陕西省西安铁一中2013届高三上学期期末考试理科数学试卷

陕西省西安铁一中 2013 届高三上学期期末考试 理科数学试题
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1. 命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题是( ) A.若 f(x) 是偶函数,则 f(-x)是偶函数 B.若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 C.若 f(-x)是奇函数,则 f(x)是奇函数 D.若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数 2. 若集合 A= ? x | x ? 1,x ? R? , B= ? y | y ? x 2,x ? R? ,则 A ? B =( ) A. C.

?x | ?1 ? x ? 1? ?x | 0 ? x ? 1?

B.

?x | x ? 0?

D. ?

3. 抛物线 y=x2 的准线方程是( ) A.4y+1=0 B.4x+1=0 C.2y+1=0 D.2x+1=0 1 4. ( x - 3 )12 展开式中的常数项为( ) x A.-1320 B.1320 C.-220 D.220 5.一个棱锥的三视图如右图所示,则它的 体积为 ( ) 1 3 A. B. 2 2 1 C.1 D. 3 6. 将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里, 使得放入每个盒子里 的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( ) A.10 种 B.20 种 C.36 种 D.52 种
?? ? 7.已知函数 f ( x) ? sin ? ? x ? ? (? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则该函数的图象( ?? ? ? ?? ? A.关于点 ? ,? 对称 B.关于直线 x ? 对称 0 ? ?? ? ? ?? ? C.关于点 ? ,? 对称 D.关于直线 x ? 对称 0 ? ?? ?
·1·



8. 设 a ? 1 ,则双曲线 A. ( 2, 2)

x2 y2 ? ? 1的离心率 e 的取值范围是( a 2 (a ? 1)2
C. (2, 5) D. (2,5)



??? ? ???? ? 9.在 ?ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=1,点 P 在线段 AM 上且满足 AP ? 2PM ,则 ??? ??? ??? ? ? ? )w.w.w.k.s.5.u.c.o.m PA ? (PB ? PC) 等于( 4 4 4 4 A. ? B. ? C. D. 9 3 3 9 10. 在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,若数列 ?an ?1? 也是等比数列,则 Sn 等于 (

B. ( 2,5)



(A) 2

n?1

?2

(B)

3n

(C) 2n

(D) 3 ? 1
n

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 把答案 填在题中横线上.) 知 z2 的 11. 设 z2 ? z1 ? iz1 (其中 z1 表示 z1 的共轭复数), 已 实部是 ?1 ,则 z2 的虚部为 . ax 12. 设曲线 y ? e 在点 (0, 处的切线与直线 1) x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? . 13.在边长为 4 的正方形 ABCD 中, 沿对角线 AC 将 其折成 一个直二面角 B ? AC ? D ,则点 B 到直线 CD 的距 离为 __________ 14. 执行如图所示的程序框图,若输出的 n=5,则 输入整 数 p 的最小值是 . 15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) 1 a A. (不等式选做题)已知不等式(x+y)( x + y)≥9 对任意 正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值为_____. B.(几何证明选做题)如图 1 所示,过⊙ O 外一点 P 作一条 直线与⊙ O 交于 A,B 两点,已知 PA=2,点 P 到⊙ O 的 切线长 PT =4,则弦 AB 的长为________. C.(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线的参数方程 分别为 5 2 ? ?x ? t 4 (t ? R) ? x ? 5 cos? ? y ?sin ? 的交点 和 ?y ? t ,它们

?

(0 ? ? ? ? )

坐标为___________. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分, 解答写出文字说明、证明过程或演算步骤)。 16.(本小题满分 12 分)已知函数 f (x) ? 2cos 2 x ? sin 2 x ? 4cos x .

·2·

? (Ⅰ)求 f ( ) 的值;(Ⅱ)求 f (x) 的最大值和最小 3 17. 本小题满分 12 分) ( 如图, 直三棱柱 ABC ? A1B1C1
AB=1, AC ? AA1 ? 3 ,∠ABC=60 0 . (Ⅰ) 证明: AB ? AC ;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1 (Ⅱ)求二面角 A— AC —B 的余弦值。 1 B1

值。 A1 C1 中,

18. (本小题满分 12 分)为了迎接 2011 西安世园 A 校响应号召组织学生成立了“校园文艺队”。已知每 C 员唱歌、跳舞至少会一项,其中会唱歌的有 2 人, 舞的有 5 人,现从中选 2 人.设 ? 为选出的人中既会 B 7 又会跳舞的人数,且 P (? ? 0) ? . 10 (1)求文艺队的人数; (2)求 ? 的分布列并计算 E? . 19.(本小题满分 12 分)数列 ?an ? 中, a1 ? 8, a4 ? 2 ,满足 an?2 ? 2an?1 ? an ,

会,某 位队 会跳 唱歌

⑴求数列 ?an ? 的通项公式; 1 (2)设 bn = (n ? N * ),Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn (n ? N * ) ,求最大的整数 m ,使得对任 n(12 ? a n ) m 意 n ? N * ,均有 Tn ? 成立. 32 20.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C:
x2 y2 6 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 , 短轴一个端点到右焦点的距离为 3 2 a b 3

n? N*。

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 面积的最大值
1 21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax 2 ? (2a ? 1) x ? 2 ln x (a ? R) . 2

3 ,求△AOB 2

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)设 g ( x) ? x2 ? 2 x ,若对任意 x1 ? (0, 2] ,均存在 x2 ? (0, 2] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求
a 的取值范围.

·3·

数学参考答案
一.BCACA 二. 11.1 15. A 4 AABAC 12.2 B 6 13. 2 3 C
? 2 5? ? 1, ? ? 5 ? ? ?

14.8

? 2? ? ? 3 9 ? sin 2 ? 4 cos ? ?1 ? ? 2 ? ? 三.16. 解:(I) f ( ) ? 2 cos 3 3 3 3 4 4
(II) f ( x) ? 2(2cos2 x ?1) ? (1 ? cos2 x) ? 4cos x = 3cos2 x ? 4cos x ? 1
2 7 = 3(cos x ? ) 2 ? , x ? R 3 3

因为 cos x ? [?1,1] , 所以,当 cos x ? ?1 时, f ( x) 取最大值 6;当 cos x ? 17.
2 7 时, f ( x) 取最小值 ? 3 3

·4·

cos ? m, n ??

mgn 3 ? 1 ? 1? 0 ? 1? 0 15 ? ? 2 m gn ( 3) ? 12 ? 12 g 12 ? 02 ? 02 5

?二面角A-A1C-B的余弦值为

15 5

(其他方法视情况赋分) 18. 解:设既会唱歌又会跳舞的有 x 人,则文娱队中共有 (7 ? x) 人,那么只会一项的 人数是 (7 ? 2 x) 人. 7 (1)? P(? ? 0) ? 1 ? P(? ? 0) ? 10 ,
2 C7?2 x 3 ? , 2 C7? x 10 (7 ? 2 x)(6 ? 2 x) 3 ? ? ,? x ? 2 . 故文娱队共有 5 人. (7 ? x)(6 ? x) 10 1 1 2 C2 ? C3 3 C2 1 3 (2) P(? ? 0) ? 10 , P(? ? 1) ? ? 5 , P(? ? 2) ? 2 ? 10 C52 C5 ? 的分布列为

3 ? P(? ? 0) ? 10 ,即

?
P

0
3 10

1
3 5

2
1 10

3 3 1 4 ? E? ? 0 ? 10 ? 1? 5 ? 2 ? 10 ? 5

19. 解:(1)由题意, an?2 ? an?1 ? an?1 ? an ,

?{an } 为等差数列,设公差为 d ,
·5·

由题意得 2 ? 8 ? 3d ? d ? ?2 ,

? an ? 8 ? 2(n ? 1) ? 10 ? 2n
(2)? bn ?
1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) n(12 ? an ) 2n(n ? 1) 2 n n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ? )?( ? )] ? . ? Tn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 2 2 2 3 3 4 n ?1 n n n ?1 2(n ? 1)

m n m ? 对任意 n ? N * 成立,即 对任意 n ? N * 成立, 32 n ? 1 16 n 1 m 1 ? (n ? N * ) 的最小值是 ,? ? , ?m 的最大整数值是 7 n ?1 2 16 2 m 即存在最大整数 m ? 7, 使对任意 n ? N * ,均有 Tn ? . 32

若 Tn ?

?c 6 , ? ? 20. 解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ? a 3 ? a ? 3, ?
? b ? 1 ,? 所求椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 3

(Ⅱ)设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) (1)当 AB ⊥ x 轴时, AB ? 3 (2)当 AB 与 x 轴不垂直时, 设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m 由已知

m 1? k 2

?

3 3 ,得 m2 ? (k 2 ? 1) 4 2

把 y ? kx ? m 代入椭圆方程,整理得 (3k 2 ? 1) x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 3 ? 0 ,
?6km 3(m 2 ? 1) ? x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? 3k ? 1 3k 2 ? 1

? 36k 2 m2 12(m2 ? 1) ? 2 ? AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ? (1 ? k 2 ) ? 2 ? 2 3k 2 ? 1 ? ? (3k ? 1) ?

·6·

?

12(k 2 ? 1)(3k 2 ? 1 ? m2 ) 3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) ? (3k 2 ? 1)2 (3k 2 ? 1)2
12k 2 12 12 ? 3? (k ? 0) ≤ 3 ? ?4 4 2 1 9k ? 6k ? 1 2?3 ? 6 2 9k ? 2 ? 6 k
1 3 ,即 k ? ? 时等号成立 2 k 3

? 3?

当且仅当 9k 2 ?

当 k ? 0 时, AB ? 2 ,

综上所述 AB max ? 2
1 3 3 ? ? 当 AB 最大时, △ AOB 面积取最大值 S ? ? AB max ? 2 2 2

21.解: f ?( x) ? ax ? (2a ? 1) ?

2 ( x ? 0) . x 2 . 3

(Ⅰ) f ?(1) ? f ?(3) ,解得 a ? (Ⅱ) f ?( x) ?

(ax ? 1)( x ? 2) ( x ? 0) . x

①当 a ? 0 时, x ? 0 , ax ? 1 ? 0 , 在区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ??) 上 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, 2) ,单调递减区间是 (2, ??) . ②当 0 ? a ?
1 1 时, ? 2 , 2 a

1 1 在区间 (0, 2) 和 ( , ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ) 上 f ?( x) ? 0 , a a
1 1 故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, 2) 和 ( , ??) ,单调递减区间是 (2, ) . a a

③当 a ? ④当 a ?

1 ( x ? 2) 2 时, f ?( x) ? , 故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, ??) . 2 2x 1 1 时, 0 ? ? 2 , 2 a

1 1 在区间 (0, ) 和 (2, ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 ( , 2) 上 f ?( x) ? 0 , a a
·7·

1 1 故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, ) 和 (2, ??) ,单调递减区间是 ( , 2) . a a

(Ⅲ)由已知,在 (0, 2] 上有 f ( x)max ? g ( x)max . 由已知, g ( x)max ? 0 ,由(Ⅱ)可知, ①当 a ?
1 时, f ( x) 在 (0, 2] 上单调递增, 2

故 f ( x)max ? f (2) ? 2a ? 2(2a ? 1) ? 2ln 2 ? ?2a ? 2 ? 2ln 2 , 所以, ?2a ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ,解得 a ? ln 2 ? 1,故 ln 2 ? 1 ? a ? ②当 a ?
1 . 2

1 1 1 时, f ( x) 在 (0, ] 上单调递增,在 [ , 2] 上单调递减, 2 a a

1 1 ? 2 ln a . 故 f ( x) max ? f ( ) ? ?2 ? a 2a

由a ?

1 1 1 可知 ln a ? ln ? ln ? ?1 , 2 ln a ? ?2 , ?2 ln a ? 2 , 2 2 e

所以, ?2 ? 2 ln a ? 0 , f ( x)max ? 0 , 综上所述, a ? ln 2 ? 1.

·8·


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