难点01


利用导数探求参数的取值范围是近几年高考的重点和热点,由于导数是高等数学的基础,对于中学生 来说运算量大、思维密度强、解题方法灵活、综合性高等特点,成为每年高考的压轴题,因此也是学生感 到头疼和茫然的一类型题 ,究其原因,其一,基础知识掌握不 够到位(导数的几何意义、导数的应用) ,其 二,没有形成具体的解题格式和 套路,从而导致学生产生恐惧心理,成为考试一大障碍,本文就高中阶段 该类题型和相应的对策加以总结.

1. 与函数零点有关的参数范围问题
函数 f ( x ) 的零点,即 f ( x) ? 0 的根,亦即函数 f ( x ) 的图象与 x 轴交点横坐标,与函数零点有关的参 数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图像,讨 论其图象与 x 轴的位置关系,进而确定参数的取值范围. 例 1设函数 f ( x) ? 2ln x ? x 2 .(I)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (II)若关于 x 的方程 f ( x) ? x2 ? x ? 2 ? a ? 0 在区间 [1,3] 内恰有两个零点,求实数 a 的取值范围. 思路分析: (Ⅰ)求出导数,根据导数大于 0 求得 f ( x ) 的单调递增区间. (Ⅱ)令 g ( x) ? f ( x) ? x ? x ? 2 ? a .利用导数求出 g ( x) ? f ( x) ? x ? x ? 2 ? a 的单调区间和极值点,画
2 2

出其简图,结合函数零点的判定定理找出 a 所满足的条件,由此便可求出 a 的取值范围.

综上所述, a 的取值范围是 ? 2ln 3 ? 5, 2ln 2 ? 4?

2. 与曲线 的切线有关的参数取值范围问题
函数 y ? f ( x) 在点 x ? x0 处的导数 f ' ( x0 ) 就是相应曲线在点 ( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率, 即 k ? f ' ( x0 ) , 此类试题先求导数,然后转化为关于自变量 x0 的函数,通过求值域,从而得到切线斜率 k 的取值范围,而 切线斜率又与其倾斜角有关,所以又会转化为求切斜角范围问题. 例 2. 若点 P 是函数 y ? e ? e
x ?x

? 3 x( ?

1 1 ? x ? ) 图象上任意一点, 且在点 P 处切线的倾斜角为 ? , 则? 2 2
? 6

的最小值是( A.

) B.

5? 6

3? 4

C.

? 4

D.

思路分析:先求导函 数 f ' ( x ) 的值域,即切线斜率范围,而 k ? tan ? ( 0 ? ? ? ? ) ,再结合 y ? tan x 的 图象求 ? 的最小值.

3.与不等式恒成立问题有关的参数范围问题
含参数的不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立的处理方法:① y ? f ( x) 的图象永远落在 y ? g ( x) 图象 的上方; ②构造函数法,一般构造 F ( x) ? f ( x)? g ( x), F ( x)min ? 0 ;③参变分离法,将不等式等价变形为

a ? h( x) ,或 a ? h( x) ,进而转化 为求函数 h( x) 的最值.
3.1 参变分离法 将已知恒成立的不等式由等价原理把参数和变量分离开,转化为一个已知函数的最值问题处理,关键是 搞清楚哪个是变量哪个是参数,一般遵循“知道谁的范围,谁是变量;求谁的范围,谁是参数”的原则. 例 3.已知函数 f ( x) ? x ?

a ? ln x, a ? 0 . x

[来源:Zxxk.Com]

(I)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)若 f ( x) ? x ? x2 在(1,+ ? )恒成立,求实数 a 的取值范围. 思路分析: (I) 首先应明确函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,其次求导数,讨论①当 ? ? 1 ? 4a ? 0 时, ② 当 ? ? 1 ? 4a ? 0 时,导函数值的正负,求得函数的单调性. (II)注意到 f ( x) ? x ? x 2 ,即 x ?
2

a ? ln x ? 0 ,构造函数 g ( x) ? x3 ? x ln x ,研究其单调性 x

[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

g ( x) ? x3 ? x ln x 在 [1, ??) 为增函数,从而由 g (x) ? g (1) ? 1 ,得到 0 ? a ? 1 .

在 [1, ??) 上, h '( x) ? 0 ,得 h(x) ? h(1) ? 2 ,即 g '( x) ? 0 ,故 g ( x) ? x ? x ln x 在 [1, ??) 为增函数,
3

3.2 构造函数法

[来源:Z§ xx§ k.Com]

参变分离后虽然转化为一个已知函数的最值问题,但是有些函数解析式复杂,利用导数知识无法完成, 或者是不易参变分离,故可利用构造函数法. 例 4.已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x,a ? 1 . 2
[来源:学科网 ZXXK]

(1)求 f ( x ) 的单调区间;

(2)若 g ( x) ? (2 ? a) x ? ln x , f ( x) ? g ( x) 在区间 [e,??) 恒成立,求 a 的取值范围. 思路分析: (1) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) . f ( x) ? x ? a ?
'

a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 ( x ?1)( x ?1 ? a) ? ? x x x

注意

分以下情况讨论导函数值的正负,确定函数的单调区间. a ? 2 , 1 ? a ? 2 , a ? 2 等. (2) 由题意得 f ( x) ? g ( x) ? 则 F (x) ? x ?
'

1 2 1 x ? a ln x ? 2 x ? 0 恒成立.引入函 F(x) ? f ( x) ? g ( x) ? x 2 ? a ln x ? 2 x , 2 2

a 1 2 ?2? 2 a ?2?0 , 得到 F(x) 在区间[e,? ?) 上是增函数, 从而只需 F(e) ? e ? a ? 2e x 2

[来

1 ? 0 ,求得 a ? 2e ? e 2 . 2

4.与函数单调区间有关的参数范围问题
若函数 f ( x ) 在某一个区间 D 可导, f ' ( x ) ? 0 ? 函数 f ( x ) 在区间 D 单调递增; f ' ( x) ? 0 ? 函数

f ( x) 在区间 D 单调递减.
若函数 f ( x ) 在某一个区间 D 可导,且函数 f ( x ) 在区间 D 单调递增 ? f ' ( x) ? 0 恒成立;函数 f ( x ) 在 区间 D 单调递减 ? f ( x) ? 0 恒成立.
'

4.1 参数在函数解析式中 转 化为 f ( x) ? 0 恒成立和 f ( x) ? 0 恒成立问题后,利用恒成立问题的解题方法处理
' '

例 5. 已知函数 f ( x) ? x ? 2a ln x .
2

(1)若函数 f ( x ) 的图象在 (2, f (2)) 处的切线斜率为 1 ,求实数 a 的值; (2)若函数 g ( x ) ?

[来源:学科网]

2 ? f ( x ) 在 [1, 2] 上是减函数,求实数 a 的取值范围. x

思路分析: (Ⅰ)先求导数,再由函数 f ( x ) 的图象在 x=2 处的切线的斜率为 1,令 f '(2) ? 1 求解; (2)求 出 g '( x) ? ?

2 2a ? 2x ? ,由函数 g ( x) 为 [1, 2] 上的单调减函数,得出 g '( x) ? 0 在 [1, 2] 上恒成立,构造 2 x x

h( x ) ?

1 ? x 2 ,判断 h( x) 在 [1, 2] 上为减函数,从而求解. x

点评:该题考察导数的几何意义和导数的应用等基础知识,考察基本的运算能力,属于容易题,在第二问 中,转化为恒成立问题,利用参变分离的方法求参数的范围是解题的关键.

4.2 参数在定义域中 函数解析式确定,故可先确定其单调区间,然后让所给定义域区间包含在单调区间中.
2 例 6. 已知二次函数 h( x)=ax +bx+c(其中 c<3),其导函数 y ? ?( x) 的图象如图,f(x)=6lnx+h(x).

①求 f(x)在 x=3 处的切线斜率; ②若 f(x)在区间(m,m+

1 )上是单调函数,求实数 m 的取值范围; 2

③若对任意 k∈[-1,1],函数 y=kx(x∈(0,6])的图象总在函数 y=f(x)图象的上方,求 c 的取值范围.

思路分析:①根据图像求出一次导函数的解析式,那么函数 f ( x ) 的导函数就很容易得到了,所求的切线斜 率即是其所对应的的导函数值;②根据函数的单调性与导数的关系求出函数的三个单调区间,使得所给的 区间在任何一个单调区间内即可求出 未知数的取值范 围;③由已知条件先导出和 k 有关的不等式,将 k 放 在不等式的一边,那么就有 k 的最小值也要大于等于不等式另一边式子的最大值,才能保证不等式恒成立, 由函数的单调性和导数的关系求最值即可.

5.与逻辑有关的参数范围问题

[来源:Z§xx§k.Com]

新课程增加了全称量词和特称量 词应用这一知识点, 并且在考试卷中屡屡出现, 使得恒成立问题 花样推 陈出新,别有一番风味,解决的关键是弄懂量词的特定含义. 例7. 已知函数 f ( x) ?

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2 ln x(a ? R) . 2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)设 g ( x) ? x2 ? 2 x ,若对任意 x1 ? (0, 2] ,均存在 x2 ? (0, 2] ,使得 f ( x1 ) < g ( x2 ) ,求 a 的取值范围. 思路分析: (Ⅰ) 求 f ? x ? 的单调区间, 常利用 f ? x ? 的导数来判断, 本题由 f ?( x) ?

(ax ? 1)( x ? 2) ( x ? 0) , x

由于 a 的值不确定, 需对 a 的取值范围进行分类讨论, 从而求出 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ) 对任意 x1 ? (0, 2] , 均存在 x2 ? (0, 2] ,使得 f ( x1 ) < g ( x2 ) ,等价于在 ? 0, 2? 上有 f ? x ?max ? g ? x ?max ,只需分别求出 f ? x ? 与

g ? x ? 的最大值,利用 f ? x ?max ? g ? x ?max ,就能求出 a 的取值范围.

综合上述五种类型,利用导数求解含参问题时,首先具备必要的基础知识(导数的几何意义、导数在单调 性上的应用、函数的极值求法、最值求法等 ) ,其次要灵活掌握各种解题方法和运算技巧,比如参变分离法, 分类讨论思想和数形结合思想等,涉及极值和最值问题时,一般情况下先求导函数,然后观察能否分解因 式,若能则比较根的大小,并与定义域比较位置关系、分段考虑导函数符号,划分单调区间,判断函数大 致图像;若不能分解因式,则考虑二次求导,研究函数是否具有单调性.利用导数处理参数范围问题并不可 怕,关键在于通过解题不断摸索解题思路,形成一种解题格式和套路.

[来源:学,科,网 Z,X,X,K]


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