湖北省黄冈中学2013年秋季高一数学期末考试试题


湖北省黄冈中学 2013 年秋季高一数学期末考试试题
命题:钟春林 审题:汤彩仙

一、选择题(本大题共 10 个小题;每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个 选项中, 只有一个符合题目要求,请将正确选项的代号填入答题卡的相应位置. )
1.若 a ? 2 , b ?

1 , a 与 b 的夹角为 30 ,则 a ? b 等于( 4
B.



A.

3 2

3 4

C.

1 4

D.

2 4
3 的交点有( 2
D.0 个 ) D.0,1,2 ) D. b ? c ? a ) )

2.函数 y ? 1 ? sin x , x ? (0, 2? ) 的图像与直线 y ? A.1 个 B. 2 个 C.3 个

( 3. 函数 y ? 1 ? 2 cos
A.-1,3,4

?
2

x) 的最小值、最大值和周期分别是(
B.-1,1,2 C.0,3,4

4.三个数 a ? 0.92 , b ? ln 0.9, c ? 20.9 之间的大小关系是( A. a ? c ? b . B. a ? b ? c C. b ? a ? c

5. 对于向量 a, b,c 和实数 ? ,下列命题中正确的命题是( A.若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 C.若 a ? b ,则 a ? b 或 a ? ?b 6. 如果函数 y ? 3cos(2 x ? ? ) 的图像关于点 ( A.
2 2

B.若 ? a ? 0 ,则 ? ? 0 或 a ? 0 D.若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c

? 3

B.
2

? 4

C.

? 6
)

4? , 0) 中心对称,那么 ? 的可能值是( 3 5? D. 6



7. 若 AB ? BC ? AB ? 0, 则?ABC 是 ( A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 )

D.等腰直角三角形

8. 如果 f (cos x) ? sin 3 x ,那么 f (sin x) 等于( A. sin 3x B. ? sin 3x C. cos 3 x

D. ? cos 3 x

CD ? 9. 在 △ ABC 中, 已知 D 是 AB 边上一点, 若 AD ? 2 DB,
A.

1 CA ? ? CB , 则? ? ( 3



2 3

B.

1 3

C. ?

1 3

D. ?

2 3

1

10.函数 y=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如图所示, A、B 分别为最高点与最低点,并且两点间的距离为 2 2,则该函数的一条 对称轴方程为( ) A. x ?

2

?

B. x ?

?
2

C. x ? 1

D. x ? 2

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应 位置.)
11.函数 y ? sin

x 的值域是

.

12. 已知 ? ? (0, ? ) , cos ? ?

1 ,则 tan ? ? 3

. . .

13.已知向量 a ? (1, n), b ? (?1, n) ,若 2a ? b 与 b 垂直,则 a ? 14.函数 f ( x) ? 15.下列命题 ① 若 a 、 b 都是单位向量,则 a ? b ; ② 终边在坐标轴上的角的集合是 {? | ? ?

1 ln( x 2 ? 3x ? 2 ? ? x 2 ? 3x ? 4) 的定义域为 x

k? , k ? Z}; 2

③ 若 a 、 b 与 c 是三个非零向量,则 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) ; ④ 正切函数在定义域上单调递增; ⑤ 向量 b (b ? 0) 与 a 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使得 b ? ? a 成立. 则错误 的命题的序号是 .. .

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤.)
16. (本题满分 12 分) 已知向量 a ? (1, 2) , b ? ( x,1) , u ? a ? 2b , v ? 2a ? b (1)当 u // v 时,求 x 的值; (2)当 u ? v 时,求 x 的值.

2

17.(本题满分 12 分) 已知 f (? ) ?

sin(? ? ? ) cos(2? ? ? )sin(?? ? cos(?? ? ? ) cos(?? ? 3? ) 2

3? ) 2
3? 1 ) ? ,求 f (? ) 的值. 2 5

(1)化简 f (? ) ;

(2)若 ? 是第三象限角,且 cos(? ?

18.(本题满分 12 分) 已知全集 U ? R , A ? x | x ? 1 ? 1 , B ? ? x | (1) A

?

?

? ?

x ?3 ? ? 0? ,求: x?2 ?

B; (2) (痧 (u u U A) U B) .

19. (本题满分 12 分) 已知向量 a ? (sin x,1) , b ? (sin x, (1)当 x ?

?
3

3 cos x) 2

时,求 a 与 b 的夹角 ? 的余弦值;

(2)若 x ? ?

?? ? ? ,求函数 f ( x) ? a ? b 的最大值和最小值. , ?3 2? ?

3

20. (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? b (? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 的图像两相邻对称轴之间的距离是 若将 f ( x ) 的图像先向右平移 (1)求 f ( x ) 的解析式; (3)若对任意 x ? ?0, 围.

? 个单位,再向上平移 3 个单位,所得函数 g ( x) 为奇函数. 6
(2)求 f ( x ) 的单调区间;

? , 2

? ?? , f 2 ( x) ? (2 ? m) f ( x) ? 2 ? m ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范 ? ? 3?

21. (本题满分 14 分) 对于定义域为 ?0,1? 的函数 f ( x) ,如果同时满足以下三条:①对任意的 x ??0,1? ,总有

f ( x) ? 0 ;② f ( 1 ) ? 1 ;③若 x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1 ,都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成
立,那么称函数 f ( x) 为理想函数. (1) 若函数 f ( x) 为理想函数,求 f (0) 的值; (2) 判断函数 g ( x) ? 2 ? 1 ( x ? [0,1]) 是否为理想函数,并予以证明;
x

(3) 若函数 f ( x) 为理想函数, 假定存在 x0 ? ?0,1? , 使得 f ( x0 ) ??0,1? , 且 f ( f ( x0 )) ? x0 , 求证: f ( x0 ) ? x0 .

湖北省黄冈中学 2013 年秋季高一数学期末考试
1—5 BBACB 6—10 12. 2 2 参考答案 DBDAC 13. 2 14. [?4,0) (0,1) 15.①③④ ⑤

11. ??1,1?

16. 【解析】 u ? a ? 2b ? (1 ? 2x, 4) , v ? 2a ? b ? (2 ? x,3) (1)当 u // v 时,则 3(1 ? 2 x) ? 4(2 ? x) ,得 x ?

1 2

4

(2)当 u ? v 时,则 (1 ? 2 x)(2 ? x) ? 12 ? 0 ,解得 x ? ?2或 .

7 2

17.(本题满分 12 分)

3? ? ) sin ? cos ? sin(? ? ) 2 2 ? 【解析】 (1) f (? ) ? 3? ? cos(?? ? ? ) cos(?? ? ) cos ? cos(? ? ) 2 2 ? cos ? ? sin ? ? ? cos ? ; sin ? 3? ? 1 1 ) ? cos(? ? ) ? ? sin ? ? ,? sin ? ? ? (2) cos(? ? 2 2 5 5 sin(? ? ? ) cos(2? ? ? )sin(?? ?
又 ? 是第三象限角,则 cos ? ? ? 1 ? sin
2

? ??

2 6 2 6 ,? f (? ) ? . 5 5

18.(本题满分 12 分) 【解析】(1)A={x|x-1≥1或 x-1≤-1}={x|x≥2 或 x≤0} B={x| ?

?( x ? 3)(x ? 2) ? 0 }={x|x≥3 或 x<2} ?x ? 2 ? 0

∴A∩B={x|x≥2 或 x≤0}∩{x|x≥3 或 x<2}={x|x≥3 或 x≤0} . (2) ∵U=R,∴ ? UA={x|0<x<2 } , ? U B={x|2≤x<3 } ∴( ? U A)∩( ? U B)={x|0<x<2}∩{x|2≤x<3}= ? .

19. (本题满分 12 分)

【解析】 (1) cos ? ?

(

3 3 3 ,1) ? ( , ) 2 2 4 ?4 3 7 3 3 9 ?1 ? 4 4 16
3 4
2

(2) f ( x) ? a ? b ? ?(cos x ? ) ? 当 cos x ? 0 时,有 f ( x)min ? 1; 20. (本题满分 13 分) 【解析】 (1)

? 25 3? ?? ? ? ,又 x ? ? , ? ,则 cos x ? ? 0, ? 16 ?6 2? ? 2 ?
当 cos x ?

3 25 时,有 f ( x) max ? . 4 16

2?

?

=2 ?

?
2

,? ? =2

?? ?)b ? f ( x)? s i n (x2

又 g ( x) ? sin[2( x ? 故 f ( x) ? sin(2 x ?

?
6

) ? ? ] ? b ? 3 为奇函数,且 0 ? ? ? ? ,则 ? ?

?
3

,b ? 3

?

3

)? 3;

5

(2)增区间为 ? ?

? 7? ? 5? ? ?? ? ? k? , ? k? ? (k ? Z ) ,减区间为 ? ? k? , ? k? ? (k ? Z ) ; 12 12 ? 12 ? ?12 ?
1 ? f ( x) ? 1 ,又 ?1 ? 3 ? f ( x) ?1 ? ? 3 , f ( x) ? 1

(3)整理可得 m ?



?1 ? 3 3 ?1 ? 3 3 1 4 3 , 故 m? ,即 m 取值范围是 ? ? f ( x) ? 1 ? ? 2 2 f ( x) ? 1 3

? ?1 ? 3 3 ? ?? , ? ?. ? 2 ? ?
21. (本题满分 14 分) 【解析】 (1)取 x1 ? x 2 ? 0 可得 f (0) ? f (0) ? f (0) ? f (0) ? 0 . 又由条件① f (0) ? 0 ,故 f (0) ? 0 . (2)显然 g ( x) ? 2 ? 1在[0,1]满足条件① g ( x) ? 0 ;
x

也满足条件② g (1) ? 1 . 若 x1 ? 0 , x 2 ? 0 , x1 ? x 2 ? 1 ,则

g ( x1 ? x2 ) ? [ g ( x1 ) ? g ( x2 )] ? 2 x1 ? x2 ? 1 ? [(2 x1 ? 1) ? (2 x2 ? 1)] ? 2 x1 ? x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 1 ? (2 x2 ?1)(2 x1 ?1) ? 0 ,即满足条件③,
故 g ( x) 是理想函数. (3)由条件③知,任给 m 、 n ? [0,1],当 m ? n 时,则 n ? m ?[0,1],

? f (n) ? f (n ? m ? m) ? f (n ? m) ? f (m) ? f (m)
若 x 0 ? f ( x 0 ) ,则 f ( x0 ) ? f [ f ( x0 )] ? x0 ,前后矛盾; 若 x 0 ? f ( x 0 ) ,则 f ( x0 ) ? f [ f ( x0 )] ? x0 ,前后矛盾. 故 x0 ? f ( x0 )

6


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