2013届高考数学第一轮专题复习测试卷第九讲 指数与指数函数

第九讲

指数与指数函数

一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1.(2010· 番禺质检)下列结论中正确的个数是( )

3 1 n ①当 a<0 时,(a2)2=a3;② an=|a|;③函数 y=(x-2)2-(3x-7)0 的定义域是(2,+∞);④若 100a=

5,10b=2,则 2a+b=1. A.0 C.2 B.1 D.3
3 3

解析: 根据指数幂的运算性质对每个结论逐一进行判断. ①中, a<0 时, 2)2>0, 3<0, 当 (a a 所以(a2)2≠a3; 7 7 n ②中,当 n 为奇数时, an=a;③中,函数的定义域应为?2,3?∪?3,+∞?;④中,由已知可得 2a+b ? ? ? ? =lg5+lg2=lg10=1,所以只有④正确,选 B. 答案:B 3 2.( 6 6 a)· (
9 4

3

a9)4(a≥0)的化简结果是(

)

A.a16 B.a8 C.a4 D.a2 解析:原式=( 答案:C 3.若函数 y=(a2-5a+5)·x 是指数函数,则有( a A.a=1 或 a=4 B.a=1 C.a=4 D.a>0,且 a≠1 解析:因为“一般地,函数 y=ax(a>0,且 a≠1)叫做指数函数”,所以函数 y=(a2-5a+5)·x 是指数 a
?a2-5a+5=1, ? 函数的充要条件为? 解得 a=4,故选 C. ? ?a>0,且a≠1,

18

18 a9)4· a9)4=a4,选 C. (

)

答案:C 评析:解答指数函数概念问题时要抓住指数函数解析式的特征:(1)指数里面只有 x,且次数为 1,不 能为 x2, x等;(2)指数式 ax 的系数为 1,但要注意有些函数表面上看不具有指数函数解析式的形式,但可 以经过运算转化为指数函数的标准形式.

4.在平面直角坐标系中,函数 f(x)=2x A.原点对称 B.x 轴对称 C.y 轴对称 D.直线 y=x 对称

+1

与 g(x)=21 x 图象关于(



)

解析:y=2x 左移一个单位得 y=2x 1,y=2 x 右移一个单位得 y=21 x,而 y=2x 与 y=2 x 关于 y 轴对 称. ∴f(x)与 g(x)关于 y 轴对称. 答案:C 1 - 5.若函数 f(x)=a|2x 4|(a>0,a≠1),满足 f(1)= ,则 f(x)的单调递减区间是( 9 A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[-2,+∞) D.(-∞,-2] 1 1 解析:由 f(1)= 得 a2= , 9 9 1 1 ∴a= (a=- 舍去), 3 3 1 - 即 f(x)=?3?|2x 4|. ? ? 由于 y=|2x-4|在(-∞,2)上递减,在(2,+∞)上递增,所以 f(x)在(-∞,2)上递增,在(2,+∞)上 递减.故选 B. 答案:B 1 6.已知函数 f(x)=?3?x-log2x,实数 a、b、c 满足 f(a)f(b)f(c)<0(0<a<b<c),若实数 x0 是方程 f(x)=0 ? ? 的一个解,那么下列不等式中,不可能成立的是( A.x0<a B.x0>b C.x0<c D.x0>c 1 解析: 如图所示, 方程 f(x)=0 的解即为函数 y=?3?x 与 y=log2x 的图象交点的横坐标 x0.由实数 x0 是方 ? ? 程 f(x)=0 的一个解,若 x0>c>b>a>0,则 f(a)>0,f(b)>0,f(c)>0, ) )









与已知 f(a)f(b)f(c)<0 矛盾,所以,x0>c 不可能成立,故选 D.

答案:D 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的横线上.) 7.已知不论 a 为何正实数,y=ax 1-2 的图象恒过定点,则这个定点的坐标是________. 解析: 因为指数函数 y=ax(a>0, a≠1)的图象恒过定点(0,1). 而函数 y=ax 1-2 的图象可由 y=ax(a>0, a≠1)的图象向左平移 1 个单位后,再向下平移 2 个单位而得到,于是,定点(0,1)→(-1,1)→(-1,-1).所 以函数 y=ax 1-2 的图象恒过定点(-1,-1). 答案:(-1,-1) 1 8.函数 y=( )x-3x 在区间[-1,1]上的最大值为________. 3 8 答案: 3 9.定义:区间[x1,x2](x1<x2)的长度为 x2-x1.已知函数 y=2|x|的定义域为[a,b],值域为[1,2],则区间 [a,b]的长度的最大值与最小值的差为________. 解析:[a,b]的长度取得最大值时[a,b]=[-1,1],区间[a,b]的长度取得最小值时[a,b]可取[0,1]或[- 1,0],因此区间[a,b]的长度的最大值与最小值的差为 1. 答案:1 ex+e x ex-e x 10. (2010· 湖南师大附中期中)设 f(x)= , g(x)= , 计算 f(1)g(3)+g(1)f(3)-g(4)=________, 2 2 f(3)g(2)+g(3)f(2)-g(5)=________, 并由此概括出关于函数 f(x)和 g(x)的一个等式, 使上面的两个等式是你 写出的等式的特例,这个等式是________. 答案:0 0 f(x)g(y)+g(x)f(y)-g(x+y)=0
- - + + +

三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步骤.) 11.已知函数 f(x)=b·x(其中 a,b 为常量且 a>0,a≠1)的图象经过点 A(1,6),B(3,24). a (1)试确定 f(x); 1 1 (2)若不等式?a?x+?b?x-m≥0 在 x∈(-∞,1]时恒成立,求实数 m 的取值范围. ? ? ? ? 解:(1)∵f(x)=b·x 的图象过点 A(1,6),B(3,24) a
?b· ? a=6 ∴? 3 ? a ?b· =24 ②



②÷ ①得 a2=4, 又 a>0,且 a≠1,∴a=2,b=3, ∴f(x)=3·x. 2 1 1 1 1 (2)?a?x+?b?x-m≥0 在(-∞,1]上恒成立化为 m≤?2?x+?3?x 在(-∞,1]上恒成立. ? ? ? ? ? ? ? ?

1 1 令 g(x)=?2?x+?3?x,g(x)在(-∞,1]上单调递减, ? ? ? ? 1 1 5 ∴m≤g(x)min=g(1)= + = , 2 3 6 5 故所求实数 m 的取值范围是?-∞,6?. ? ?

1 12.已知函数 f(x)=?3?ax2-4x+3. ? ? (1)若 a=-1,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)有最大值 3,求 a 的值. (3)若 f(x)的值域是(0,+∞),求 a 的取值范围. 分析:函数 f(x)是由指数函数和二次函数复合而成的,因此可通过复合函数单调性法则求单调区间, 研究函数的最值问题. 1 - - + 解:(1)当 a=-1 时,f(x)=?3? x2 4x 3, ? ? 令 g(x)=-x2-4x+3, 由于 g(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减, 1 而 y=?3?t 在 R 上单调递减, ? ? 所以 f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增, 即函数 f(x)的递增区间是(-2,+∞),递减区间是(-∞,-2). 1 (2)令 h(x)=ax2-4x+3,y=?3?h(x),由于 f(x)有最大值 3,所以 h(x)应有最小值-1,因此必有 ? ?

?a>0 ? ?12a-16 ,解得 a=1. ? 4a =-1 ?
即当 f(x)有最大值 3 时,a 的值等于 1. 1 (3)由指数函数的性质知,要使 y=?3?h(x)的值域为(0,+∞).应使 h(x)=ax2-4x+3 的值域为 R,因此 ? ? 只能有 a=0.因为若 a≠0,则 h(x)为二次函数,其值域不可能为 R.故 a 的取值范围是 a=0. 评析:求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性 质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质 分析判断,最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决.

1 13.已知函数 f(x)=2x- |x|. 2 (1)若 f(x)=2,求 x 的值; (2)若 2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取值范围. 解:(1)当 x<0 时,f(x)=0; 1 当 x≥0 时,f(x)=2x- x. 2 1 由条件可知 2x- x=2,即 22x-2·x-1=0, 2 2 解得 2x=1± 2. ∵2x>0,∴x=log2(1+ 2). 1 1 2t t (2)当 t∈[1,2]时,2t?2 -22t?+m?2 -2t?≥0, ? ? ? ? 即 m(22t-1)≥-(24t-1). ∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1). ∵t∈[1,2],∴-(1+22t)∈[-17,-5], 故 m 的取值范围是[-5,+∞).


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