2017届高三数学(文)二轮复习课件(全国通用)方法突破 专题1 客观题的快速解法_图文

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方法突破
专题一 客观题的快速解法

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引言 选择题、填空题在解题方法上与一般的解答题没有本质的区别,其 不同之处在于选择题、填空题只看最后结果,不要解答过程,不管使用什么 样的方法只要把结果做对,就算成功地解答了一个选择题、填空题,特别是 选择题还有选项可以参照,其解法更具有一定的技巧性.从大的方面看,解 答客观题的主要策略是直接求解和间接求解.

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策略1 直接求解 直接求解是根据试题的已知条件、通过计算、推理等得出结果的方法,常用 的有:综合法、数形结合法和等价转化法等. 方法1 综合法
【例 1】 (2016·广东佛山二模)在边长为 2 的正方形 ABCD 中,点 Q 是边 CD 上一 ??? ? ???? ???? ???? 个动点, CQ =λ QD ,点 P 为线段 BQ(含端点)上一个动点,若λ =1,则 PA · PD 的 取值范围为 .

解析:λ=1 时,Q 为 CD 中点. ??? ? ???? ??? ? ???? 设 AB =m, AD =n, BP =μ BQ (0≤μ≤1).
??? ? ??? ? ??? ? ???? 1 1 1 1 BQ = m+n-m=- m+n, AP = AB + BP =m+μ(- m+n)=(1- μ)m+μn, 2 2 2 2

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? ???? ???? ??? 1 1 DP = AP - AD =(1- μ)m+μn-n=(1- μ)m+(μ-1)n, 2 2 ???? ??? ? ???? ??? ? 1 1 所以 PA · PD = AP · DP =[(1- μ)m+μn]·[(1- μ)m+(μ-1)n) 2 2

=4(1-

1 μ)2+4μ(μ-1)=5μ2-8μ+4. 2 4 4 4 4 时上式取得最小值,5×( )2-8× +4= ; 5 5 5 5

根据二次函数性质,当μ=

???? ??? ? 4 当μ=0 时上式取得最大值 4,所以 PA · PD 的取值范围为[ ,4]. 5

答案:[

4 ,4] 5

【方法总结】综合法关键是根据已知条件进行正确的运算和推理,直至得出

结果.但选择题有选项作参照,可以校验解题过程的正误.

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方法2 数形结合法
【例 2】 (2016·广东广州质检)设函数 f(x)的定义域为 R,f(-x)=f(x),f(x)= f(2-x),当 x∈[0,1]时,f(x)=x ,则函数 g(x)=|cos(π x)|-f(x)在区间[上的所有零点的和为( )
3

1 3 , ] 2 2

(A)4

(B)3

(C)2

(D)1

解析:由f(-x)=f(x)得f(x)为偶函数,再由f(2-x)=f(x)得f(x-2)=f(x),
得f(x)=f(x+2),函数是周期函数,2为其一个周期.由f(2-x)=f(x),得函 数y=f(x)图象关于直线x=1对称.函数y=|cos(πx)|是最小正周期为1

的偶函数.在同一坐标系中画出函数y=f(x),y=|cos(πx)|的图象,可

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知在区间[-

1 3 , ],两函数图象共有五个交点,即函数 g(x)有五个零点.从 2 2

小到大顺次设为 x1,x2,x3,x4,x5,则 x1+x2=0,x3+x5=2,x4=1,所以函数 g(x)在区 间[1 3 , ]上的所有零点的和为 3.故选 B. 2 2

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【方法总结】 数形结合法是解题中广泛使用的一种方法,一是直接使用 数形结合的方法得出问题的答案,二是根据数形结合思想得出问题满足的 条件,在解答题中一般是后一种情况,在客观题中一般是前一种情况或两 种情况的综合.数形结合解题的关键是把“数式”转化为“图形”,通过 “图形”得出问题的答案或者找到解决问题的思路.

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方法3 等价转化法 【例3】 (2016· 河南商丘三模)设函数f(x)=ex,g(x)=ln x+m.有下列五个

结论:
①若对任意x1,x2∈[1,2],关于x的不等式f(x1)>g(x2)恒成立,则m<e; ②若任意x1∈[1,2]都存在x2∈[1,2],使得不等式f(x1)>g(x2)成立,则m< e2-ln 2; ③若对任意x1∈[1,2]及任意x2∈[1,2],不等式f(x1)>g(x2)恒成立,则m<eln 2; ④若对任意x1∈[1,2],存在x2∈[1,2],使得不等式f(x1)>g(x2)成立,则m<e;

⑤若存在x1∈[1,2]及任意x2∈[1,2],使得不等式f(x1)>g(x2)恒成立,则
m<e2. 其中,所有正确结论的序号为 .

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解析:函数f(x),g(x)均为单调递增函数. ①等价于在[1,2]上,f(x1)min>g(x2)max,即f(1)>g(2),即e>ln 2+m>m, 故①正确; ②等价于在[1,2]上,f(x)min>g(x)min,即e>m,所以m<e<e2-ln 2,② 正确; ③等价于f(x)min>g(x)max,即f(1)>g(2),即e>ln 2+m,所以m<e-ln 2, ③正确; ④等价于f(x)min>g(x)min,即f(1)>g(1),得e>m,④正确; ⑤等价于f(x)max>g(x)max,即f(2)>g(2),得e2>ln 2+m>m,⑤正确. 答案:①②③④⑤
【方法总结】 等价转化是数学解题中应用最为广泛的一种数学解题思想, 也是一种解题方法,其核心内涵是把解决的问题化为另外一个更为容易解决、 或者我们更为熟悉的问题.等价转化后的问题的解决可以使用综合法、数形 结合法等方法加以解决.

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策略2 间接法 根据客观题不要求过程、只要结果的特点,客观题也可以采用“非常规” 的方法解决,主要有:特殊值法、逐项排除法、定性分析法等. 方法1 特殊值验证法
【例 4】 (2016·河南商丘三模)函数 f(x)=Asin(ω x+ ? )(A>0,ω >0)的部分图象如图所 示,则 f(x)的解析式可以为( (A)f(x)=3sin(2x(B)f(x)=3sin(2x+ (C)f(x)=3sin( (D)f(x)=3sin(
π ) 4 π ) 4

)

x 3π ) 2 4 x 3π + ) 2 4

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解析:法一 f(x)=3sin( 得 sin(-

(直接法)A=3;

1 π 1 T= =2π,得ω= ; ? 2 2

1 π π x+ ? ),f(- )=3sin(- + ? )=3, 2 2 4

π 3π + ? )=1,可取 ? = . 4 4 1 3π x+ ). 2 4

所以 f(x)=3sin( 故选 D. 法二

(特殊值法)f(0)>0,可排除选项 A,C;f(

π )=0,可排除选项 C,故选 D. 2

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【方法总结】 特殊值法的依据是“对全体成立的结论,对全体中的个体
一定成立,如果对某个个体不成立,该结论一定不是一般结论”,解题的具 体方法是通过特殊值和选项之间的对照,把不适合一般结论的选项排除, 直至剩下一个选项,利用现行高考中“单项选择题”的特点得出答案.

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强化训练4-1:已知数列{an}满足a1=3,且an+1=4an+3(n∈N*),则数列{an}的 通项公式为( )

(A)22n-1+1 (C)22n+1

(B)22n-1-1 (D)22n-1

解析:法一 (直接法)an+1+1=4(an+1),数列{an+1}是首项为4、公比 为4的等比数列, 所以an+1=4n,即an=22n-1.故选D. 法二 (特值法)根据递推式,可得a2=15, 四个选项中只有选项D中的值为15,故选D.

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方法2 逐项排除法 【例5】 (2016· 宁夏名校预测押题)从1开始的自然数按如图所示的规则排列, 现有一个三角形框架在图中上下或左右移动,使每次恰好有九个数在此三角 形内,则这九个数的和可以为( ) (A)2 012 (B)2 090 (C)2 097 (D)2 111
解析:在三角形中的数有三行,第一行一个数、第二行三个数、第三行五个 数,由于各行有八个数,则三角形内第一行中的数除以8后的余数只能是 3,4,5,6之一,即第一行中的数为8n+i(i=3,4,5,6). 第二行中的数为8n+i+7,8n+i+8,8n+i+9;第三行中数为8n+i+14,8n+i+15, 8n+i+16,8n+i+17,8n+i+18. 九个数之和为72n+9i+104=8(9n+i+13)+i,故九个数之和可能是上述形式的 数.各选项中的数除以8后的余数分别为4,2,1,7,故选A. 【方法总结】利用试题提供的信息,通过计算、推理论证,把不符合题意的选项排除,

直至剩下一个选项的方法.可以采用特殊值法排除、也可以采用反证法排除等.

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强化训练 5-1:(2016·湖北武汉调研)函数 f(x)= 中心为( ) (A)(-4,6)

x x ?1 x ? 2 + + 的对称 x ?1 x ? 2 x ? 3

(B)(-2,3) (D)(-2,6)

(C)(-4,3)

解析:如果(a,b)是函数 y=f(x)图象的对称中心,一定有 f(a+x)+f(a-x)=2b. 选项 A 中,取 x=0,即 f(-4)+f(-4)=12,因为 f(-4)= 所以 f(-4)+f(-4)=12 不成立,排除选项 A, 同理也排除选项 C;选项 B 中,取 x=2,即 f(0)+f(-4)=6, 因为 f(-4)=
4 3 1 2 + +2,f(0)= + , 3 2 2 3 4 3 + +2≠6, 3 2

所以 f(0)+f(-4)=6 成立,故排除选项 D,故选 B.

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方法3 定性分析法
【例 6】 (2016·广东广州高三综合测试)已知函数 f(x)=sin(2x+ ? )(0< ? < 图象的一个对称中心为( (A)[2kπ (B)[2kπ + (C)[kπ (D)[kπ +
3π ,0),则函数 f(x)的单调递减区间是( 8 π )的 2

)

3π π ,2kπ + ](k∈Z) 8 8 π 5π ,2kπ + ](k∈Z) 8 8

3π π ,kπ + ](k∈Z) 8 8 π 5π ,kπ + ](k∈Z) 8 8

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解析:法一 (直接解法)f( 得? =

3π 3π π )=sin( + ? )=0,0< ? < , 8 4 2

π π ,所以 f(x)=sin(2x+ ). 4 4 π π 3π ≤2x+ ≤2kπ+ , 2 4 2 π 5π ≤x≤kπ+ ,k∈Z, 8 8 π 5π ,kπ+ ] (k∈Z).故选 D. 8 8

由 2kπ+

解得 kπ+

故其单调递减区间是[kπ+

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法二 (定性分析法)函数 f(x)的最小正周期为π,函数图象关于点 (
3π 3π π ,0)中心对称,其单调区间(增或者减)的端点只能在 左右各 个 8 8 4 π 5π , ],结合正 8 8

单位,即单调增区间或者单调减区间有一个区间一定是[ 周期和选项,只能是选项 D 中的结论.故选 D.

【方法总结】 数学解题是“精确和严密”的,即得出一个结论必须有充

分的论据,但对选择题、填空题,则可以在不管“精确与严密”,只要在
“合乎情理”的情况下,得出一个定性的结论,再结合选项作出判断即可.

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强化训练6-1:已知函数f(x)是定义在R上的增函数,则函数y=f(|x-1|)-1的 图象可能是( )

解析:可以看作把函数y=f(|x|)的图象平移得出.函数y=f(|x|)是

偶函数,根据已知函数在[0,+∞)上单调递增,函数y=f(|x-1|)-1
的图象是把函数y=f(|x|)向右平移一个单位,再向下平移一个单 位得到,故只可能是选项B中的图象.故选B.

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结语:客观题的解法,可以从不同的角度总结不同的方法,但最为关键的仍 然是数学中的严密计算、推理和论证,用间接方法解答客观题主要是两个 方面:一是为提高解题速度使用,二是在“万般无奈”的情况下使用.建议: 在备考中要掌握客观题的基本解题策略,争取在考场上既快又准的解答客 观题,但从提高数学能力上考虑,即使是使用间接法求解出客观题的答案, 也要使用直接法将其解出,不要一味依赖客观题的间接解法.


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