2017届高三数学一轮复习第四篇三角函数、解三角形第6节正弦定理和余弦定理及其应用基础对点练理

第6节 【选题明细表】 正弦定理和余弦定理及其应用 题号 1,3,7,10 4,8,11,12 2,5,9 6,13,14,15,16 知识点、方法 用正、余弦定理解三角形 与面积相关的问题 判断三角形的形状 实际问题与综合问题 基础对点练(时间:30 分钟) 1.(2015 石景山区模拟)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, a=4,b=4 则 B 等于( B ) (A)60° (B)60°或 120° (C)30° (D)30°或 150° 解析:因为 a=4,b=4 ,A=30°, ,A=30°, 由正弦定理 = ? sin B= = ,因为 B 是三角形的内角,且 b>a,所以 B=60°或 120°. 2.(2016 广州四校联考)在△ABC 中,已知 2sin Acos B=sin C,那么△ABC 一定是( C ) (A)直角三角形 (B)等腰直角三角形 (C)等腰三角形 (D)正三角形 解析:在三角形中,2sin Acos B=sin C=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B ? sin Acos B-cos Asin B =sin(A-B)=0, 所以 A=B,即三角形为等腰三角形. 3.(2016 山东省实验中学高三第二次诊断)△ABC 中,A=,BC=3,则△ABC 的周长为( D ) (A)4 sin(B+)+3 (B)4 sin(B+)+3 (C)6sin(B+)+3 (D)6sin(B+)+3 = = =2 , 所以三角形的周长 AB+AC+BC=2 sin B+2 sin 解析 : 由正弦定理得 , C+3=2 sin B+2 sin( -B)+3=3 sin B+3cos B+3=6sin(B+)+3,故选 D. 4.在△ABC 中,A=60°,AB=2,且△ABC 的面积为 ,则 BC 的长为( B ) (A) (B) (C)2 (D)2 1 解析:S=AB·ACsin 60°=×2× AC= , 所以 AC=1, 2 2 2 所以 BC =AB +AC -2AB·ACcos 60°=3, 所以 BC= . 2 2 5.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B=asin A,且 sin B=sin C, 则△ABC 的形状为( D ) (A)等腰三角形 (B)锐角三角形 (C)直角三角形 (D)等腰直角三角形 解析:因为 bcos C+ccos B=asin A, 2 所以由正弦定理得 sin Bcos C+sin Ccos B=sin A, 2 所以 sin(B+C)=sin A, 2 sin A=sin A,sin A=1, 即 A=. 2 2 又因为 sin B=sin C, 2 2 所以由正弦定理得 b =c ,即 b=c, 故△ABC 为等腰直角三角形. 6.(2016 合肥模拟)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.若 b+c=2a,3sin A=5sin B, 则角 C 等于( B ) (A) (B) (C) (D) 解析:因为 3sin A=5sin B, 所以由正弦定理可得 3a=5b, 所以 a=b. 因为 b+c=2a, 所以 c=b, 所以 cos C= 因为 C∈(0,π ), 所以 C= . =-. 7.(2015 高考安徽卷)在△ABC 中,AB= 解析:因为∠A=75°,∠B=45°, 所以∠C=60°. 由正弦定理可得 答案:2 = ,解得 AC=2. ,∠A=75°,∠B=45°,则 AC= 2 8.(2015 高考天津卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知△ABC 的面积为 3 ,b-c=2,cos A=-, 则 a 的值为 . 解析:因为 cos A=-,0<A<π , 所以 sin A= = . 由3 =bcsin A 得 bc=24. 又因为 b-c=2, 所以 b=6,c=4. 2 2 2 由余弦定理得 a =b +c -2bccos A=36+16+12=64. 故 a=8. 答案:8 9. 设 △ ABC 的 三 个 内 角 A,B,C 成 等 差 数 列 , 且 ( 是 . 解析:由题得 2B=A+C,3B=π 得 B=, 设 AC 中点 D,则( + )· =2 · =0, + )· =0, 则 △ ABC 的 形 状 即 ⊥ 得 a=c. 所以△ABC 为等腰三角形, 又因为 B=, 所以△ABC 为等边三角形. 答案:等边三角形 10.(2015 黑龙江四校联考)△ABC 的三个内角 A,B,C 对应的三条边长分别是 a,b,c,且满足 csin A+ acos C=0. (1)求 C 的值; (2)若 cos A=,c=5 解:(1)因为 csin A+ 2Rsin Csin A+2R 由 sin A≠0, 所以 tan C=,又 C∈(0,π ), ,求 sin B 和 b 的值. acos C=0,由正弦定理得 sin Acos C=0, 所以 C= . 3 (2)由 cos A=,A∈(0, ), 得 sin A= =, sin B=sin(π -A-C) =sin(A+C) =sin Acos C+cos Asin C =×(-)+× = . 由 = , 得 b= =3 -4. 11.(2015 高考陕西卷)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,向量 m=(a, A,sin B)平行. (1)求 A; (2)若 a= ,b=2,求△ABC 的面积. b)与 n=(cos 解:(1)因为 m∥n, 所以 asin Bbcos A=0, sin Bcos A=0, 由正弦定理得 sin Asin B又 sin B≠0, 从而

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