数学:2.2.2直线方程的几种形式 课件一(新人教B版必修2)_图文

第二课时 直线方程的一般式

学习目标

1. 理解直线方程的一般式的特点与特殊式的区
别.

2.会进行直线方程的一般式与特殊式之间的相
互转化,进一步掌握求直线方程的方法.

课前自主学案

第二课时

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基 1.直线的特殊式方程 (1)点斜式方程:__________________. y-y0=k(x-x0) y=kx+b (2)直线的斜截式方程:__________. y-y1 x-x1 (3)直线的两点式方程: = (x1≠x2, y2-y1 x2-x1 且 y1≠y2). x y + =1(a≠0,b≠0) (4)直线的截距式方程:___________________. a b

2.直线方程的斜截式y=kx+b是二元一次方程, 经过变形可记为kx-y+b=0,若k不存在,直 线的方程可表示为x=x0,变形为x-x0=0,是 一个二元一次方程的特殊形式,于是可得出结

论,任何一条直线可表示为二元一次方程的形
式.

知新益能
1.直线方程的一般式 我们把方程________________(A2 +B2≠0)(*)叫做 Ax+By+C=0 A C 直线的一般式方程. y=- x- (1)当 B≠0 时,方程(*)可化为_______________. B B A C - - 它表示斜率为_______,在 y 轴上的截距为______ B B 的直线. (2)当 B=0 时, 由于 A、 不同时为零, B 必有 A≠0, C x=- 于是方程(*)可化为__________.它表示一条与 y 轴 A 平行或重合的直线.

思考感悟 如何理解直线的一般式方程Ax+By+C=0中 要求A2+B2≠0? 提示:如果A2 +B2 =0,则A=B=0,此时Ax +By+C=0变为C=0,而C=0不能表示直线 方程.

2.一般式与几种特殊式的区别与联系

(1)联系:都反映了确定直线位置需要______独立 两个
条件. 几何 (2)区别:几种特殊形式主要揭示直线的______特 征,一般式主要揭示坐标平面内的直线与二元一

次方程的关系.

课堂互动讲练

考点突破
求直线的一般式方程

先建立直线方程的特殊式再转化为直线的一般 式.

例1 菱形的两条对角线长分别等于8和6,并

且分别位于x轴和y轴上,求菱形各边所在的直 线的方程.

【分析】 根据题目所给条件,利用前面所学 过的截距式求出直线的方程后,再化为Ax+ By+C=0的形式. 【解】 设菱形的四个顶点为A、B、C、D, 如图所示.根据菱形的对角线互相垂直且平分 可知,顶点A、B、C、D在坐标轴上,且A、C 关于原点对称,B、D也关于原点对称.所以 A(-4,0),C(4,0),B(0,3),D(0,-3), 由截距式,得

x y 直线 AB 的方程为 + =1,即 3x-4y+12 -4 3 =0; x y 直线 BC 的方程为 + =1, 3x+4y-12=0; 即 4 3 x y 直线 AD 的方程为 + =1,即 3x+4y+ -4 -3 12=0; x y 直线 CD 的方程为 + =1,即 3x-4y-12 4 -3 =0.

【点评】

直线方程的五种形式要根据具体

的条件,选择合适的形式,对于一些特殊情

况,如斜率不存在或斜率为0等情况要注意最
后转化为一般式的形式.

跟踪训练1 已知直线Ax+By+C=0的斜率为 5,且A-2B+3C=0,求直线的方程.

解:法一:∵直线 Ax+By+C=0 的斜率为 5, A ∴B≠0,且-B=5,即 A=-5B① 又∵A-2B+3C=0② 由①②得,-5B-2B+3C=0, 7 ∴C= B,③ 3 把①③代入直线方程,得 7 -5Bx+By+ B=0. 3

7 又∵B≠0,∴-5x+y+ =0. 3 故所求直线方程为 15x-3y-7=0. 法二:∵A-2B+3C=0, 1 2 ∴A·+B· )+C=0, (- 3 3 1 2 ∴直线经过点( ,- ). 3 3 2 1 又∵斜率为 5, ∴所求直线方程为 y+ =5(x- ), 3 3 即 15x-3y-7=0.

直线方程的应用

通过将一般式化为特殊式,研究直线的几何特
征.

已知直线l:5ax-5y-a+3=0. (1)求证:不论a为何值,直线l恒过第一象限; (2)为使直线不经过第二象限,求a的取值范围. 【分析】 证明出l过定点且定点在第一象限,问 题得证. 3 【解】 (1)证明: 将直线 l 的方程整理得 y- = 5 1 1 3 a(x- ),∴l 的斜率为 a,且过定点 A( , ), 5 5 5 1 3 而点 A( , )在第一象限,故直线 l 恒过第一 5 5 象限.

例2

3 -0 5 (2)直线 OA 的斜率为 k= =3. 1 -0 5 ∵l 不经过第二象限,∴a≥3.
【点评】 针对这个类型的题目,灵活地把一般 式Ax+By+C=0进行变形是解决这类问题的关 键.在求参量取值范围时,巧妙地利用数形结合 思想,会使问题简单明了.

跟踪训练2 直线kx+y-k=0与射线3x-4y+5 =0(x≥-1)有交点,求实数k的取值范围.

解:kx+y-k=0 过定点 Q(1,0)且斜率为-k, ? 1? ? 点 S?-1,2?为射线 3x-4y+5=0 的端点. ? ? ? 1 ∵kQS=- ,结合图象知,若要有交点,则 4 3 1 -k> 或-k≤- , 4 4 3 1 ∴k<- 或 k≥ . 4 4

方法感悟

1.求直线方程,表面上需求 A、B、C 三个系数, 由于 A、B 不同时为零, B C B 若 A≠0,则方程化为 x+ y+ =0,只需确定 、 A A A C 的值; A A C A C 若 B≠0,则方程化为Bx+y+B=0,只需确定B、B 的值. 因此, 只要给出两个条件, 就可以求出直线方程. 这 样在以后求直线方程时会有章可循.

2.直线方程的其他形式都可以化成一般形 式.解题时,如果没有特殊说明应把最后结果 化为一般式.一般式也可以化为斜截式. 一般式化斜截式的步骤: (1)移项,By=-Ax-C; A C (2)当 B≠0 时,得 y=-Bx-B. 一般式化截距式的步骤: (1)把常数项移到方程右边得 Ax+By=-C;

Ax By (2)当 C≠0 时,方程两边同除以-C,得 + -C -C x y =1,即 + =1. C C -A -B 3.在一般式 Ax+By+C=0(A2+B2≠0)中, C 若 A=0,则 y=-B,它表示一条与 y 轴垂直的直 线; C 若 B=0,则 x=-A,它表示一条与 x 轴垂直的直 线.


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