第四讲:2013高考导数与积分命题热点研讨(1)

第四讲:2013 高考导数与积分命题热点研讨(1)

第一部分:命题热点

函数在高中数学中占有重要的地位.在以前大纲版数学中,函数在高考中占有百分之四十甚 至五十的分量.在如今的高考中, 函数也能占到至少三分之一的分量.函数的命题是十分灵活 的, 可以是应用题, 可以使纯粹的数学计算.函数与方程的思想一直是数学的主题.我们高中 阶段需要掌握的函数有:一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、 余弦函数、正切函数、对勾函数、反比例函数等等.其中对勾函数是补充函数,这个对勾函 数是理科班学生必须掌握的.它的一些性质老师也是需要补充的.说到函数, 我们还要需要注 意一个函数,就是正态分布密度函数.这个函数也是需要同学们了解和掌握的,近两年高考 提得特别多.近两年我们国家提素质教育比较多,那么函数是何实际生活联系比较紧密的, 所以我们要对函数格外的重视,这是我们大家都需要注意的,一方面是学生要注意,另一方 面是老师要注意.函数的应用这一块老师要花费一些力气和学生们探讨讲解.当然和函数联 系最紧密的是导数.导数在高考中的命题是一个大题和一个小题.小题的难度是中等偏下, 大 题的难度是高.一般来说导数在高考中是压轴题.这个压轴题是综合性比较强、 考察点比较多. 导数可以和数列、三角函数、向量、空间几何、不等式联系起来,希望老师们在知识网络交 汇处注意命题动向.

1 函数与导数的命题点分布 定义域、值域、对称性、周期性、奇偶性、单调性、函数与导数的综合、影射、函数与导数 积分的综合、函数的图像、函数的平移、最值、特殊点、指对幂函数中的一些特殊的性质、 三角函数的求解方法、导数法求切线、积分法求面积等等.

2 函数与导数的题型分布 题型 1:选择题.选择题主要是考察中等难度的题目,函数的图像,函数的增减性,函数与 简易逻辑的综合, 函数的单调性等等.题型 2: 填空题.填空题主要考察函数的一些特殊性质, 定义域、值域、分段函数等是考察的比较多的.当然还有一些创新题型.题型 3:大题.大题

1

的难度是高.主要是考查综合内容.函数与不等式结合等等.另一方面,二次函数是高考的一 个重点,几乎每年高考都要考察.

3 一些具体的函数模型 我们要注意函数模型的考察.函数模型我们要注意增函数模型和减函数模型.增函数模型有 对数模型、一次函数模型、二次函数模型、幂函数模型、指数函数模型.其中对数函数模型 增长的最慢,二次函数模型比较适中,指数函数模型增长的比较快,被称为指数爆炸.这些 函数模型容易出为应用题,和导数结合起来进行考察

第二部分:命题热点

孟老师预测热点 1 注重双基方面的命题

我们要注意最新高考的命题动向, 近两年高考有很多题目都是从教材中延伸的.譬如说四川、 陕西等省份在三角函数部分都出过教材的课后习题,这是需要我们大家密切关注的.对于教 材的关注,我们必须在第一轮复习的时候加紧关注.这也体现了考纲中所说的:源于教材.

1 求函数的定义域和函数的值域
掌握求函数值域的基本方法(直接法、换元法、判别式法) ;掌握二次函数值域(最值)或 二次函数在某一给定区间上的值域(最值)的求法.求函数最大、最小值问题历来是高考热 点,这类问题的出现率很高,应用很广 因此我们应注意总结最大、最小值问题的解题方法
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与技巧,以提高高考应变能力 因函数的最大、最小值求出来了,值域也就知道了 反之,若
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求出的函数的值域为非开区间,函数的最大或最小值也等于求出来了

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孟老师举例 1 ? x+1? 0 函数 y= 的定义域是 |x|-x A.{x|x<0} B.{x|x>0} C.{x|x<0 且 x≠-1} D.{x|x≠0 且 x≠-1,x∈R}

2

?x+1≠0 ? 解析:依题意有? ,解得 x<0 且 x≠-1,故定义域是{x|x<0 且 x≠-1}. ?|x|-x>0 ?
答案:C

孟老师举例 2 求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1 ? x ? 1) ② f ( x) ? 2 ? 4 ? x ③y?

x x ?1

④y ? x?

1 x

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解:①∵-1 ? x ? 1,∴-3 ? 3x ? 3,∴-1 ? 3x+2 ? 5,即-1 ? y ? 5,∴值域是[-1,5] ②∵ 4 ? x ? [0,??) ③y? ∴ f ( x) ? [2,??) 即函数 f ( x) ? 2 ? 4 ? x 的值域是 { y| y ? 2} ∵

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x x ?1?1 1 ? ? 1? x ?1 x ?1 x ?1

1 ?0 x ?1

∴ y ?1

即函数的值域是 { y| y?R 且 y?1}(此法亦称分离常数法)

④当 x>0,∴ y ? x ?

1 2 1 =( x ? ) ? 2 ? 2, x x 1 2 1 ) ? 2 ? ?2 ) =- ( ? x ? ?x ?x
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y 2

f?x? = x+

1 x

当 x<0 时, y ? ?(? x ?

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-1 o 1 -2

x

∴值域是 (??,?2] ? [2,+ ? ) (此法也称为配方法)
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函数 y ? x ?

1 的图像为:∴值域是 (??,?2] ? [2,+ ? ) x

2 指数函数与对数函数幂函数等热点函数的考察
指对幂函数是高考考察的重点也是热点.我们要注意这一类函数的图像、 性质、 平移等能力. 特别是对数函数,对数函数的运算性质等.还要注意分类讨论的思想、转化与化归的思想的 运用.我们要把这类函数专门的复习,在复习基本知识的同时,加大对学生能力的提高.

典例 3(2009 年北京卷)

3

为了得到函数 y ? lg

x?3 的图像,只需把函数 y ? lg x 的图像上所有的点 10

A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 【答案】C

3 三个二次的关系
二次函数是高考的重点, 二次函数是高考的必考内容.我们要注意三个二次的关系.三个二次 主要是指:二次函数、二次方程、二次不等式.

典例 4(2012·珠海质检) 若函数 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)=(a+1)1-x 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范围是 A.(-1,0) B.(-1,0)∪(0,1] C.(0,1) D.(0,1]

解析:∵f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2 在[1,2]上是减函数, ∴a≤1 ①又 g(x)=(a+1)1-x 在[1,2]上是减函数.∴a+1>1,∴a>0 ②

由①、②知,0<a≤1.答案:D

4 函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性的考察
函数的性质是高考考察的主要内容.我们需要注意的是对函数奇偶性、单调性、对称性、周 期性的考察.我们要主要这些方面的考察和讲解.

典例 5(孟老师举例模拟题) 1 若函数 f(x)=ax+ (a∈R),则下列结论正确的是 x A.?a∈R,函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数

4

B.?a∈R,函数 f(x)在(0,+∞)上是减函数 C.?a∈R,函数 f(x)为奇函数 D.?a∈R,函数 f(x)为偶函数 解析:当 a=1 时,函数 f(x)在(0,1)上为减函数,A 错;当 a=1 时,函数 f(x)在(1,+∞)上 为增函数,B 错;D 选项中的 a 不存在.答案:C

5 函数图象
函数是数形结合的主要的体现.函数的性质主要是通过函数的图像得到的,这是同学们必须 知道的,也是同学们必须掌握的.每个同学都必须熟练的掌握函数的,因为学校函数的前提 就是先学习函数的图像.

典例 6(2012·华南师大附中综合测试) 在股票买卖过程中,经常用到两种曲线,一种是即时价格曲线 y=f(x),一种是平均价格曲 线 y=g(x)(如 f(2)=3 表示开始交易后第 2 小时的即时价格为 3 元; g(2)=4 表示开始交易后 两个小时内所有成交股票的平均价格为 4 元). 如下图所示的四个图像中, 实线表示 y=f(x), 虚线表示 y=g(x),其中可能正确的是

解析:开始交易,即时价格和平均价格应该相等,A 错误;开始交易后,平均价格应该跟随 即时价格变动,在任何时刻其变化幅度应该小于即时价格变化幅度,B,D 均错误.答案: C

6 导数
导数是高考的必考点.对导数的考察我们要注意的是根据导数求切线的斜率、求最值、求单 调性等.
5

典例 7(2012 安徽高考) (本小题满分 13 分) 设函数 f(x) =

x + sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为 { x n } . 2

(Ⅰ)求数列 { x n } 的通项公式; (Ⅱ)设 { x n } 的前 n 项和为 S n ,求 sin S n .

x 1 2? ? sin x ? f ?( x) ? ? cos x ? 0 ? x ? 2k? ? (k ? Z ) 2 2 3 2? 2? f ?( x) ? 0 ? 2k? ? ? x ? 2k? ? (k ? Z ) 3 3 2? 4? f ?( x) ? 0 ? 2k? ? ? x ? 2k? ? (k ? Z ) 3 3 2? 2? 得:当 x ? 2k? ? (k ? Z ) 时, f ( x) 取极小值 得: xn ? 2n? ? 3 3 2? (II)由(I)得: xn ? 2n? ? 3 2n? 2n? Sn ? x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ? 2? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? ? n(n ? 1)? ? 3 3
【解析】 (I) f ( x) ? 当 n ? 3k (k ? N ) 时, sin Sn ? sin(?2k? ) ? 0
*

当 n ? 3k ? 1(k ? N ) 时, sin S n ? sin
*

2? 3 ? 3 2 4? 3 ?? 3 2

当 n ? 3k ? 2(k ? N ) 时, sin Sn ? sin
*

得: 当 n ? 3k (k ? N ) 时, sin Sn ? 0
*

当 n ? 3k ? 1(k ? N ) 时, sin S n ?
*

3 2

当 n ? 3k ? 2(k ? N ) 时, sin Sn ? ?
*

3 2

7 定积分
定积分是新课标教材新增加的内容, 定积分在高考中是一个小题, 主要是运用原理求面积或 长度,难度为易.

典例 8(2012 年山东高考) 设 a>0.若曲线 y ?

x 与直线 x=a,y=0 所围成封闭图形的面积为 a,则 a=______.

6

解析: S ?

?

a

0

2 x dx ? x 2 3

3 a 0

2 9 ? a 2 ? a ,解得 a ? . 3 4

3

孟老师预测热点 2:对导数的重点考察

导数实际上也是新课标的一个重点、热点、加强内容.导数是高考的重点,是我们大家都要 注意的内容.导数主要是考察综合能力.

1 对单调性和极值的考察
导数和高等数学中的微积分有着密切的联系.学习好导数不仅是对我们高考有利,还对我们 大学学习高等数学打下基础.

典例 9(2011 年安徽高考) 设 f ( x) ?

ex ,其中 a 为正实数. 1 ? ax2

(Ⅰ)当 a ?

4 时,求 f (x) 的极值点; (Ⅱ)若 f (x) 为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围 3

本题考查导数的运算,极值点的判断,导数符号与函数单调性之间的关系.求解一元二次不 等式等基本知识,考查运算求解能力,综合分析和解决问题的能力. 解:对 f (x) 求导得 f ?( x) ? e (Ⅰ)当 a ?
x

1 ? ax2 ? 2ax (1 ? ax2 ) 2



4 3 1 2 时,若 f ?( x) ? 0 ,则 4 x ? 8x ? 3 ? 0 ,解得 x1 ? , x2 ? 3 2 2

结合①,可知 x

1 (??, ) 2
+ ↗

1 2
0 极大值

1 3 ( , ) 2 2
_ ↘

3 2
0 极小值

3 ( ,?? ) 2
+ ↗

f ?(x)
f (x)

7

所以, x1 ?

3 1 是极小值点, x2 ? 是极大值点. 2 2

(Ⅱ)若 f (x) 为 R 上的单调函数,则 f ?(x) 在 R 上不变号,结合①与条件 a>0,知

ax2 ? 2ax ? 1 ? 0 在 R 上恒成立,因此 ? ? 4a 2 ? 4a ? 4a(a ? 1) ? 0 ,由此并结合 a>0,
知 0 ? a ? 1.

2 对应用题的考察
在高考的某些省份,是要出应用题的.应用题和我们实际生活联系非常紧密的,是学以致用 的内容.预计高考的命题趋势是会向这个方向发展的.

典例 10(2011 年湖南高考) 长方形物体 E 在雨中沿面 P(面积为 S)的垂直方向作匀速移动,速度为 v(v ? 0) ,雨速沿 E 移动方向的分速度为 c(c ? R) .E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分: (1)P 或 P 的 .... 平行面 (只有一个面淋雨) 的淋雨量, 假设其值与 v ? c ×S 成正比,比例系数为 值为

1 ; (2)其它面的淋雨量之和,其 10

1 ,记 y 为 E 移动过程中的总淋雨量,当移动距离 2 3 d=100,面积 S= 时. 2
解析: (I)由题意知,E 移动时单位时间内的淋雨量为

3 1 |v?c|? , 20 2

故y?

100 3 1 5 ( | v ? c | ? ) ? (3 | v ? c | ?10) . v 20 2 v 5 5(3c ? 10) (3c ? 3v ? 10) ? ? 15; v v

(II)由(I)知,当 0 ? v ? c 时, y ?

当 c ? v ? 10 时, y ?

5 5(10 ? 3c) (3v ? 3c ? 10) ? ? 15. v v

8

? 5(3c ? 10) ? 15, 0 ? v ? c ? ? v 故y?? . ? 5(10 ? 3c) ? 15, c ? v ? 10 ? v ?
(1)当 0 ? c ?

10 3c 时, y 是关于 v 的减函数.故当 v ? 10 时, ymin ? 20 ? . 3 2

(2) 当

10 ? c ? 5 时,在 (0, c ] 上, y 是关于 v 的减函数;在 (c,10] 上, y 是关于 v 的增函 3 50 . c

数;故当 v ? c 时, ymin ?

典例 11(2011 年陕西高考) (本小题满分 12 分) 如图,从点 P1(0,0)作 x 轴的垂线交于曲线 y=ex 于点 Q1(0,1) ,曲线在 Q1 点处的切线与 x 轴交与点 P2.再从 P2 作 x 轴的垂线交曲线于点 Q2,依次重复上述过程得到一系列点:P1, QI;P2,Q2…Pn,Qn,记 Pk 点的坐标为( xk ,0) (k=1,2,…,n).

(Ⅰ)试求 xk 与 xk ?1 的关系(2≤k≤n) ;

9

(Ⅱ)求 PQ1 ? P2Q2 ? P Q3 ? ... ? PnQn 1 3 解(Ⅰ)设 Pk ?1 ( xk ?1 , 0) ,由 y? ? e 得 Qk ?1 ( xk ?1 , e
x
xk ?1

) 点处切线方程为

y ? e xk ?1 ? e xk ?1 ( x ? xk ?1 ), 由 y ? 0 得 xk ? xk ?1 ? 1(2 ? k ? n) .
( Ⅱ) x1 ? 0, xk ? xk ?1 ? ?1 ,得 xk ? ?(k ? 1) , 所以 Pk Qk ? e
xk

? e ? ( k ?1) 于是, Sn ? PQ1 ? P2Q2 ? P3Q3 ? ... ? PnQn 1

? 1 ? e?1 ? e?2 ? ... ? e? ( n ?1) ?

1 ? e? n e ? e1?n ? 1 ? e?1 e ?1

10


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