【精品】2019年人教版高中数学选修2-2同步教学课件★1.6 微积分基本定理_图文

【精品】2019年人教版高中数学选修2-2同步教学课件★ 1.6 微积分基本定理 习题 1. 微积分基本定理是怎样的? 2. 怎样用微积分基本定理求定积分? 问题1. 试计算下列定积分, 看看计算中有什么 难点? (1) ??01 x3dx; (2) ?12 1 x dx. (1) ??01 x3dx ? lim n?? n ?( i ?1 i n ?1)3 ? 1 n ? lim n?? n ?( i ?1 i3 n3 ? 3i2 n2 ? 3i n ?1)? 1 n ? lim[ n?? 1 n3 (13 ? 23 ?? ? ? 3 n (1? 2?? n?3n))??n(312?(?1?12n???个?2?2???1?)]?? n1n2 ) ? nli?m?[ 14 (1? 1 n )2 ? 3 2 (1? n1 ) ? 12 (1? n1 )(2 ? n1 ) ?1] ? ? 1 4 . 问题1. 试计算下列定积分, 看看计算中有什么 难点? (1) ??01 x3dx; (2) ?12 1 x dx. (2) ?12 1 x dx ? n lim ? n?? i?1 ni 1?1? 1 n ? lim n?? i??n1n1? i ? lim( n?? 1 n? 1 ? 1 n? 2 ?? ? 1 n? n) ?? (1) 题计算较繁, (2) 题甚至无法算出. 出现问题: 求定积分是否有其它方法 问题2. 一物体作变速直线运动的运动函数是 y?y(t), 那么这个物体在时间段 [a, b] 内的位移是多少? y?y(t) 的导数 y?(t) 的物理意义是什么? 物体在时间段 [a, b] 内的位移 s?y(b)?y(a). y?y(t) 的导数 y?(t) 是这物体的速度函数, 即 v(t)?y?(t). 问题3. 一物体作变速直线运动的速度是 v?v(t), 那 么这个函数的定积分 ?abv(t)dt 的物理意义是什么? ?abv(t)dt 表示物体在时间段 [a, b] 内的位移, 即 s ? ?abv(t)dt. 问题4. 由 “问题2” 与 “问题3” 你能得到什么结论? ?abv(t)dt ? y(b)? y(a), 其中 v(t)?y?(t). 【微积分基本定理】 (牛顿-莱布尼兹公式) 一般地, 如果 f(x) 是区间 [a, b] 上的连续函数, 并且 F?(x)?f(x), 那么 ?ab f (x)dx ? F(b)? F(a). 为了方便, 常把 F(b)?F(a) 记成 F(x)|ba, 即 ?ab f (x)dx ? F(x)|ba? F(b)? F(a). 微积分基本定理的几何意义: 函数 y?F(x) 如图, y y?F(x) 取小区间 [xi?1, xi], (1) F?(xi?1) ? CD PC ? hi ?x , 得 hi?F?(xi?1)△x. (2) F(xi)?F(xi?1)? AB ?△si. B Q △si A P △x D hi C O xi?1 xi x 当 △x 很小时, DQ 很小, 即 hi≈△si 误差很小. n n 必然 ?hi ? ??si 的误差很小, i?1 i?1 n n 即 ?F?(xi?1)?x ? ?[F(xi )? F(xi?1)]的误差很小. i ?1 i ?1 当 △x→0, 即 n→∞ 时, 左右相等, 即 lim n?? n ?F i ?1 ?(xi ?1)?x ? ?abF ?( x)dx ? n ?[F i ?1 ( xi ) ? F ( xi ?1)]? F (b) ? F (a). 根据微积分基本定理, 求定积分的关键是找到哪 样的一个函数 F(x) 的导数等于被积函数 f(x). 我们可以由基本初等函数的求导公式以及导数的 四则运算反方向去寻求 F(x). 例1. 计算下列定积分: (1) ?12 1 x dx; (2) ?13(2x ? 1 x2 )dx. 解: (1) ? (ln x)? ? 1 x , ? ?12 1xdx ? ln x|12 ?ln2?ln1?ln2. 根据微积分基本定理, 求定积分的关键是找到哪 样的一个函数 F(x) 的导数等于被积函数 f(x). 我们可以由基本初等函数的求导公式以及导数的 四则运算反方向去寻求 F(x). 例1. 计算下列定积分: (1) ?12 1 x dx; (2) ?13(2x ? 1 x2 )dx. 解: (2) ? (x2 ? 1 x )? ? 2x ? 1 x2 , ? ?13(2x ? 1 x2 )dx ? ( x 2 ? 1 x )|13 ? (32 ? 13)?(12 ? 11) ? 232. 例2. 计算下列定积分: ?0? sin xdx, ??2? sin xdx, ?02? sin xdx. 解: ∵ (?cosx)??sinx, y ??2? sin xdx? 0 ? ?0? sin xdx ? (?cos x)|?0 1 ?(?cos?)?(?cos0) O ?2; ?1 ? 2? x ??2? sin xdx ? (?cos x)|?2? ?(?cos2?)?(?cos?) ?0? sin xdx? 0 ? ?2; ?02? sin xdx ? (?cos x)|02? ?(?cos2?)?(?cos0) 问: 定积分的 值为正或负的几何 意义是什么? ? 0. 练习: (课本55页

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