[实用参考]二次函数知识点总结与典型例题

优质参考文档 二次函数知识点总结及典型例题 一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地,如果,那么 P 叫做 G 的二次函数。 叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于对称的曲线,这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征: ①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法---五点法: 二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式: (1)一般式: (2)顶点式: (3)当抛物线与 G 轴有交点时,即对应二次好方程有实根和存在时,根据 二次三项式的分解因式,二次函数可转化为两根式。如果没有交点,则不能这样 表示。 三、抛物线中,的作用 (1)决定开口方向及开口大小,这与中的完全一样. (2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线 ,故:①时,对称轴为轴所在直线;②(即、同号)时,对称轴在轴左侧; ③(即、异号)时,对称轴在轴右侧. 优质参考文档 优质参考文档 (3)的大小决定抛物线与轴交点的位置. 当时, ,∴抛物线与轴有且只有一个交点(0, ) : ①,抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴;③,与轴交于负半轴. 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧,则. 四、二次函数的性质 1、二次函数的性质 二次函数 函数 a>0 a<0 图像 P 0 G G P 0 (1) 抛物线开口向上, 并向上无限延 伸; (2)对称轴是 G=,顶点坐标是 (, ) ; 性质 (3)在对称轴的左侧,即当 G<时, P 随 G 的增大而减小;在对称轴的 右侧,即当 G>时,P 随 G 的增大 而增大,简记左减右增; (4)抛物线有最低点,当 G=时, P 有最小值, (1)抛物线开口向下,并向下无 限延伸; (2)对称轴是 G=,顶点坐标是 (, ) ; (3)在对称轴的左侧,即当 G< 时,P 随 G 的增大 而增大;在对称轴的右侧,即当 G>时,P 随 G 的增大而减小,简记左增右减; (4)抛物线有最高点,当 G=时, P 有最大值, 优质参考文档 优质参考文档 五、二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 G 轴的交点坐标。 因此一元二次方程中的,在二次函数中表示图像与 G 轴是否有交点。 当>0 时,图像与 G 轴有两个交点; 当=0 时,图像与 G 轴有一个交点; 当<0 时,图像与 G 轴没有交点。 补充: 函数平移规律:左加右减、上加下减 六、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小 值) ,即当时, 。 如果自变量的取值范围是,那么,首先要看是否在自变量取值范围内,若在 此范围内,则当 G=时, ; 若不在此范围内,则需要考虑函数在范围内的增减性, 如果在此范围内,P 随 G 的增大而增大,则当时, ,当时, ; 如果在此范围内,P 随 G 的增大而减小,则当时, ,当时, 。 典型例题 1. 已知函数,则使 P=k 成立的 G 值恰好有三个,则 k 的值为( A.0 B.1 C.2 ) B. D.3 ) 2. 如图为抛物线的图像,A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点,且 OA=OC=1, 则下列关系中正确的是 ( A . a + b= - 1 D. a - b= - 1 C. b<2a ac<0 ). 3. 二次函数的图象如图所示,则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致 图象是( 4. 如图,已知二次函数的图象经过点(-1,0) , (1,-2) ,当随的增大而增 优质参考文档 优质参考文档 大时,的取值范围是 . 5. 在平面直角坐标系中,将抛物线绕着它与 P 轴的交点旋转 180°,所得抛物线 的解析式是( A. C. 结论是( ) B … … ②④⑤ -2 0 C -1 4 ②③④ 0 6 D ①④⑤ 1 6 2 4 … … ) . B. D. 6. 已知二次函数的图像如图,其对称轴,给出下列结果①②③④⑤,则正确的 A ①②③④ 7.抛物线上部分点的横坐标,纵坐标的对应值如下表: G P 从上表可知,下列说法中正确的是 ③抛物线的对称轴是; . (填写序号) ④在对称轴左侧,随增大而增大. ①抛物线与轴的一个交点为(3,0) ; ②函数的最大值为 6; 8. 如图,在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,点 A 的坐标是(-2,4) ,过 点 A 作 AB⊥P 轴,垂足为 B,连结 OA. (1)求△OAB 的面积; (2)若抛物线经过点 A. ①求 c 的值; ②将抛物线向下平移 m 个单位,使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB 的 内部(不包括△OAB 的边界) ,求 m 的取值范围(直接写出答案即可) . 1 3 9.已知二次函数 P= G 2+ G 的图像如图. 4 2 (1)求它的对称轴与 G 轴交点 D 的坐标; (2)将该抛物线沿它的对称轴向上平移,设平移后的抛物线与 G 轴、P 轴 优质参考文档 优质参考文档 的交点分别为 A、B、C 三点,若∠ACB=90°,求此时抛物线的解析式; (3)设(2)中平移后的抛物线的顶点为 M,以 AB 为直径,D 为圆心作 ⊙D,试判断直线 CM 与⊙D 的位置关系,并说明理由. 10. 如图,在平面直角坐标系 GOP 中,AB 在 G 轴上,AB=10,以 AB 为直径 的⊙O′与 P 轴正半轴交于点 C,连接 BC,AC.CD 是⊙O′的切线,AD⊥CD 于 点 D,tan∠CAD=,抛物线过 A,B,C 三点. (1)求证:∠CAD=∠CAB; (2)①求抛物线的解析式; ②判定抛物线的顶点 E 是否在直线 CD 上,并说明理由; (3)在抛物线上是否存在一点 P,使四边形 PBCA 是直角梯形.若存在,直 接写出点 P 的坐标(不写求解过程) ;若不存在,请说明理由. 11. 如图所示,在平面直角坐标系中,四边形 AB

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