2016年高三数学(理)创新设计资料包9-4

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第4讲

直线与圆、圆与圆的位置关系

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟)
一、选择题 1.若直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交,则 P(a,b) A.在圆上 C.在圆内 解析 由 答案 B 2.圆 x2+y2-4x=0 在点 P(1, 3)处的切线方程为 A.x+ 3y-2=0 C.x- 3y+4=0 B.x+ 3y-4=0 D.x- 3y+2=0 3 =- 3, 1-2 ( )
2

(

)

B.在圆外 D.以上都有可能 1 <1,得 a2+b2>1,∴点 P 在圆外. a +b2

解析 易知圆心 C 坐标为(2,0),则 kCP= 3 所以所求切线的斜率为 3 .故切线方程为 3 y- 3= 3 (x-1),即 x- 3y+2=0. 答案 D

3.(2015· 甘肃诊断考试)已知圆 O1:(x-a)2+(y-b)2=4,O2:(x-a-1)2+(y-b -2)2=1(a,b∈R),则两圆的位置关系是 A.内含 C.相交 B.内切 D.外切 ( )

解析 由 O1:(x-a)2+(y-b)2=4 得圆心坐标为(a,b),半径为 2;由 O2: (x-a-1)2+(y-b-2)2=1 得圆心坐标为(a+1,b+2),半径为 1,所以两圆

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圆心之间的距离为|O1O2|= 12+22= 5,因为|2-1|=1< 5<2+1=3,所 以两圆相交,故选 C. 答案 C 4.若直线 y=kx 与圆(x-2)2+y2=1 的两个交点关于直线 2x+y+b=0 对称,则 k,b 的值分别为 1 A.k=2,b=-4 1 C.k=2,b=4 1 B.k=-2,b=4 1 D.k=-2,b=-4 ( )

解析 因为直线 y=kx 与圆(x-2)2+y2=1 的两个交点关于直线 2x+y+b=0 对称,则 y=kx 与直线 2x+y+b=0 垂直,且 2x+y+b=0 过圆心,所以解得 1 k=2,b=-4. 答案 A 5.(2014· 江西卷)在平面直角坐标系中,A,B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点,若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x+y-4=0 相切,则圆 C 面积的最小值为( 4 A.5π C.(6-2 5)π 3 B.4π 5 D.4π )

解析 由题意得以 AB 为直径的圆 C 过原点 O, 圆心 C 为 AB 的中点,设 D 为切点,要使圆 C 的面积最小, 只需圆的半径最短,也只需 OC+CD 最小,其最小值 为 OE(过原点 O 作直线 2x+y-4=0 的垂线,垂足为 E)的长度(如图 ).由点到直线的距离公式得 |OE|= ? 2 ?2 4 所以圆 C 面积的最小值为 π? ? =5π.故选 A. ? 5? 答案 A 二、填空题 6.(2015· 青岛质量检测)直线 y=2x+1 被圆 x2+y2=1 截得的弦长为________. 解析 圆 x2+y2=1 的圆心 O(0,0),半径 r=1.圆心 O 到直线 y=2x+1 的距 4 . 5

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离为 d= 答案

1 5 2 2 2= 5 ,故弦长为 2 r -d =2 2 +(-1)
2

1 4 5 1-5= 5 .

4 5 5

7.(2014· 湖北卷)直线 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 将单位圆 C:x2+y2=1 分成长 度相等的四段弧,则 a2+b2=______. π 解析 由题意知,直线 l1 截圆所得的劣弧长为 2 ,则圆心到直线 l1 的距离为 2 |a| 2 2 2 ,即 2= 2 ,则 a =1. 同理可得 b2=1,则 a2+b2=2. 答案 2 8.(2014· 重庆卷)已知直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1)2+(y-a)2=4 相 交于 A,B 两点,且△ABC 为等边三角形,则实数 a=________. 解析 依题意,圆 C 的半径是 2,圆心 C(1,a)到直线 ax+y-2=0 的距离等 |1·a+a-2| 3 于 2 ×2= 3,于是有 = 3,即 a2-8a+1=0,解得 a=4± 15. 2 a +1 答案 4± 15 三、解答题 9.已知直线 l:y=kx+1,圆 C:(x-1)2+(y+1)2=12. (1)试证明:不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的最短弦长. 法一 (1)证明 ?y=kx+1, 由? 2 2 ?(x-1) +(y+1) =12,

消去 y 得(k2+1)x2-(2-4k)x-7=0, 因为 Δ=(2-4k)2+28(k2+1)>0, 所以不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点. (2)解 设直线与圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,

则直线 l 被圆 C 截得的弦长 |AB|= 1+k2|x1-x2|

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=2

8-4k+11k2 =2 1+k2

11-

4k+3 , 1+k2

令 t=

4k+3 ,则 tk2-4k+(t-3)=0, 1+k2

3 当 t=0 时,k=-4,当 t≠0 时,因为 k∈R, 所以 Δ=16-4t(t-3)≥0,解得-1≤t≤4,且 t≠0, 故 t= 4k+3 的最大值为 4,此时|AB|最小为 2 7. 1+k2 圆心 C(1,-1)到直线 l 的距离 d= |k+2| ,圆 C 的半径 R= 1+k2

法二 (1)证明

k2+4k+4 11k2-4k+8 2 3,R -d =12- = ,而在 S=11k2-4k+8 中, 1+k2 1+k2
2 2

Δ =(-4)2-4×11×8<0, 故 11k2-4k+8>0 对 k∈R 恒成立, 所以 R2-d2>0,即 d<R,所以不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点. (2)解 由平面几何知识, 8-4k+11k2 ,下同法一. 1+k2

知|AB|=2 R2-d2=2 法三 (1)证明

因为不论 k 为何实数, 直线 l 总过点 P(0, 1), 而|PC|= 5<2 3

=R,所以点 P(0,1)在圆 C 的内部,即不论 k 为何实数,直线 l 总经过圆 C 内部的定点 P.所以不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点. (2)解 由平面几何知识知过圆内定点 P(0,1)的弦,只有和 PC(C 为圆心)垂

直时才最短, 而此时点 P(0, 1)为弦 AB 的中点, 由勾股定理, 知|AB|=2 12-5 =2 7,即直线 l 被圆 C 截得的最短弦长为 2 7. 10.(2013· 江苏卷)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3),直线 l:y=2x-4.设圆 C 的半径为 1,圆心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y=x-1 上,过点 A 作圆 C 的切

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线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使|MA|=2|MO|,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围. 解 (1)由题设,圆心 C 是直线 y=2x-4 和 y=x-1 的交点,解得点 C(3,2), 于是切线的斜率必存在. 设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y=kx+3, 由题意,得 |3k+1| 3 =1,解得 k=0 或-4, 2 k +1

故所求切线方程为 y=3 或 3x+4y-12=0. (2)因为圆心在直线 y=2x-4 上, 所以圆 C 的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1. 设点 M(x,y),因为|MA|=2|MO|, 所以 x2+(y-3)2=2 x2+y2,

化简得 x2+y2+2y-3=0,即 x2+(y+1)2=4, 所以点 M 在以 D(0,-1)为圆心,2 为半径的圆上. 由题意,点 M(x,y)在圆 C 上,所以圆 C 与圆 D 有公共点,则|2-1|≤|CD|≤2 +1, 即 1≤ a2+(2a-3)2≤3.整理得-8≤5a2-12a≤0. 12 由 5a2-12a+8≥0,得 a∈R;由 5a2-12a≤0,得 0≤a≤ 5 . 12? ? 所以点 C 的横坐标 a 的取值范围是?0, 5 ?. ? ?

能力提升题组 (建议用时:25 分钟)
11.已知圆 C1:(x-a)2+(y+2)2=4 与圆 C2:(x+b)2+(y+2)2=1 相外切,则 ab 的最大值为 6 A. 2 3 B.2 9 C.4 D.2 3 ( )

解析 由两圆相外切可得圆心(a,-2),(-b,-2)之间的距离等于两圆半径 9 9 之和,即(a+b)2=9=a2+b2+2ab≥4ab,所以 ab≤4,即 ab 的最大值是4(当 且仅当 a=b 时取等号),故选 C. 答案 C

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12.圆(x-3)2+(y-3)2=9 上到直线 3x+4y-11=0 的距离等于 1 的点有( A.1 个 B.2 个 C.3 个 |9+12-11| =2, 5 D.4 个

)

解析 因为圆心到直线的距离为

又因为圆的半径为 3,所以直线与圆相交,由数形结合知, 圆上到直线的距离为 1 的点有 3 个.

答案 C 13.(2014· 新课标全国Ⅱ卷)设点 M(x0,1),若在圆 O:x2+y2=1 上存在点 N, 使得∠OMN=45°,则 x0 的取值范围是________. 解析 法一 当 x0=0 时,M(0,1),由圆的几何性

质得在圆上存在点 N(-1,0)或 N(1,0),使∠OMN=45°.当 x0≠0 时, 过 M 作圆的两条切线,切点为 A、B. 若在圆上存在 N,使得∠OMN=45°, 应有∠OMB≥∠OMN=45°,∴∠AMB≥90°, ∴-1≤x0<0 或 0<x0≤1.综上,-1≤x0≤1. 法二 过 O 作 OP⊥MN,P 为垂足,OP=OM· sin 45°≤1, ∴OM≤ 1 2 , ∴OM2≤2, ∴x2 ∴x0 ≤1, 0+1≤2, sin 45°

∴-1≤x0≤1. 答案 [-1,1]

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14.(2015· 淮安一模)已知圆 O:x2+y2=4 和点 M(1,a). (1)若过点 M 有且只有一条直线与圆 O 相切, 求实数 a 的值, 并求出切线方程. (2)若 a= 2,过点 M 作圆 O 的两条弦 AC,BD 互相垂直,求|AC|+|BD|的最 大值. 解 (1)由条件知点 M 在圆 O 上, 所以 1+a2=4,则 a=± 3. 当 a= 3时,点 M 为(1, 3), 3 kOM= 3,k 切=- 3 , 3 此时切线方程为 y- 3=- 3 (x-1). 即 x+ 3y-4=0, 3 当 a=- 3时,点 M 为(1,- 3),kOM=- 3,k 切= 3 . 3 此时切线方程为 y+ 3= 3 (x-1). 即 x- 3y-4=0. 所以所求的切线方程为 x+ 3y-4=0 或 x- 3y-4=0. (2)设 O 到直线 AC,BD 的距离分别为 d1,d2(d1,d2≥0),
2 2 则 d1 +d2 2=OM =3. 2 又有|AC|=2 4-d2 1,|BD|=2 4-d2, 2 所以|AC|+|BD|=2 4-d2 1+2 4-d2. 2 2 2 则(|AC|+|BD|)2=4×(4-d2 1+4-d2+2 4-d1· 4-d2) 2 2 2 =4×[5+2 16-4(d2 1+d2)+d1d2] 2 =4×(5+2 4+d2 1d2). 2 2 2 9 因为 2d1d2≤d2 1+d2=3,所以 d1d2≤ , 4

6 5 2 2 当且仅当 d1=d2= 2 时取等号,所以 4+d1 d2≤2,

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5? ? 所以(|AC|+|BD|)2≤4×?5+2×2?=40. ? ? 所以|AC|+|BD|≤2 10, 即|AC|+|BD|的最大值为 2 10.


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