上海2013届高三理科数学最新试题精选(13份含16区二模)分类汇编4:平面向量

上海 2013 届高三理科数学最新试题精选(13 份含 16 区二模)分类汇编 4:平面向量 姓名____________班级___________学号____________分数______________
一、选择题 . (上海徐汇、松江、金山区 2013 年高考二模理科数学试题)如图所示,向量 BC 的模是向量 AB 的模的 t

??? ?

??? ?

倍, AB与BC 的夹角为 ? ,那么我们称向量 AB 经过一次 ?t , ? ? 变换得到向量 BC .在直角坐标平面内, 设起始向量 OA1 ? ?4, 0 ? ,向量 OA1 经过 n ? 1 次 ?
*

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

????

????

? 1 2? , ?2 3

??????? ? An ?1 An ?n ? N *, n ? 1? , 变换得到的向量为 ? ?

其中 Ai , Ai ?1 , Ai ? 2 (i ? N ) 为逆时针排列,记 Ai 坐标为 ?ai , bi ??i ? N *? ,则下列命题中不正确 的是 ...
C

? B

A

第 18 题图 ( ) B. b3k ?1 ? b3k ? 0 ?k ? N *? D. 8 ?ak ? 4 ? ak ?3 ? ? ?ak ?1 ? ak ? ? 0 ?k ? N *?

A. b2 ?

3

C. a3k ?1 ? a3k ?1 ? 0 ?k ? N *?

. (上海市普陀区 2013 届高三第二学期(二模)质量调研数学(理)试题)如图,△ ABC 是边长为 1 的正三

角形,点 P 在△ ABC 所在的平面内,且 | PA | ? | PB | ? | PC | ? a ( a 为常数).下列结论中,正确的
2 2 2



A .当 0 ? a ? 1 时,满足条件的点 P 有且只有一个.[来源:Z,xx,k.Com] B .当 a ? 1 时,满足条件的点 P 有三个. C .当 a ? 1 时,满足条件的点 P 有无数个. D .当 a 为任意正实数时,满足条件的点 P 总是有限个. A P

B

第 18 题

C

. (2013 届浦东二模卷理科题)已知

a ? 3, b ? 4, (a ? b) ? (a ? 3b) ? 33, 则 a 与 b 的夹角为 (C ) 2? 3 ( D) 5? 6

( A)

?
6

( B)

?
3

二、填空题 . ( 上 海 徐 汇 、 松 江 、 金 山 区 2013 年 高 考 二 模 理 科 数 学 试 题 ) 如 图 , O 为 直 线

A0 A2013 外 一 点 , 若

???? ? ? ?????? ? ? ? ? A0 , A1 , A2 , A3 , A4 , A5 ,?? , A2013 中任意相邻两点的距离相等,设 OA0 ? a, OA2013 ? b ,用 a, b 表示 ???? ??? ? ???? ?????? OA0 ? OA1 ? OA2 ? ?? ? OA2013 ,其结果为____________.
A2013

A2 A1 O A0 第 12题图

(四区 . (静安杨浦青浦宝山) 联考 2012 学年度第二学期高三 (理) ) 已知两个不相等的平面向量 ? , ? ( ?

? 0)

满足| ? |= 2,且 ? 与 ? - ? 的夹角为 120°,则| ? |的最大值是_____________. 设 OA ? ?x, a ? x ?, OB . (上海市闸北区 2013 届高三第二学期期中考试数学(理)试卷) 且 OA ? OB ,则函数 f ( x) ? log a

? ?x,2 ?, x ? ? 1,2 ?,

1 x ? 1 的最大值为_____. a ?

. (上海市普陀区 2013 届高三第二学期(二模)质量调研数学(理)试题)若圆 C 的半径为 3,单位向量 e 所

在的直线与圆相切于定点 A ,点 B 是圆上的动点,则 e ? AB 的最大值为___________.
.( 上 海 市 黄 浦 区 2013 年 高 考 二 模 理 科 数 学 试 题 ) 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 , 若

? ??? ?

??? ? ???? ??? ? ??? ? AB ? 2, AD ? 1, ?BAD ? 60? ,则 AB ? BD ? ___________.

. (上海市长宁、嘉定区 2013 年高考二模数学(理)试题 )已知向量 a

? (?2,2), b ? (5, k ).若 | a ? b | 不 超

过 5,则 k 的取值范围是____________.
. (上海市八校 2013 届高三下学期联合 调研考试数学(理)试题)已知正方形 ABCD 的边长为 1, 点 E 是 AB

边上的动点, DE ? DC 的最大值为____.
. (2013 届闵行高三二模模拟试卷 (数学) 理科) 已知 ?ABC 的外接圆的圆心为 O , AC

? 6, BC ? 7, AB ? 8,

则 AO ? BC ? _______.
. ( 2013 届 闵 行 高 三 二 模 模 拟 试 卷 ( 数 学 ) 理 科 ) 已 知 e1、e2 是 夹 角 为

??? ? ??? ?

?

?

?
2

的两个单位向量,向量

? ? ? ? ? ? ? ? a ? e1 ? 2e2 , b ? ke1 ? e2 , 若 a // b ,则实数 k 的值为_____________.
三、解答 题 . (上海市闸北区 2013 届高三第二 学期期中考试数 学(理)试卷)本题满分 14 分

已 知 a ? (cos ? , sin ? ) 和 b ? ( 2 ? sin ? , cos ? ) ,

? ? (? ,2? ) , 且 | a ? b |?

8 2 , 求 sin ? 与 5

?? ? ? cos? ? ? 的值. ?2 8?
. (上海市黄 浦区 2013 年高考二模理科数学 )本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

已知复数 z1 ? sin x ? ? i, z2 ? (sin x ? 3 cos x) ? i ( ? , x ? R, i 为虚数单位) (1)若 2 z1 ? z2i ,且 x ? (0, ? ) ,求 x 与 ? 的值; (2)设复数 z1 , z2 在复平面上对应的向量分别为 OZ1 , OZ 2 ,若 OZ1 ? OZ 2 ,且 ? ? f ( x) ,求 f ( x) 的 最小正周期和单调递减区间.

???? ? ???? ?

???? ?

???? ?

. (2013 届浦东二模卷理科题 )本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 5 分,第(2)小题满分 9 分.

已知向量 m ? ?1,1? , 向量 n 与向量 m 的夹角为 (1)求向量 n ;

??

?

??

? ?

?? ? 3? ,且 m ? n ? ?1 . 4

(2)若向量 n 与 q ? (1, 0) 共线,向量 p ? ? 2 cos

?

? ?

? ? ? C 依次成等差数列,求 n ? p 的取值范围.

? ?

2

C ? , cos A ? ,其中 A 、C 为 ?ABC 的内角,且 A 、 B 、 2 ?

上海 2013 届高三理科数学最新试题精选(13 份含 16 区二模)分类汇编 4:平 面向量参考答案 一、选择题

D C C 二、填空题

? ? 1007( a ? b)
三、解答题

4 3 3

? 1 ? log a (1 ? a )

3

?3

[ ?2 , 6]

1

?14 ;

1 ? ; 2

解: a ? b ? (cos ? ? sin ? ?

2 , cos ? ? sin ? )

| a ? b |? (cos ? ? sin ? ? 2 ) 2 ? (cos ? ? sin ? ) 2 ? 4 ? 2 2 (cos ? ? sin ? )

?? ? ? 2 1 ? cos?? ? ? . 4? ?
由 | a ? b |?

8 2 ?? 7 ? ,得 cos?? ? ? ? . 5 4 ? 25 ?

?? ?? 24 ? ? ? sin ?? ? ? ? ? 1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? . 4? 4? 25 ? ?
31 2 17 2 ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? 或 ?sin? ? ?? ? ? ? ? sin?? ? ? cos ? cos?? ? ? sin ? ? 4 4? 4? 4 4? 4 50 50 ? ? ?
? ? ? ? ? 2? ,

?sin? ? ?
又 cos?? ?

31 2 . 50

? ?

??

?? 2?? ? ? 2 cos ? ? ? ? 1 , 4? ?2 8?

? ? ? ? 16 cos 2 ? ? ? ? . ? 2 8 ? 25 ? 5? ? ? 9? ?? ? ? ? ? ,? cos?? ? ? ? 0 , 8 2 8 8 4? ?


4 ?? ? ? ? cos? ? ? ? ? . 5 ?2 8?
解:? a ? b ? ( 2 ? sin ? ? cos ? ,sin ? ? cos ? )

? ?

? ?2 128 ? a ? b ? ( 2 ? sin ? ? cos ? )2 ? (sin ? ? cos ? )2 ? 4 ? 2 2(sin ? ? cos ? ) ? 25

? sin ? ? cos ? ? ?
2

7 2 25



由 (sin ? ? cos ? ) ? 1 ? 2sin ? cos ? ?

98 527 ? 0, ,得 2sin ? cos ? ? 625 625

3 ?? ? (? , ? ) 2

? sin ? ? cos ? ? ? 1 ? 2sin ? cos ? ? ?

24 2 25



由①、②得 sin ? ? ? 又?

31 2 17 2 ,cos ? ? ? 50 50

?
2

?

?
8

?(

5? 7? , ), 8 8

? 2 1 ? cos(? ? ) 1? (cos ? ? sin ? ) ? ? 4 4 2 ? cos( ? ) ? ? ?? ?? 2 8 2 2 5
【解析】⑴∵ 2 z1 ? z2i ,∴ 2sin x ? 2? i ? 1 ? (sin x ? 3 cos x )i ∴?

? ? 2sin x ? 1 , ? ? 2? ? sin x ? 3 cos x

∵ x ? (0, ? ) ,∴ x ?

?

6 1 ∴ ? ?1或 ? ? ? 2 ???? ? ???? ? ⑵根据题意可知: OZ1 ? (sin x, ? ), OZ 2 ? (sin x ? 3 cos x, ?1),
∵ OZ1 ? OZ 2 ,∴ OZ1 ? OZ 2 ? 0 ∴ sin x ? 3 sin x cos x ? ? ? 0
2



5 ? 6

???? ?

???? ?

???? ? ???? ?

∴ ? ? sin x ? 3 sin x cos x ,
2

1 ? 1 (1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ) ? sin(2 x ? ) ? 2 6 2 2? ∴最小正周期: T ? ?? 2 ? 3? ∵ sin x 在 [ ? 2k? , ? 2k? ], k ? Z 上单调减 2 2
∴? ? ∴根据复合函数的单调性:

2x ?

?

? 3? ? [ ? 2 k? , ? 2k? ], k ? Z 6 2 2

5? ? k? ], k ? Z 3 6 ? 5? ∴ f ( x ) 在 [ ? k? , ? k? ], k ? Z 上单调减 3 6 ? ?? ? 解:(1)设 n ? ( x, y ) .由 m ? n ? ?1 ,得 x ? y ? ?1 ①
∴ x ?[

?

? k? ,

又向量 n 与向量 m 的夹角为 由①、②解得 ?

?

??

3? 2 2 ,得 x ? y ? 1 ② 4

? ? ? x ? ?1 ? x ? 0 或? ,?n ? (?1,0) 或 n ? (0, ?1) ?y ? 0 ? y ? ?1 ?

(2)向量 n 与 q ? (1, 0) 共线知 n ? (?1,0) ; 由 2B ? A ? C 知 B ?

?

?

?
3

,

A?C ?

2? 2? , 0? A? 3 3

? ? ? ? C ? n ? p ? ? ?1 ? 2 cos 2 , cos A ? ? ?cos C , cos A ? , 2 ? ? ? ? ?2 1 ? cos 2 A 1 ? cos 2C ? n ? p ? cos 2 C ? cos 2 A ? ? 2 2 1? 1 ?? ? 4? ?? ? ? 1 ? ?cos 2 A ? cos ? ? 2 A ? ? ? 1 ? cos ? 2 A ? ? 2? 2 3? ? 3 ?? ? ?0 ? A ? 2? ? ? 5? ?? 1 ? , ? 2A ? ? , ??1 ? cos ? 2 A ? ? ? , 3 3 3 3 3? 2 ?



? ? ? 2 ?1 5 ? 1 ?? 5 ? ? 1 ? cos ? 2 A ? ? ? ,即 n ? p ? ? , ? , 2 3? 4 ? ?2 4 ?

? ? ? ? 2 5? ? n? p ?? , ? ? ? 2 2 ?


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