高中数学北师大版高二必修5_第一章1.1_数列的概念_作业 含解析

高中数学北师大版高二必修 5_第一章 1.1_数列的概念_作业 含 解析 [学业水平训练] 1.下列说法正确的是( ) ①一个数列的通项公式可以有不同的形式. ②数列的通项公式也可用一个分段函数表示. ③任何数列都存在通项公式,若不存在通项公式也就不是一个数列了. A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 答案:A 2.数列 1,3,6,10,…的一个通项公式是( ) A.an=n2-(n-1) B.an=n2-1 n(n+1) n(n-1) C.an= D.an= 2 2 1×2 2×3 3×4 4×5 解析:选 C.数列 1,3,6,10,…可写成 , , , ,…,故选 C. 2 2 2 2 1 2 3 n 3.已知数列 , , ,…, ,则 0.96 是该数列的( ) 2 3 4 n+1 A.第 20 项 B.第 22 项 C.第 24 项 D.第 26 项 n n 解析:选 C.由 an= 知 0.96= ,解得 n=24,故选 C. n+1 n+1 4.下列说法中,正确的是( ) A.数列 3,5,7,9 可表示为{3,5,7,9} B.数列 1,0,-1,-2 与数列-2,-1,0,1 是相同的数列 n+2 2 C.数列{ }的第 k 项为 1+ n k D.数列 1,3,5,7,…可记为{2n+1} 解析:选 C.A 错;选项 B 中数的顺序不同,表示的是不同的数列,故 B 错;选项 D 中数列应记为{2n -1},故 D 错. ?2(n=1), ? 5.数列的通项公式是 an=? 2 则该数列的前两项分别是( ?n -2(n≥2), ? A.1,2 B.2,0 C.2,2 D.2,4 ) 解析:选 C.当 n=1 时,a1=2;当 n=2 时,a2=22-2=2. 6.已知数列 1, 3, 5, 7,…, 2n-1,…,则 3 5是该数列的第________项. 解析:由题意知 an= 2n-1,又 3 5= 45,∴45=2n-1,n=23,即 3 5是该数列的第 23 项. 答案:23 7.数列 1×2,2×3,3×4,4×5,…的第 24 项为________. 解析:易知该数列的通项公式为 an=n(n+1),令 n=24,得 a24=600. 答案:600 1 8.数列{an}的通项公式为 an= ,则 10- 9是此数列的第________项. n+1+ n 1 解析:an= = n+1- n= 10- 9,观察可得:n=9. n+1+ n 第1页 共3页 答案:9 2n 9.已知数列{an}的通项公式为 an= , 3n+2 (1)求 a3; 8 (2)若 an= ,求 n. 13 2×3 2n 6 解:(1)将 n=3 代入 an= ,得 a3= = . 11 3n+2 3×3+2 8 2n 8 2n (2)将 an= 代入 an= ,得 = ,解得 n=8. 13 13 3n+2 3n+2 10. 已知数列{an}中, a1=3, a10=21, 通项 an 是项数 n 的一次函数, 求数列{an}的通项公式, 并求 a2 014. 解:设 an=kn+b(k≠0),把 a1=3,a10=21 代入得 ?k+b=3, ?k=2, ? ? ? 解得? ?10k+b=21, ?b=1. ? ? 于是 an=2n+1.a2 014=4 029. [高考水平训练] 1.已知数列{an}的前四项分别为 1,0,1,0,则下列各式可作为数列{an}的通项公式的个数为( 1 + (1)an= [1+(-1)n 1]; 2 nπ (2)an=sin2 ; 2 1 + (3)an= [1+(-1)n 1]+(n-1)(n-2); 2 1-cos nπ (4)an= ; 2 ? ?1,n为偶数, (5)an=? ?0,n为奇数. ? A.1 B.2 C.3 D.4 ) 解析:选 C.对于(3),将 n=3 代入,a3=3≠1,易知(3)不是通项公式.通过观察、猜想、辨认的办法, 1 1 根据半角公式可知(2)和(4)实质是一样的.数列 1,0,1,0,…的通项公式,可猜想为 + (-1)n+1,这就 2 2 是(1)的形式.另外我们可以联想到单位圆与 x 轴,y 轴交点的横坐标依次为 1,0,-1,0,根据三角函数 的定义,可以猜想通项公式为 sin + nπ nπ (n∈N+),这样 1,0,1,0,…的通项公式可猜想为 an=sin2 (n∈N 2 2 ).对于(5),易看出它不是数列{an}的一个通项公式. 综上,可知可作为数列{an}的通项公式的有三个,即有三种表示形式.故选 C. 2.已知数列{an}的通项公式 an=n2-4n-12(n∈N+),则这个数列的第 4 项是________,65 是这个数列 的第________项. 解析:a4=42-4×4-12=-12.令 n2-4n-12=65,解得 n=11 或 n=-7(舍去). 答案:-12 11 3.数列{an}的通项公式为 an=n2-7n+6. (1)这个数列的第 4 项是多少? (2)150 是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项? (3)该数列从第几项开始各项都是正数? 解:(1)当 n=4 时,a4=42-4×7+6=-6. (2)令 an=150,即 n2-7n+6=150,解得 n=16 或=-9(舍去),故 150 是这个数列的第 16 项. (3)令 an=n2-7n+6>0,解得 n>6 或 n<1(舍去). 第2页 共3页 故从第 7 项开始各项都是正数. 4.已知数列{an}中,a1=1,对所有的 n∈N+且 n≥2 都有 a1·a2·…·an=n2. (1)求 a3+a5 的值; 256 (2)判断 是不是此数列中的项; 225 (3)试比较 an 与 an+1(n≥2)的大小. 解:(1)法一:∵a1·a2·…·an=n2 对所有 n≥2 的自然数都成立,且

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