四川省温江中学高2013级高二上期10月月考试数学试卷(有答案)2014.10.8

温江中学高 2013 级高二(上)10 月月考
数学试题
(全卷满分:150 分,完成时间 120 分钟) 命题人:何天宇 审题人:朱洪斌

注意事项: 选择题答案用铅笔涂写在机读卡上,每小题选出答案后,用铅笔把对应题目的答案 标号涂黑.其它题答在答题卷上.

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

一.选择题(本大题共有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的.)
1.以下关于几何体的三视图的论述中,正确的是 A.球的三视图总为全等的圆. B.正方体的三个视图总是三个全等的正方形. C.水平放置的正四面体的三个视图都是正三角形. D.水平放置的圆台的俯视图是一个圆. 2.球的体积是 A. 12π ( ▲ )

32? ,则此球的表面积是 3
B. 16π C.

(

▲ )

16 π 3

D.

64 π 3

3.设α ,β 是不重合的两个平面,l 和m 是不重合的两条直线,那么α ∥β 的一个条件是 ( ▲ ) A.l ? α ,m ? α ,且 l∥β ,m∥β B.l ? α ,m ? β ,且 l∥m C.l⊥α ,m⊥β ,且 l∥m D.l∥α ,m∥β ,且 l∥m 4.在空间四边形各边 AD,AB,BC,CD 分别取 E,F,G,H 四点,如果 EF,GH 交于一点 M, 那么 ( ▲ ) A.M 一定在直线 AC 上 B.M 一定在直线 BD 上 C.M 可能在直线 AC 上,也可能在直线 BD 上 D.M 既不在直线 AC 上,也不在直线 BD 上 5.已知正三角形 ABC 的边长为 a ,那么这个正三角形的水平放置直观图 A ?B ?C ? 的面积是 ( ▲ ) A.

3 2 a 4

B.

3 2 a 8

C.

6 2 a 8

D.

6 2 a 16

6.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上 1 有两个动点 E,F,且 EF= ,则下列结论中错误的是 ( ▲ ) 2 A.AC⊥BE B.EF∥平面 ABCD C.△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 D.三棱锥 A-BEF 的体积为定值
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7. 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,M 为DD1的中点, O为面ABCD 的中心,N 为棱 A 1B 1 上的一动点,则直线 ON 与AM 所成的角为 A.30° B.45° C.60° ( D.90° ▲ ) ▲ )

8.在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,若 AB=2, AA 1 BC 的距离为( 1 ? 1 则点 A 到平面 A A.

3 3 3 3 B. C. D. 3 4 2 4 9.已知正 ?ABC 的边长为 4,到顶点 A, B, C 的距离都等于 1 的平面的个数为( ▲ ) A.2 B.5 C.6 D.8
10.如图所示:多面体是过正四棱柱的底面正方形 ABCD 的顶点 A 作截面 AB1C1D1 而截得的,且 B1B=D1D。已知截面 AB1C1D1 与底面 ABCD 成 30°的二面角, AB=1, 则这个多面体的体积为 ( ▲ ) A.

6 6

B.

6 4

C.

6 3

D.

6 2

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二. 填空题(本大题共有 5 小题, 每小题 5 分, 共 25 分. 把答案直接填在答题卷指定的横线上. ) 11.若圆锥的侧面展开图为一个半径为 2 的半圆,则圆锥的体积为 ▲ ..
12.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 2 3 , 它的三视图中的府视图如图所示,左视图是一个矩形, 则这个矩形的面积是 ▲ . 13.如图:正方形 SG1G2G3 中,E,F 分别是 G1G2, G2G3 的 中点,现在沿 SE,SF,EF 把正方形折成一个四面体,使 G1,G2,G3 三点重合,重合后的点记为 G,则二面角 S-EF-G 的余弦值为 ▲ . 14.已知三棱锥 A-BCD 中,AB=CD,且直线 AB 与 CD 成 60° 角,点 M,N 分别是 BC,AD 的中点,则直线 AB 与 MN 所成的 角的大小是 ▲ . 府视图
S G3

F

G1

E

G2

15.下列说法中,正确的有: ▲ . ①经过两条异面直线中的一条,一定有一个平面与另一条直线平行; ②已知直线 m, n 和平面 ? , ? ,且 m ∥ n , n ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? ; ③垂直于同一条直线的两直线平行; ④若直线 a 不平行于平面 ? ,则 ? 内不存在与 a 平行的直线; ⑤已知直线 a , b 和平面 ? ,且 a ? b, a ? ? , 则 b ∥ ? .

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三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
16.(本小题满分 12 分) 已知平面 ? , ? ,直线 a ,且 ? ? ? , ? ? ? ? AB, a ∥ ? , a ? AB . 试判断直线 a 与平面 ? 的位置关系,并证明之.

α B

a

β A
17. (本小题满分 12 分) 如图所示,已知三棱锥 A ? BCD 被一平面所截,截面为平行四边形 EFGH . 求证: CD ∥平面 EFGH .

A

E F B G H C D

18. (本小题满分 12 分) 如图, 在几何体 ABCDE 中, AB=AD=2, AB⊥AD, AE⊥平面 ABD.M 为线段 BD 的中点, MC∥AE, AE=MC= 2. (1)求证:平面 BCD⊥平面 CDE; (2)若 N 为线段 DE 的中点,求证:平面 AMN∥平面 BEC.

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19. (本小题满分 12 分) 如图:在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中. (1)求证: B1 D ? 平面A1 BC1 ; (2)求直线 A1 B 和平面 A1 B1CD 所成的角.

D1 A1 B1

C1

D A B

C

20. (本小题满分 13 分) 如图(1),在 Rt△ABC 中,∠C=90°,D,E 分别为 AC,AB 的中点,点 F 为线段 CD 上的 一点,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1F⊥CD,如图(2). (1)求证:DE∥平面 A1CB; (2)求证:A1F⊥BE; (3)线段 A1B 上是否存在点 Q, 使 A1C⊥平面 DEQ?说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 如图所示,已知三棱锥 P ? ABC, AB ? BC, PA ? PB, BC ? 6, AC ? 20, D 为 AC 的 中点,且 ?PCD 是正三角形. (1)求证:平面 PAB ? 平面 ABC ; (2)求二面角 D ? AP ? B 的正弦值; (3)若 M 是 PC 的中点,求三棱锥 M ? BCD 的体积.

P M D

A B
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C

温江中学高 2013 级高二(上)10 月月考
数学试题参考答案
一、选择题: 1—5 ABCBD 二、填空题: 11. 6—10 CDBDA

3 ? 3

12. 2 3

13.

1 3

14.

? ? 或 6 3

15. ①②

三、解答题: 16. (本题满分 12 分) a ? AB . ? ? ? ? AB, a ∥ ? , 已知平面 ? , ? , 直线 a , 且? ? ? , 试判断直线 a 与平面 ? 的位置关系,并证明之。 证明:过直线 a 作平面 ? 交平面 ? 于直线 b 因为 a ∥ ? ,所以 a ∥ b 又因为 a ? AB ,所以 b ? AB 由于 b ? ? , ? ? ? , ? ? ? ? AB, 所以 b ? ? 所以 a ? ?

α B

a

β A

17. (本题满分 12 分) 如图所示,已知三棱锥 A ? BCD 被一平面所截,截面为平行四边形 EFGH 。 求证: CD ∥平面 EFGH .

EFGH ,? EF ∥ GH 证明:? 平行四边形
又 EF ? 平面BCD,GH ? 平面BCD

A

? EF ∥ 平面BCD EF ? 平面ACD , 平面ACD ? 平面BCD ? CD ? EF ∥ CD 又 EF ? 平面EFGH , CD ? 平面EFGH ? CD ∥ 平面EFGH

E F B G H C D

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18. (本题满分 12 分)如图,在几何体 ABCDE 中, AB=AD=2,AB⊥AD,AE⊥平面 ABD。 M 为线段 BD 的中点,MC∥AE,AE=MC= 2. (1)求证:平面 BCD⊥平面 CDE; (2)若 N 为线段 DE 的中点,求证:平面 AMN∥平面 BEC. 证明 (1)∵AB=AD=2,AB⊥AD,M 为线段 BD 的中点, 1 ∴AM= BD= 2,AM⊥BD. 2 1 ∵AE=MC= 2,∴AE=MC= BD= 2,∴BC⊥CD. 2 ∵AE⊥平面 ABD,MC∥AE,∴MC⊥平面 ABD. ∴平面 ABD⊥平面 CBD,∴AM⊥平面 CBD. 又 MC 綊 AE, ∴四边形 AMCE 为平行四边形,∴EC∥AM, ∴EC⊥平面 CBD,∴BC⊥EC, ∵EC∩CD=C,∴BC⊥平面 CDE,∴平面 BCD⊥平面 CDE. (2)∵M 为 BD 中点,N 为 ED 中点,∴MN∥BE 且 BE∩EC=E, 由(1)知 EC∥AM 且 AM∩MN=M,∴平面 AMN∥平面 BEC. 19. (本题满分 12 分)如图:在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中。 A1 (1)求证: B D ? 平面A BC ;
1 1 1

D1 B1

C1

(2)求直线 A1 B 和平面 A1 B1CD 所成的角. 证明: (1)? 正方形A1 B1C1 D1, ? A1C1 ? B1 D1 由正方体 ABCD ? A1B1C1D1 ,有 BB1 ? 平面A1 B1C1 D1
D A B C

? BB1 ? A1C1 由于 BB1 ? B1 D1 ? B1 , BB1、B 1 D1 ? 平面BDD 1 B1 ? A1C1 ? 平面BDD1 B1 又 ? B1 D ? 平面BDD1 B1 ,? B1 D ? A1C1 同理可证: B1 D ? A1 B ? A1C1 ? A1 B ? A1 , A1C1、A 1 B ? 平面A1 BC1 ? B1 D ? 平面A1 BC1
(2) 设BC1 ? B1C ? O ,连接 A1O 由(1)同理可证 BC1 ? 平面A1 B1CD 所以 ?BA 1O 为直线 A 1 B 和平面 A 1 B1CD 所成的角 在直角三角形 A1 BO 中, sin ?BA1O ?

BO 1 ? ,所以 ?BA1O = 30o A1 B 2
o

即直线 A1 B 和平面 A1 B1CD 所成的角为 30 。
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20. (本题满分 13 分) 如图(1),在 Rt△ABC 中,∠C=90°,D,E 分别为 AC,AB 的中点,点 F 为线段 CD 上的 一点,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1F⊥CD,如图(2). (1)求证:DE∥平面 A1CB; (2)求证:A1F⊥BE; (3)线段 A1B 上是否存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ?说明理由.

(1)证明 因为 D,E 分别为 AC,AB 的中点, 所以 DE∥BC. 又因为 DE?平面 A1CB,BC?平面 A1CB, 所以 DE∥平面 A1CB.

(2)证明 由已知得 AC⊥BC 且 DE∥BC, 所以 DE⊥AC. 所以 DE⊥A1D,DE⊥CD. 所以 DE⊥平面 A1DC. 而 A1F?平面 A1DC, 所以 DE⊥A1F. 又因为 A1F⊥CD, 所以 A1F⊥平面 BCDE, 所以 A1F⊥BE.

(3)解 线段 A1B 上存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ.理由如下: 如图,分别取 A1C,A1B 的中点 P,Q,则 PQ∥BC. 又因为 DE∥BC, 所以 DE∥PQ. 所以平面 DEQ 即为平面 DEP. 由(2)知,DE⊥平面 A1DC, 所以 DE⊥A1C. 又因为 P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点, 所以 A1C⊥DP.所以 A1C⊥平面 DEP. 从而 A1C⊥平面 DEQ. 故线段 A1B 上存在点 Q,使得 A1C⊥平面 DE

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21. (本题满分 14 分) 如图所示,已知三棱锥 P ? ABC, AB ? BC, PA ? PB, BC ? 6, AC ? 20,

D 为 AC 的中点,且 ?PCD 是正三角形. (1)求证:平面 PAB ? 平面 ABC ; (2)求二面角 D ? AP ? B 的正弦值; (3)若 M 是 PC 的中点,求三棱锥 M ? BCD 的体积.
(1)证明:因为 D 为 AC 的中点,且 ?PCD 是正三角形. 所以 ?PAC 是直角三角形,即 PA ? PC A 又因为 PA ? PB ,所以 PA ? 平面PBC 所以 PA ? BC 已知 AB ? BC 故 BC ? 平面PAB 因为 BC ? 平面ABC ,所以平面 PAB ? 平面 ABC 。

P M D B C

(2)由(1)有 PA ? PC , PA ? PB ,所以 ?BPC 为二面角 D ? AP ? B 的平面角。 又由(1)有 BC ? 平面PAB ,得 BC ? PB , 在直角三角形 PBC 中, sin ?BPC ? 即:二面角 D ? AP ? B 的正弦值为

BC 6 3 ? ? , PC 10 5

3 。 5

(3)由(1) PA ? 平面PBC ,在三角形 PAC 中由中位线定理有 DM ∥ PA , 所以 DM ? 平面PBC ,故 DM 为三棱锥 D ? BCM 的高, DM ?

1 PA ? 5 3 2

1 1 1 S ? PBC ? ? ? PB ? BC ? 12 2 2 2 1 所以 VM ? BCD ? VD ? BCM ? ? 5 3 ? 12 ? 20 3 3 S ? DCM ?

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