浙江省绍兴市第一中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题

绍兴一中 2015 学年第二学期期中考试 高一数学
一、选择题(每小题 3 分,共 24 分) 1. 如图,正六边形 ABCDEF 中, CD ? BA ? EF ?

??? ? ??? ? ??? ?

? A. 0

??? ? B. BE

???? C. AD

( ▲ ) D. CF

??? ?

2.Δ ABC 中,A= A.1

? ? , B= ,b= 2 ,则 a 等于 6 4
B.2 C. 3
*

( ▲



D. 2 3

3.已知数列{ an }满足: a1 ? 1 , an ? 0, an?12 ? an 2 ? 1 的最大值为 A.2 B.3 C.8

? n ? N ? ,那么使 a
D.9 的

n

<3 成立的 n ( ▲ )

4. (1 ? tan21? )(1 ? tan20? )(1 ? tan25? )(1 ? tan24? ) ( ▲ ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 5.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 1 A. 9 6. ?ABC 中,A= 3 B. 10





S4 1 S ? ,则 12 ? S8 3 S16
C.

( ▲ ) 1 D. 8

3 5

? ,b=2, 以下错误 的是 .. 6
B. 若 a ? 3 , 则 c 有两解 D. 若 a ? 3 , 则 c 有两解

( ▲ )

A. 若 a ? 1 , 则 c 有一解

11 C. 若 a ? , 则 c 有两解 6 ??? ?

7. ?ABC 中, 若对任意 t ? R 均有 | AB ? t AC |?

????

A.

?
6

? A?

5? 6

B.

?
6

? A?

?
2

? 1 ??? | AB | 成立,则 2 ? 5? ? ? C. ? B ? D. ? B ? 6 6 6 2

( ▲ )

8.已知向量 a ? b ,a ? b ? 2 , 定义:c λ ? λa ? (1 ? λ)b , 其中 0 ? λ ? 1 . 若 cλ ? c 1 ?
2

1 , [来源:学.科网ZXK] 2

则 c λ 的值不可能 为 ... A.

( ▲ ) B.

5 5

3 3

C.

2 2

D. 1

1

来源:学科网Z-XK][ 二、填空题(每小题 3 分,其中第 11,13 题各 4 分,共 23 分) 9. △ABC 中,若 a ? b ? c ? bc ,则 A=
2 2 2



10. △ABC 中,若角 A,B,C 成等差数列,则

ac = b sin A sin C
2



11.边长为 2 的等边 ?ABC 的面积为 则 DE ? CB =



, 若 D 为 BC 的中点, 点 E 满足 CE ?

??? ?

??? ? ??? ?

? 1 ??? CA , 3





12.

1 ? 3 tan 500 1 ? cos1000

=____▲____.

cos B ? 13. ?ABC 中, 若 BC ? 4 ,

1 , 则 sin B ? 4



,AB ? AC 的最小值为: ▲ .

14. 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且满足 S15 ? 0, S16 ? 0, 则 项为 ▲

S S1 S 2 , ,?, 15 中最大的 a1 a2 a15

15.设函数 f ( x) ? 4 x ? cos x, {an } 是公差为

?

2016 f (a1 ) ? f (a1009 ) ? f (a2017 ) ? f (a3025 ) ? f (a4033 ) ? 10? ,则 f (a2017 ) ? a1 ? a4033 ?

的等差数列,



三、解答题(本大题共 5 题,共 53 分)

16. (本题满分 8 分)已知向量 a=(-3, 2) , b=(2,1 ), c ? (3, ?1),t ? R . (Ⅰ) a 在 b ? c 上的投影;

?

?

?

?

? ?

(Ⅱ)若 a ? tb与c 共线,求实数 t 的值;

?

? ?

17. (本题满分 10 分)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S 成等差数列. (Ⅰ)求 d 的值; (Ⅱ)令 bn ?

n

,公差为 d .已知 S 2 ,S3 ? 1 ,S 4

Sn S ,记 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,若 n ? 2 ,求 a1 . n Tn
{bn }

2

18. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 3 cos2 x ? sin x cos x (Ⅰ)求 f ( ) 的值;

?

6

(Ⅱ)求 f ( x ) 的单调增区间; (Ⅲ)若 ? ? (0, ? ) , f ( ) ?

?

2

7? 1 3 ) 的值. , 求 sin(? ? ? 12 4 2

19. (本题满分 11 分)如图,△ ABC 中, B ?

?
3

, BC ? 2 ,点 D 在边 AB 上,
A

AD ? DC , DE ? AC , E 为垂足. 3 (Ⅰ)若△ BCD 的面积为 ,求 CD 的长; 3 6 (Ⅱ)若 DE ? ,求角 A 的大小. 2
[来源:学科网Z-XK]

E D

B

C

[来源:学+科网ZXK]

20. (本题满分 12 分) ?ABC 中,A,B,C 的对边分别为 a, b, c , 且 ( AB)2 ? AB ? AC ? BA ? BC ? CA ? CB . (Ⅰ)判断 ?ABC 的形状; (Ⅱ)若不等式 a (b ? c) ? b (c ? a) ? c (a ? b) ? kabc 对任意的满足题意的 a, b, c 都成
2 2 2

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

立,求 k 的取值范围.

3

[来源:Z-xk.Com]

4

一、选择题(每小题 3 分,共 24 分) 1. D 2. A 3. C 4. B 5.C

6.D

7. A

8. A

二、填空题(每小题 3 分,其中第 11,13 题各 4 分,共 23 分) 9.

? 3

10.

4 3

12. 3 , ?

4 3

13. 2 2

14.

1 15 ,- 4 4

14.

3?
三、解答题(本大题共 5 题,共 53 分)

S8 a8

15.

? ? ? ? ? ? ? ? a ? (b ? c) 16.解: (1)b ? c ? (5,0) ,故 a 在 b ? c 上的投影为:| a | cos ? a, b ? c ? = ? ? ? ?3 |b?c|
………4 分 (2)a ? tb ? (?3 ? 2t, 2 ? t ) ,a ? tb与c 共线即:(?3 ? 2t ) ? (?1) ? (2 ? t ) ? 3 ? 0 , 故t ? ………4 分 17.解: (1)由 S2, S3 ?1 , S4 成等差数列得 S S 2 S 2, 2? 4? 3? 即 (2a1 ? d ) ? (4a1 ? 6d ) ? 2(3a1 ? 3d ) ? 2 ,得 d ? 2 . (2)由 S n ? na1 ? ………4 分

?

?

?

? ?

3 5

S n( n ? 1) d = n2 ? (a1 ? 1)n , bn ? n = n ? a1 ? 1 ,知 {bn } 为等差数 2 n (b ? bn )n 1 2 S n 2 ? (a1 ? 1)n ? [n ? ( 2a1 ? 1)n] , 则 n ? 列 , 所 以 Tn ? 1 =2 , 得 到 1 2 2 2 Tn [n ? ( 2a1 ? 1)n] 2 ………6 分 a1n ? 0 ,所以 a1 ? 0

1 ? 3 ? ………3 分 ? , cos ? , f( )? 3 6 2 6 2 6 1 ? cos2 x 1 3 ? (Ⅱ) f ( x ) ? 3 ? ? sin2 x ? ? sin( 2x ? ) 2 2 2 3 5? ? , k? ? ], k ? Z 所以增区间为: [k? ? ………4 分 12 12 ? 1 ? 3 ? 1 3 (Ⅲ) f ( ) ? ,则 sin(? ? ) ? ,因为 ? ? (0, ? ) ? sin( ?? )? ? 3 4 2 2 3 4 2 ? ? 4? ? ? ? ? ? 3 ? ? ?( , ), i n ( ?? )? 若? ? ? ( , ) , 则s , 矛盾, 又 sin(? ? ) ? 0 , 3 3 3 3 3 2 3 3 2 ? ? ? 15 ?? )?? 所以 ? ? ? ( , ? ) , cos( 3 2 3 4 7? ? ? 2 ? ? 2 ? 30 所以 sin(? ? ………5 分 ) ? sin(? ? ? ) = [sin( ? ? ) ? cos( ? ? )] ?
18.解: (Ⅰ) sin

?

12

3

4

2

3

3

8

19.解: (Ⅰ) 连接 CD , 由题意得 S?BCD ?

1 3 3 BC ? BD ? sin B ? , 又 BC ? 2 , sin B ? 2 3 2
5

得 BD ?

2 .由余弦定理得 3
2

2 7 2 ?2? , CD ? BC ? BD ? 2BC ? BD ? cos B ? 22 ? ? ? ? 2 ? 2 ? cos B ? 3 3 ?3?
2 2

所以,边 CD 的长为

2 7 . 3

………5 分

DE 6 . ? sin A 2sin A BC CD ? 由正弦定理知: ,且 ?BDC ? 2 A , sin ?BDC sin B 2 6 得 , ? sin 2 A 2sin A sin 60? ? 2 解得 cos A ? ,A? . 4 2 ? 所以角 A 的大小为 . ………6 分 4 3 2 2 AE 方法 2:由正弦定理得 ,得 AE ? sin A ? sin B ? . ? 2 sin A sin B DE sin A 6 3 又 ,则 AE ? sin A ? DE ? cos A ? , cos A ? ? tan A ? 2 2 AE cos A 2 ? ? 得 cos A ? , A ? .所以角 A 的大小为 . 4 2 ??? ? 2 4 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 20. (Ⅰ)解法一:∵ ( AB) ? AB ? AC ? BA ? BC ? CA ? CB ,
(Ⅱ)方法 1:因为 CD ? AD ? ? 2 ? ? ? ? ? ∴ ( AB ) = AB ·( AC + CB )+ CA · CB , ? 2 ? ? ? ? ? ? 即( AB ) = AB · AB + CA · CB ,即 CA · CB =0. ∴△ABC 是以 C 为直角顶点的直角三角形. ………5 分 ? 2 ? ? ? ? ? ? 解 法 二 : ∵( AB ) = AB · AC + BA · BC + CA · CB , 所 以

c 2 ? bc cos A ? ac cosb ? abcosc
由余弦定理知:

c 2 ? bc cos A ? ac cosb ? abcosc b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 a 2 ? b2 ? c 2 = + + = 2 2 2 2 2 2 2 从而 a ? b ? c ,∴△ABC 是以 C 为直角顶点的直角三角形.
(Ⅱ)在直角△ABC 中, a=csinA,b=ccosA. 2 2 2 若 a (b+c)+b (c+a)+c (a+b)≥kabc,对任意的满足题意的 a、b、c 都成立,[来源:学科网Z-XK] 2 2 a (b+c)+b (c+a)+c2(a+b) 则有 ≥k,对任意的满足题意的 a、b、c 都成立,

abc a (b+c)+b (c+a)+c2(a+b) ∵ abc
2 2



1

c3sinAcosA

[c sin A(ccosA+c)+c cos A(csinA+c)+c (csinA+ccosA)]

2

2

2

2

2

6



1 1+cosA+sinA 2 2 [ sin AcosA+cos A sinA+1+cosA+sinA]=cosA+sinA+ sinAcosA sinAcosA

令 t=sinA+cosA,t∈ (1, 2] , -----------------------------------------10 分[来源:学科网Z-XK] 2 2 2 a (b+c)+b (c+a)+c (a+b) 1+t 2 2 设 f(t)= =t+ 2 =t+ =t-1+ +1. abc t -1 t-1 t-1 2 2 f(t)=t-1+ +1,当 t-1∈ (0, 2 ?1] 时 f(t)为单调递减函数, t-1 ∴当 t= 2时取得最小值,最小值为 2+3 2,即 k≤2+3 2. ∴k 的取值范围为(-∞,2+3 2]. ………7 分

7


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