三精考点之高中数学(复习)最基础考点系列:考点3 分段函数 含解析

专题 3 分段函数 分段函数的定义域、值域、单调性 ★★★ ○○○○ 1.分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通 常叫做分段函数. 2.分段函数的相关结论 (1)分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集. 分段函数求值的解题思路 求分段函数的函数值, 要先确定要求值的自变量属于哪一段区间, 然后代入该段的解析式求值, 当出现 f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. ?1- x,x≥0, (1)设 f(x)=? x ?2 ,x<0, A.-1 则 f(f(-2))=( 1 4 ) B. C. 1 2 D. 3 2 x 1? ?? ? ? ,x≥4, (2)(2017·张掖高三模拟)已知函数 f(x)=??2? ?f?x+1?,x<4, ( A. C. 1 4 1 2 ) ?1? B.? ? 1+log2 5 ?2? D. 1 20 则 f(1+log25)的值为 ?log2x,x>0, 1.(2017·西安模拟)已知函数 f(x)=? 2 ?x ,x≤0, ( ) B.2 D.-2 若 f(4)=2f(a),则实数 a 的值为 A.-1 或 2 C.-1 [解析] f(4)=log24=2,因而 2f(a)=2,即 f(a)=1,当 a>0 时,f(a)=log2a=1,因而 a =2,当 a≤0 时,f(a)=a2=1,因而 a=-1,故选 A. [答案] A ?e ,x<1, 2.设函数 f(x)=? 1 ?x3,x≥1, x-1 则使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围是________. 1 [解析]当 x<1 时,由 ex-1≤2 得 x≤1+ln 2,∴x<1;当 x≥1 时,由 x ≤2 得 x≤8,∴1≤x≤8. 3 综上,符合题意的 x 的取值范围是 x≤8. [答案] (-∞,8] 若|f(x)|≥ax,则 a 的取 2 ?-x +2x,x≤0, 3.(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)=? ?ln?x+1?,x>0. 值范围是( A.(-∞,0] ) B.(-∞,1) C.[-2,1] D.[-2,0] 解析:选 D y=|f(x)|的图象如图所示,y=ax 为过原点的一条直线,当|f(x)|≥ax 时,必 有 k≤a≤0,其中 k 是 y=x2-2x(x≤0)在原点处的切线的斜率,显然,k=-2.所以 a 的取值 范围是[-2,0]. x ?1-2 ,x≤0, 1.已知函数 f(x)=? 2 ?x ,x>0, 则 f(f(-1))=( B.1 D. 1 2 ) A.2 C. 1 4 解析:选 C 1 ?1? ?1? 1 由题意得 f(-1)=1-2-1= ,则 f(f(-1))=f? ?=? ?2= . 2 ?2? ?2? 4 ?2? 则 f? ?的值为( ?3? B.- 1 2 ) ? 3sin π x,x≤0, 2.已知 f(x)=? ?f?x-1?+1,x>0, A. 1 2 C.1 解析:选 B D.-1 1 ?2? ? 1? ? π? f? ?=f?- ?+1= 3sin?- ?+1=- . 2 ?3? ? 3? ? 3? 且 f(0)=2,f(-1)=3,则 f(f(-3))=( B.2 ) ?log3x,x>0, 3.已知 f(x)=? x ?a +b,x≤0, A.-2 C.3 解析:选 B D.-3 由题意得 f(0)=a0+b=1+b=2, 1 解得 b=1.f(-1)=a-1+b=a-1+1=3,解得 a= . 2 ?log x,x>0, 则 f(x)=??1? ? +1,x≤0, ?? ?2? 3 x ?1? 故 f(-3)=? ?-3+1=9, ?2? 从而 f(f(-3))=f(9)=log39=2. ?3x-1,x<1, 4.设函数 f(x)=? x ?2 , x≥1, ?2 ? A.? ,1? ?3 ? ?2 ? C.? ,+∞? 3 ? ? 则满足 f(f(a))=2f(a)的 a 的取值范围是( ) B.[0,1] D.[1,+∞) ?2x+1,x≥0, 5.已知函数 f(x)=? 2 ?3x ,x<0, 且 f(x0)=3,则实数 x0 的值为________. 2 解析:由条件可知,当 x0≥0 时,f(x0)=2x0+1=3,所以 x0=1;当 x0<0 时,f(x0)=3x0=3, 所以 x0=-1.所以实数 x0 的值为-1 或 1. 答案:-1 或 1 ?1 x+1,x≤0, 6.已知 f(x)=?2 ?-?x-1? ,x>0, 2 使 f(x)≥-1 成立的 x 的取值范围是________. ?x≤0, 解析:由题意知?1 ?2x+1≥-1 答案:[-4,2] ?x>0, 或? 2 ?-?x-1? ≥-1, 解得-4≤x≤0 或 0<x≤2,故 x 的取值范围是[-4,2]. ?1+log2?2-x?,x<1, 7.(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数 f(x)=? x-1 ?2 ,x≥1, =( A.3 解析:选 C ) B.6 C.9 D.12 则 f(-2)+f(log212) ∵-2<1,∴f(-2)=1+log2(2+2)=1+log24=1+2=3.∵log212>1,∴ 12 =6.∴f(-2)+f(log212)=3+6=9. 2 且 f(a)=-3,则 f(log212)=2log212-1= x-1 ?2 -2,x≤1, 8.(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)=? ?-log2?x+1?,x>1, f(6-a)=( A.- C.- 7 4 3 4 ) B.- D.- 5 4 1 4 ________________

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