必要条件,所以 ?2 ? , 4 ? ? , a a a a 1 1 ? ? a ? 0 ,检验 a ? ? 不符合题意. 2 2 1 1 综上 a ? ( ? , ] .┅┅┅┅┅┅┅12 分 2 4 2a b , ) ,┅┅┅┅┅┅┅3 19.解(Ⅰ)已知 A ( a,0) , B (0, b) ,由 | BM | ?2| MA| ,可得 M ( 3 3
又因为 分 所以

b 5 c 2 5 ,所以椭圆离心率 ? ;┅┅┅┅┅┅┅6 分 ? a 5 a 5
a 2 b 2

(Ⅱ)因为 C (0,?b) ,所以 N ( ,? ) , MN 斜率为 又 AB 斜率为 ?

5b ,┅┅┅┅┅┅┅9 分 a

b 5b b ,所以 ? ( ? ) ? ?1 ,所以 MN ? AB .┅┅┅┅┅┅┅12 分 a a a

2 20.解: (Ⅰ) f ' ( x) ? ax ? 3x ? a ? 1 ,因为 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,所以

f ' (1) ? a ? 3 ? a ? 1 ? 0 ,解得 a ? 1 ,┅┅┅┅┅┅┅3 分
此时 f ' ( x) ? x ? 3x ? 2 ? ( x ? 1)(x ? 2) ,
2

5

x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 为增函数; 1 ? x ? 2 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 为减函数;
所以 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极大值,所以 a ? 1 符合题意;┅┅┅┅┅┅┅6 分

x 2 ? 2x (Ⅱ) f ' ( x) ? ax ? 3x ? a ? 1 ? x ? x ? a ? 1 ,所以 a ? 2 对任意 a ? (0, ??) 都成 x ?2
2 2
2 立,所以 x ? 2 x ? 0 ,所以 ? 2 ? x ? 0 .┅┅┅┅┅┅┅12 分

21. 解 :( Ⅰ ) 设 左 右 焦 点 分 别 为 F1 (?c,0), F2 (c,0) , 椭 圆 上 点 P 满 足

| PF1 | ? | PF2 |? 2a,?2c ?| PF1 | ? | PF2 |? 2c, 所 以 a ? c ?| PF1 |? a ? c, P 在 左 顶 点 时

| PF1 | 取到最小值 a ? c ? 2 ? 1 ,又

c 1 ? ,解得 a ? 2, c ? 1, b ? 1 ,所以 C1 的方程为 a 2

c x2 ? y 2 ? 1 .( 或 者 利 用 设 P( x, y) 解 出 | PF1 |? a ? x 得 出 | PF1 | 取 到 最 小 值 a 2

a ? c ? 2 ? 1 , 对 于 直 接 说 明 P 在 左 顶 点 时 | PF1 | 取 到 最 小 值 的 , 酌 情 扣 分 ) ;
┅┅┅┅┅┅┅4 分 (Ⅱ)由题显然直线 l 存在斜率,所以设其方程为 y ? kx ? m ,┅┅┅┅┅┅┅5 分

x2 ? y 2 ? 1 ,得到 联立其与 2

(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx? 2m 2 ? 2 ? 0 , ? ? 0 ,化简得 m 2 ? 2k 2 ? 1 ? 0 ┅┅┅┅┅┅┅8 分
联立其与 C2 : y 2 ? 4x ,得到

k 2 y ? y ? m ? 0 , ? ? 0 ,化简得 km ? 1 ? 0 ,┅┅┅┅┅┅┅10 分 4
解得 k ?

2 2 ,m ? 2 或 k ? ? ,m ? ? 2 2 2 2 2 x? 2 或y ?? x ? 2 ┅┅┅┅┅┅┅12 分 2 2
6

所以直线 l 的方程为 y ?

22. (Ⅰ) f '( x) ?

1 ?2ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 ? 2a( x ? 1) ? 1 ? , x x

设 g ( x) ? ?2ax2 ? (2a ?1) x ? 1( x ? 0) ,该函数恒过 (1, 0) 点. 当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0,1) 增, (1, ??) 减;┅┅┅┅┅┅┅2 分

1 1 1 ), (1, ??) 增, ( ? ,1) 减;┅┅┅┅┅┅┅4 分 时, f ( x ) 在 (0, ? 2 2a 2a 1 1 1 , ??) 增, (1, ? ) 减;┅┅┅┅┅┅┅6 分 当 0 ? a ? ? 时, f ( x ) 在 (0,1), (? 2a 2 2a 1 当 a ? ? 时, f ( x ) 在 (0,1), (1, ??) 增. ┅┅┅┅┅┅┅8 分 2 1 (Ⅱ)原函数恒过 (1, 0) 点,由(Ⅰ)可得 a ? ? 时符合题意. ┅┅┅┅┅┅┅10 分 2 1 1 1 1 ), (1, ??) 增, ( ? ,1) 减,所以 f ( ? ) ? 0 ,不符合题意. 当 a ? ? 时, f ( x ) 在 (0, ? 2 2a 2a 2a
当a ? ? ┅┅┅┅┅┅┅12 分

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