江苏省沛县中学2015-2016学年高二下学期起一次质量检测数学试题

高二年级第二学期第一次质量检测 数学(理)试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每题 5 分,共计 70 分) zz 1.已知复数 z1 ? 1 ? i, z2 ? 2 ? i ,则 1 2 ? ___________. i
2. 已知函数 f ? x ? ? ax ln x, x ? ? 0, ??? , 其中 a 为实数 , f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函数 , 若

f ? ?1? ? 3 ,则 a 的值为



3.若函数 f ( x) ? 3sin x ? 4cos x ,则 f ?( ) ? _________.

?

2

4.曲线 f ( x ) ?

2 ? sin x 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为_____________. cos x

5.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 在 x ? 1 处取得极值为 10,则 a ? b ? __________. 6.已知 f ( x) ? x 2 ? 3xf ?(2) ,则 f ?(2) ? _________. 7.在空间直角坐标系中,在 z 轴上求一点 C ,使得点 C 到点 A(1, 0, 2) 与点 B(1,1,1) 的距离 相等,则点 C 的坐标为 .

8. 如果函数 y ? f ( x) 的导函数 y ? f ?( x) 的图象如图所示,给出下列判断:
1? ? ①函数 y ? f ?( x) 在区间 ? ?3 , ? ? 内单调递增; 2? ? ? 1 ? ②函数 y ? f ?( x) 在区间 ? ? , 3 ? 内单调递减; 2 ? ?

y ? f ?( x)

③函数 y ? f ( x) 在区间 (4 , 5) 内单调递增; ④当 x ? 2 时,函数 y ? f ( x) 有极小值;
1 ⑤当 x ? ? 时,函数 y ? f ?( x) 有极大值; 2

(第 8 题图)

则上述判断中正确的是___________. 9.已知 a ? (2, ?1, x), b ? (3, 2, ?1) ,若 a ? b ,则实数 x ? __________. 10. 已 知 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 在 点 M ( 1 ,f ( 1 )处 ) 的切线方程是 y ?

?

?

?

?

1 x?2 ,则 2

f (1) ? f ? (1 ?)



11. 如图,PD 垂直于正方形 ABCD 所在平面,AB ? 2 ,E 为 PB 的中点,

(第 11 题图)

??? ? ??? ? 3 ,若以 DA, DC , DP 所在直线分别为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系,则 cos? DP, AE ? ? 3
点 E 的坐标为________. 12.已知 f ( x) ?

1 3 x ? x( x ? R) ,若任意实数 x 使得 f (a ? x) ? f (ax2 ?1) ? 0 成立, 则a的 3

取值范围是________. 13.设 f ( x) ?

1 3 1 2 x ? ax ? 2bx ? c , 0 , 1 ) 当 x?( 3 2

取极大值, 当 x ? (1, 2) 取极小值, 则

b?2 a ?1

的取值范围是________. 14. 函数 y ? f ? x ? 图像上不同的两点 A? x1, y1 ? , B ? x 2, y2 ? 处的切线的斜率分别是 k A , kB , 规定 ? ? A, B ? ?

k A ? kB AB
3 2

叫做曲线 y ? f ? x ? 在点 A 与点 B 之间的“弯曲度” ,给出以下命

题:①函数 y ? x ? x ? 1 图像上两点 A 与 B 的横坐标分别为 1, 2 ,则 ? ? A, B ? ? 3 ; ②存在这样的函数,图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数; ③设点 A 、 B 是抛物线 y ? x2 ? 1 上不同的两点,则 ? ? A, B ? ? 2 ; ④设曲线 y ? e x 上不同两点 A? x1, y1 ? , B ? x 2, y2 ? , 且 x1 ? x2 ? 1 , 若 t ? ? ? A, B ? ? 1 恒成立, 则实数 t 的取值范围是 ? ??,1? . 以上正确命题的序号为 .

二、解答题(本大题共 6 个小题,共 90 分)
15. m 为何实数时,复数 z ? (2 ? i)m ? 3(i ? 1)m ? 2(1 ? i) 是:
2

(1)虚数; (2)若 z ? 0 ,求 m .

3 2 16.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 在 x ? ?

2 与 x ? 1 时都取得极值 3

(1)求 a , b 的值与函数 f ( x) 的单调区间

(2)若对 x ?[?1, 2] ,不等式 f ( x) ? c2 恒成立,求 c 的取值范围

17.一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为 1 万元,每生产 1 万件需要再投入 2 万 元.设该公司一个月内生产该小型产品 x 万件并全部销售完,每万件的销售收入为 4 ? x 万 元, 且每万件国家给予补助 2e ?

2e ln x 1 ? 万元. ( e 为自然对数的底数,e 是一个常数.) x x

(Ⅰ)写出月利润 f ( x ) (万元)关于月产量 x (万件)的函数解析式; (Ⅱ)当月生产量在 [1, 2e] 万件时,求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值 (万元) 及此时的月生产量值 (万件) . (注: 月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本) .

18 .如图所示,在棱长为 2 的正方体 AC1 中,点 P、Q 分别在棱 BC、 CD 上,满足

B1Q ? D1P ,且 PQ ? 2 .
A1 (1)试确定 P 、 Q 两点的位置. (2)求 B1Q 与平面 APQ 所成角的正弦值. A B Q P C D B1 C1 D1

19.设函数 f ( x) ? a ln x ? bx 2 , a, b ? R (1)若函数 f ( x ) 在 x ? 1 处与直线 y ? ?

1 相切; 2 1 ①求实数 a , b 的值;②求函数 f ( x )在[ , e] 上的最大值; e

(2)当 b ? 0 时,若不等式 f ( x) ? m ? x 对所有的 a ? [0,

3 ] , x ? ?1, e 2 ? ? 都成立,求实数 2

m 的取值范围.

20.已知函数 f ( x) ? x ? (?1) 2a ln x(k ? N , a ? R且a ? 0) .
2 k

(1)求 f ( x) 的极值; (2)若 k ? 2016 ,关于 x 的方程 f ( x) ? 2ax 有唯一解,求 a 的值.
2 (3)当 k ? 2015 时,证明:对一切 x ? 0 都有 f ( x) ? x ? 2a(

1 2 ? ) 成立. e x ex

参考答案:
1. 1 ? 3i ⑤ 9.4 15. 10.3 11.(1,1,1)12. (??, 2.3 3.4 4. x ? y ? 2 ? 0 5.-7 6.-2 7.(0,0,1) 8. ①②③

1? 2 ) 2

13. ( ,1)

1 4

14. ②③

16.

17.

18.

19.

20.

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