天津一中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(文科)

天津一中 2015 届高三上学期第二次月考数学试卷(文科)
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分) 1. (5 分)i 是虚数单位,复数 A.2 B . ﹣2 的实部为() C. 1 D.﹣1

2. (5 分)函数 f(x)=2x﹣1+log2x 的零点所在的一个区间是() A.( , ) B. ( , ) C.( ,1) D.(1,2)

3. (5 分)下列有关命题的叙述,错误的个数为() ①若 p∨q 为真命题,则 p∧q 为真命题 2 ②“x>5”是“x ﹣4x﹣5>0”的充分不必要条件 2 2 ③命题 p:?x∈R,使得 x +x﹣1<0,则¬p:?x∈R,使得 x +x﹣1≥0 2 2 ④命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1 或 x=2”的逆否命题为“若 x≠1 或 x≠2,则 x ﹣3x+2≠0” A.1 B. 2 C. 3 D.4 4. (5 分)设 m、n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则() A.若 m⊥n,n∥α,则 m⊥α B. 若 m∥β,β⊥α,则 m⊥α C. 若 m⊥β,n⊥β,n⊥α,则 m⊥α D.若 m⊥n,n⊥β,β⊥α,则 m⊥α

5. (5 分)定义行列式运算

=a1a4﹣a2a3.将函数

的图象向左平移

个单位,以下是所得函数图象的一个对称中心是() A. B. C. D.

6. (5 分)设 a= A.c>b>a

,b= B.c>a>b

,c=3 ,则 a,b,c 的大小关系是() C.a>b>c D.a>c>b

ln2

7. (5 分)已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a1,a3,a13 成等比数列,若 a1=1,Sn 是数列{an} 前 n 项的和,则 (n∈N )的最小值为()
+

A.4

B. 3

C. 2

﹣2

D.

8. (5 分) 定义一种运算 a?b=

, 令f (x) = (4+2x﹣x ) ?|x﹣t| (t 为常数) , 且 x∈[﹣

2

3,3],则使函数 f(x)最大值为 4 的 t 值是() A.﹣2 或 6 B. 4 或 6 C . ﹣2 或 4

D.﹣4 或 4

二、填空题 3 9. (3 分)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是 cm .

10. (3 分)设函数 f(x)=x ﹣4x+3,g(x)=3 ﹣2,集合 M={x∈R|f(g(x) )>0},N={x∈R|g (x)<2},则 M∩N=. 11. (3 分)执行如图所示的程序框图,则输出的 S 的值是

2

x

12. (3 分)若 log4(3a+4b)=log2

,则 a+b 的最小值是.

13. (3 分) 已知菱形 ABCD 的边长为 2, ∠BAD=120°, 点 E, F 分别在边 BC, DC 上, BC=3BE, DC=λDF,若 ? =1,则 λ 的值为.

14. (3 分)若对任意 x∈R,不等式 3x ﹣2ax≥|x|﹣ 恒成立,则实数 a 的范围.

2

三、解答题(共 6 小题,满分 0 分) 15.家政服务公司根据用户满意程度将本公司家政服务员分为两类,其中 A 类服务员 12 名, B 类服务员 x 名 (Ⅰ)若采用分层抽样的方法随机抽取 20 名家政服务员参加技术培训,抽取到 B 类服务员的 人数是 16,求 x 的值; (Ⅱ)某客户来公司聘请 2 名家政服务员,但是由于公司人员安排已经接近饱和,只有 3 名 A 类家政服务员和 2 名 B 类家政服务员可供选择 ①请列出该客户的所有可能选择的情况; ②求该客户最终聘请的家政服务员中既有 A 类又有 B 类的概率. 16.已知函数 f(x)=2 .

(1)求 f(x)的最小正周期; (2)在△ ABC 中,a,b,c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边,若 f(A)=4,b=1,△ ABC 的面 积为 ,求 a 的值.

17.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥面 ABCD,AB=BC=2,AD=CD= ∠ABC=120°,G 为线段 PC 上的点. (Ⅰ)证明:BD⊥平面 PAC; (Ⅱ)若 G 是 PC 的中点,求 DG 与 PAC 所成的角的正切值; (Ⅲ)若 G 满足 PC⊥面 BGD,求 的值.

,PA=



18.已知数列{an}中 a1=2, (Ⅰ)求证:数列{bn}是等差数列; (Ⅱ)设 Sn 是数列{

,数列{bn}中

,其中 n∈N .

*

}的前 n 项和,求



(Ⅲ)设 Tn 是数列

的前 n 项和,求证:



19.设函数 f(x)= +xlnx,g(x)=x ﹣x ﹣3. (1)讨论函数 h(x)= 的单调性;

3

2

(Ⅱ)如果存在 x1,x2∈[0,2],使得 g(x1)﹣g(x2)≥M 成立,求满足上述条件的最大整数 M; (Ⅲ)如果对任意的 s,t ,都有 f(s)≥g(t)成立,求实数 a 的取值范围.

20.已知数集 A={a1,a2,…,an},其中 0≤a1<a2<…<an,且 n≥3,若对?i,j(1≤i≤j≤n) ,aj+ai 与 aj﹣ai 两数中至少有一个属于 A,则称数集 A 具有性质 P. (Ⅰ)分别判断数集{0,1,3}与数集{0,2,4,6}是否具有性质 P,说明理由; (Ⅱ)已知数集 A={a1,a2…a8}具有性质 P,判断数列 a1,a2…a8 是否为等差数列,若是等差 数列,请证明;若不是,请说明理由.

天津一中 2015 届高三上学期第二次月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分) 1. (5 分)i 是虚数单位,复数 A.2 B . ﹣2 的实部为() C. 1 D.﹣1

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 把给出的复数分子分母同时乘以 1﹣i,化简为 a+bi(a,b∈R)的形式,则实部可求. 解答: 解:由 所以复数 = .

的实部为 1.

故选 C. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的概念,复数的除法,采用分子 分母同时乘以分母的共轭复数,是基础题. 2. (5 分)函数 f(x)=2x﹣1+log2x 的零点所在的一个区间是() A.( , ) B. ( , ) C.( ,1) D.(1,2)

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数 f(x)=2x﹣1+log2x,在(0,+∞)单调递增,f(1)=1,f( )=﹣1,可 判断分析. 解答: 解:∵函数 f(x)=2x﹣1+log2x,在(0,+∞)单调递增. ∴f(1)=1,f( )=﹣1, ∴根据函数的零点的判断方法得出:零点所在的一个区间是( ) ,

故选:C. 点评: 本题考查了函数的性质,函数的零点的判断方法,属于容易题. 3. (5 分)下列有关命题的叙述,错误的个数为() ①若 p∨q 为真命题,则 p∧q 为真命题 2 ②“x>5”是“x ﹣4x﹣5>0”的充分不必要条件 2 2 ③命题 p:?x∈R,使得 x +x﹣1<0,则¬p:?x∈R,使得 x +x﹣1≥0 2 2 ④命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1 或 x=2”的逆否命题为“若 x≠1 或 x≠2,则 x ﹣3x+2≠0” A.1 B. 2 C. 3 D.4 考点: 特称命题;全称命题. 专题: 常规题型;计算题. 分析: 直接利用复合命题的真假判断①的正误;利用充要条件判断②的正误;特称命题的 否定判断③的正误;四种命题的逆否关系判断④的正误. 解答: 解:①若 p∨q 为真命题,p 或 q 一真命题就真,而 P∧Q 为真命题,必须两个命题都 是真命题,所以①不正确. 2 ②“x>5”是“x ﹣4x﹣5>0”的充分不必要条件,满足前者推出后者,对数后者推不出前者,所 以②正确. 2 2 ③命题 p:?x∈R,使得 x +x﹣1<0,则﹣p:?x∈R,使得 x +x﹣1≥0;满足特称命题的否定 形式,所以③正确. ④命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1 或 x=2”的逆否命题为“若 x≠1 或 x≠2,则 x ﹣3x+2≠0”不满足 2 逆否命题的形式,正确应为“若 x≠1 且 x≠2,则 x ﹣3x+2≠0”. 所以只有②③正确. 故选 B. 点评: 本题考查命题真假的判断,充要条件关系的判断,命题的否定等知识,考查基本知 识的应用. 4. (5 分)设 m、n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则() A.若 m⊥n,n∥α,则 m⊥α B. 若 m∥β,β⊥α,则 m⊥α C. 若 m⊥β,n⊥β,n⊥α,则 m⊥α D.若 m⊥n,n⊥β,β⊥α,则 m⊥α 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据空间线线,线面,面面之间的位置关系分别进行判定即可得到结论.
2 2

解答: 解:A.若 m⊥n,n∥α,则 m⊥α 或 m?α 或 m∥α,故 A 错误. B.若 m∥β,β⊥α,则 m⊥α 或 m?α 或 m∥α,故 B 错误. C.若 m⊥β,n⊥β,n⊥α,则 m⊥α,正确. D.若 m⊥n,n⊥β,β⊥α,则 m⊥α 或 m?α 或 m∥α,故 D 错误. 故选:C 点评: 本题主要考查空间直线,平面之间的位置关系的判定,要求熟练掌握相应的判定定 理和性质定理.

5. (5 分)定义行列式运算

=a1a4﹣a2a3.将函数

的图象向左平移

个单位,以下是所得函数图象的一个对称中心是() A. B. C. D.

考点: 二阶矩阵;正弦函数的对称性;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题. 分析: 利用行列式定义将函数 f(x)化成 y=2sin2x.从而写出函数 y=2sin2x 图象的对称中心即可. 解答: 解析: y=2sin2x. 所以函数 y=2sin2x 图象的对称中心为 , 令 k=1 时,得到 . ,向左平移 后得到 ,向左平移 后得到

故选 B 点评: 本小题考查三角函数图象与性质及图象变换等基础知识;解答的关键是利用行列式 定义将函数 f(x)化成一个角的三角函数的形式,以便于利用三角函数的性质. 6. (5 分)设 a= A.c>b>a 考点: 专题: 分析: 解答: ∴a= 又 c=3 >3 =1,
ln2 0

,b= B.c>a>b

,c=3 ,则 a,b,c 的大小关系是() C.a>b>c D.a>c>b

ln2

不等关系与不等式;有理数指数幂的化简求值;指数函数单调性的应用. 函数的性质及应用. x 利用对数函数 y=log0.5x,y=log0.5x 的单调性,指数函数 y=3 的单调性即可得出. 解:∵log0.50.4>log0.50.5=1,0<log0.40.5<log0.40.4=1, = ,1>b= ,

∴c>b>a. 故选 A. 点评: 本题考查了指数函数和对数函数的单调性,属于基础题. 7. (5 分)已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a1,a3,a13 成等比数列,若 a1=1,Sn 是数列{an} 前 n 项的和,则 (n∈N )的最小值为()
+

A.4

B. 3

C. 2

﹣2

D.

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 2 分析: 由题意得(1+2d) =1+12d,求出公差 d 的值,得到数列{an}的通项公式,前 n 项和, 从而可得 ,换元,利用基本不等式,即可求出函数的最小值.

解答: 解:∵a1=1,a1、a3、a13 成等比数列, 2 ∴(1+2d) =1+12d. 得 d=2 或 d=0(舍去) , ∴an =2n﹣1, ∴Sn= ∴ = =n ,
2



令 t=n+1,则

=t+ ﹣2≥6﹣2=4

当且仅当 t=3,即 n=2 时,∴

的最小值为 4.

故选:A. 点评: 本题主要考查等比数列的定义和性质,等比数列的通项公式,考查基本不等式,属 于中档题.

8. (5 分) 定义一种运算 a?b=

, 令f (x) = (4+2x﹣x ) ?|x﹣t| (t 为常数) , 且 x∈[﹣

2

3,3],则使函数 f(x)最大值为 4 的 t 值是() A.﹣2 或 6 B. 4 或 6 C . ﹣2 或 4 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用.

D.﹣4 或 4

分析: 根据定义,先计算 y=4+2x﹣x 在 x∈[﹣3,3]上的最大值,然后利用条件函数 f(x) 最大值为 4,确定 t 的取值即可. 解答: 解: y=4+2x﹣x 在 x∈[﹣3, 3]上的最大值为 4, 所以由 4+2x﹣x =4, 解得 x=2 或 x=0. 所以要使函数 f(x)最大值为 4,则根据定义可知, 当 t<1 时,即 x=2 时,|2﹣t|=4,此时解得 t=﹣2. 当 t>1 时,即 x=0 时,|0﹣t|=4,此时解得 t=4. 故 t=﹣2 或 4. 故选 C.
2 2

2

点评: 本题主要考查新定义的理解和应用,利用数形结合是解决本题的关键,考查学生的 分析能力. 二、填空题 9. (3 分)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是 48cm .
3

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 利用三视图判断几何体的形状,通过三视图的数据求出几何体的体积即可. 解答: 解:三视图复原的几何体是上部为长方体三度为:4,2,2; 下部为放倒的四棱柱,底面是等腰梯形其下底为 6,上底为 2,高为 2,棱柱的高为 4, 几何体的体积为两部分的体积和,即:4×2×2+ =48 (cm ) .
3

故答案为:48. 点评: 本题考查简单几何体的三视图,三视图与几何体的对应关系,正确判断几何体的形 状是解题的关键.

10. (3 分)设函数 f(x)=x ﹣4x+3,g(x)=3 ﹣2,集合 M={x∈R|f(g(x) )>0},N={x∈R|g (x)<2},则 M∩N={x|x<1}. 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 利用已知求出集合 M 中 g(x)的范围,结合集合 N,求出 g(x)的范围,然后求解 即可. 2 解答: 解:因为集合 M={x∈R|f(g(x) )>0},所以(g(x) ) ﹣4g(x)+3>0, 解得 g(x)>3,或 g(x)<1. 因为 N={x∈R|g(x)<2},M∩N={x|g(x)<1}. 即 3 ﹣2<1,解得 x<1. 所以 M∩N={x|x<1}. 故答案为:{x|x<1} 点评: 本题考查集合的求法,交集的运算,考查指、对数不等式的解法,交集及其运算, 一元二次不等式的解法,考查计算能力. 11. (3 分)执行如图所示的程序框图,则输出的 S 的值是 4
x

2

x

考点: 循环结构. 专题: 算法和程序框图. 分析: 由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值, 模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 解答: 解:当 i=1 时,满足进行循环的条件,执行完循环体后,S=﹣1,i=2, 当 i=2 时,满足进行循环的条件,执行完循环体后,S= ,i=3, 当 i=3 时,满足进行循环的条件,执行完循环体后,S= ,i=4, 当 i=4 时,满足进行循环的条件,执行完循环体后,S=4,i=5, 当 i=5 时,满足进行循环的条件,执行完循环体后,S=﹣1,i=2, 当 i=6 时,满足进行循环的条件,执行完循环体后,S= ,i=2, 当 i=7 时,满足进行循环的条件,执行完循环体后,S= ,i=2,

当 i=8,满足进行循环的条件,执行完循环体后,S=4,i=2, 当 i=9 时,不满足进行循环的条件, 故输出的 S 值为:4 故答案为:4 点评: 本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正 确的结论,是基础题. 12. (3 分)若 log4(3a+4b)=log2 考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: log4(3a+4b)=log2 a+b=a+ = ,可得 3a+4b=ab,a,b>0. >0,解得 a>4.于是 ,则 a+b 的最小值是 7+4 .

+7,再利用基本不等式的性质即可得出. ,

解答: 解:∵log4(3a+4b)=log2 ∴ = ,

∴ , ∴3a+4b=ab,a,b>0. ∴ a+b=a+ >0,解得 a>4. = +7≥7+ = , 当且仅当 a=4+2 时取等号.

∴a+b 的最小值是 7+4 . 故答案为:7+4 . 点评: 本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质,考查了计算能力,属于基础题. 13. (3 分) 已知菱形 ABCD 的边长为 2, ∠BAD=120°, 点 E, F 分别在边 BC, DC 上, BC=3BE, DC=λDF,若 考点: 专题: 分析: 解答: ∴ = = + ? =1,则 λ 的值为 2.

平面向量数量积的运算. 平面向量及应用. 根据向量的基本定理,结合数量积的运算公式,建立方程即可得到结论. 解:∵BC=3BE,DC=λDF, , = = + = , + , = + = + = + ,

∵菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=120°, ∴| ∵ |=| ? |=2, =1, ? =2×2×cos120°=﹣2,

∴( 即 ×4+ 整理得

+

)?( ×4﹣2(1+ ,

+

)= )=1,

+

+(1+



?

=1,

解得 λ=2, 故答案为:2. 点评: 本题主要考查向量的基本定理的应用,以及数量积的计算,要求熟练掌握相应的计 算公式. 14. (3 分)若对任意 x∈R,不等式 3x ﹣2ax≥|x|﹣ 恒成立,则实数 a 的范围﹣1≤a≤1.
2

考点: 专题: 分析: 解答:

函数恒成立问题. 综合题;不等式的解法及应用. 分类讨论,分离参数,利用基本不等式,即可求出实数 a 的范围. 解:x=0 时,恒成立;
2

x>0 时,3x ﹣2ax≥x﹣ 可化为 2a≤3x+ ∵3x+ ≥2
2

﹣1,

=3,∴2a≤3﹣1,∴a≤1; ﹣1,

x<0 时,3x ﹣2ax≥﹣x﹣ 可化为﹣2a≤(﹣3x)﹣ ∵﹣3x﹣ ≥3,∴﹣2a≤3﹣1,∴a≥﹣1

∴﹣1≤a≤1. 故答案为:﹣1≤a≤1. 点评: 本题考查函数恒成立问题,考查基本不等式的运用,考查分类讨论,正确分离参数 是关键. 三、解答题(共 6 小题,满分 0 分) 15.家政服务公司根据用户满意程度将本公司家政服务员分为两类,其中 A 类服务员 12 名, B 类服务员 x 名 (Ⅰ)若采用分层抽样的方法随机抽取 20 名家政服务员参加技术培训,抽取到 B 类服务员的 人数是 16,求 x 的值; (Ⅱ)某客户来公司聘请 2 名家政服务员,但是由于公司人员安排已经接近饱和,只有 3 名 A 类家政服务员和 2 名 B 类家政服务员可供选择 ①请列出该客户的所有可能选择的情况; ②求该客户最终聘请的家政服务员中既有 A 类又有 B 类的概率. 考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据分层抽样即可求的 x 的值,

(2)列举出所有的可能,找到满足最终聘请的家政服务员中既有 A 类又有 B 类的情况,根据 古典概率公式计算即可. 解答: 解: (1)20﹣16=4,由 ,可得 x=48

(2)①设 3 名 A 类家政服务员的编号为 a,b,c,2 名 B 类家政服务员的编号为 1,2, 则所有可能情况有: (a,b) , (a,c) , (a,1) , (a,2) , (b,c) , (b,1) , (b,2) , (c,1) , (c,2) , (1,2)共 10 种选择. ②该客户最终聘请的家政服务员中既有 A 类又有 B 类的情况有: (a,1) , (a,2) , (b,1) , (b,2) , (c,1) , (c,2)共 6 种选择, ∴该客户最终聘请的家政服务员中既有 A 类又有 B 类的概率为 P= .

点评: 本题主要考查了分层抽样和古典概率的问题,关键是一一列举所有的基本事件,属 于基础题.

16.已知函数 f(x)=2



(1)求 f(x)的最小正周期; (2)在△ ABC 中,a,b,c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边,若 f(A)=4,b=1,△ ABC 的面 积为 ,求 a 的值.

考点: 两角和与差的正弦函数;诱导公式的作用;三角函数的周期性及其求法. 专题: 解三角形. 分析: (1)根据诱导公式和二倍角公式、两角和的正弦公式对解析式化简,再由周期公式 求 f(x)的最小正周期; (2)把条件代入 f(x)的解析式化简,再由 A 的范围和正弦值求 A,结合三角形面积公式条 件和余弦定理求出边 a. 解答: 解: (1)f(x)=2 = = =

sin2x+(1+cos2x)+2 sin2x+cos2x)+3 )+3

=2sin(2x+ ∴T=

=π. )+3=4,∴sin(2A+ < = ,∴2A+ ,c=2. )= , = ,A= .

(2)由 f(A)=4 得 2sin(2A+ 又∵A 为△ ABC 的内角,∴ 由 S△ ABC=

<2A+

,得 bcsinA= ×1×c×

由余弦定理得 a =b2+c2﹣2bccosA=1+4﹣2×

2

=3,∴a=



点评: 本题考查了三角恒等变换、正弦函数的性质的应用,以及余弦定理的综合应用,关 键是正确对解析式进行化简,属于中档题. 17.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥面 ABCD,AB=BC=2,AD=CD= ∠ABC=120°,G 为线段 PC 上的点. (Ⅰ)证明:BD⊥平面 PAC; (Ⅱ)若 G 是 PC 的中点,求 DG 与 PAC 所成的角的正切值; (Ⅲ)若 G 满足 PC⊥面 BGD,求 的值. ,PA= ,

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面所成的角;点、线、面间的距离计算. 专题: 空间位置关系与距离;空间角;立体几何. 分析: (Ⅰ)由 PA⊥面 ABCD,可得 PA⊥BD;设 AC 与 BD 的交点为 O,则由条件可得 BD 是 AC 的中垂线,故 O 为 AC 的中点,且 BD⊥AC.再利用直线和平面垂直的判定定理证 得 BD⊥面 PAC. (Ⅱ)由三角形的中位线性质以及条件证明∠DGO 为 DG 与平面 PAC 所成的角,求出 GO 和 AC 的值,可得 OC、OD 的值,再利用直角三角形中的边角关系求得 tan∠DGO 的值. (Ⅲ)先证 PC⊥OG,且 PC= 的值,可得 PG =PC﹣GC 的值,从而求得 的值. = .由△ COG∽△CAP,可得 ,解得 GC

解答: 解: (Ⅰ)证明:∵在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥面 ABCD,∴PA⊥BD. ∵AB=BC=2,AD=CD= ,设 AC 与 BD 的交点为 O,则 BD 是 AC 的中垂线,故 O 为 AC 的中点,且 BD⊥AC. 而 PA∩AC=A,∴BD⊥面 PAC. (Ⅱ)若 G 是 PC 的中点,O 为 AC 的中点,则 GO 平行且等于 PA,故由 PA⊥面 ABCD, 可得 GO⊥面 ABCD, ∴GO⊥OD,故 OD⊥平面 PAC,故∠DGO 为 DG 与平面 PAC 所成的角.

由题意可得,GO= PA=


2 2 2

△ ABC 中,由余弦定理可得 AC =AB +BC ﹣2AB?BC?cos∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12, ∴AC=2 ,OC= . ∵直角三角形 COD 中,OD= ∴直角三角形 GOD 中,tan∠DGO= = =2, . = .

(Ⅲ)若 G 满足 PC⊥面 BGD,∵OG?平面 BGD,∴PC⊥OG,且 PC= 由△ COG∽△CAP,可得 ,即 ,解得 GC= ,

∴PG=PC﹣GC=



=

,∴

=

= .

点评: 本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用,求直线和平面所成的角,空间距 离的求法,属于中档题.

18.已知数列{an}中 a1=2, (Ⅰ)求证:数列{bn}是等差数列; (Ⅱ)设 Sn 是数列{ (Ⅲ)设 Tn 是数列

,数列{bn}中

,其中 n∈N .

*

}的前 n 项和,求

; .

的前 n 项和,求证:

考点: 数列与不等式的综合;等差关系的确定;数列的求和. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)由条件可得 ,再由 ,从而得到

,由此证得结论

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 可知 bn=n, 于是 的值. (Ⅲ)由(Ⅰ)可知 错位相减法求出 Tn 的解析式, 从而可得要证的不等式成立. =

=

, 用裂项法求出

,求出 Tn 的解析式,可得 Tn 的解析式,用

解答: 解: (Ⅰ)

,而





.n∈N

*

∴{bn}是首项为

,公差为 1 的等差数列. (5 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 bn=n, 于是 故有 =6 = = . (9 分) = , ,



(Ⅲ)证明:由(Ⅰ)可知 则

.∴ . 则 +…+ , ∴Tn= . (14 分) =

点评: 本题主要考查等差关系的确定,等比数列的前 n 项和公式的应用,用裂项法、错位 相减法对数列求和,数列与不等式的综合应用,属于中档题.
3 2

19.设函数 f(x)= +xlnx,g(x)=x ﹣x ﹣3. (1)讨论函数 h(x)= 的单调性;

(Ⅱ)如果存在 x1,x2∈[0,2],使得 g(x1)﹣g(x2)≥M 成立,求满足上述条件的最大整数 M; (Ⅲ)如果对任意的 s,t ,都有 f(s)≥g(t)成立,求实数 a 的取值范围.

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求导函数,分类讨论,利用导数的正负,即可确定函数的单调区间; (Ⅱ) 如果存在 x1, x2∈[0, 2], 使得 g (x1) ﹣g (x2) ≥M 成立, 等价于: [g (x1) ﹣g (x2) ]max≥M, 求出函数的最值,即可求满足条件的最大整数 M; (Ⅲ)当 x 时, 恒成立,等价于 a≥x﹣x lnx 恒成立,求右边
2

的最值,即可得到结论. 解答: 解: (Ⅰ) , ,…(1 分)

①a≤0,h'(x)≥0,函数 h(x)在(0,+∞)上单调递增…(2 分) ②a>0, ,函数 h(x)的单调递增区间为 , ,函数 h(x)的单调递减区间为 …(4 分) (Ⅱ) 存在 x1, x2∈[0, 2], 使得 g (x1) ﹣g (x2) ≥M 成立, 等价于: [g (x1) ﹣g (x2) ]max≥M, … (5 分) 考察 g(x)=x ﹣x ﹣3, x 0 ﹣ 递减 0 极(最)小值 + 递增 1
3 2

,…(6 分) 2

g′(x) 0 g(x) ﹣3

…(8 分) 由上表可知: ∴[g(x1)﹣g(x2)]max=g(x)max﹣g(x)min= 所以满足条件的最大整数 M=4;…(10 分) (Ⅲ)当 x 时, 恒成立,等价于 a≥x﹣x lnx 恒成立,…(11
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, ,…(9 分)

分) 2 记 h(x)=x﹣x lnx,所以 a≥hmax(x) 又 h′(x)=1﹣2xlnx﹣x,则 h′(1)=0. 记 h'(x)=(1﹣x)﹣2lnx, 即函数 h(x)=x﹣x lnx 在区间
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,1﹣x>0,xlnx<0,h'(x)>0 上递增,

记 h'(x)=(1﹣x)﹣2lnx,x∈(1,2],1﹣x<0,xlnx>0,h'(x)<0 2 即函数 h(x)=x﹣x lnx 在区间(1,2]上递减, ∴x=1,h(x)取到极大值也是最大值 h(1)=1…(13 分) ∴a≥1…(14 分) 点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查学生分析解决问题的能 力,属于中档题.

20.已知数集 A={a1,a2,…,an},其中 0≤a1<a2<…<an,且 n≥3,若对?i,j(1≤i≤j≤n) ,aj+ai 与 aj﹣ai 两数中至少有一个属于 A,则称数集 A 具有性质 P. (Ⅰ)分别判断数集{0,1,3}与数集{0,2,4,6}是否具有性质 P,说明理由; (Ⅱ)已知数集 A={a1,a2…a8}具有性质 P,判断数列 a1,a2…a8 是否为等差数列,若是等差 数列,请证明;若不是,请说明理由. 考点: 等差关系的确定. 专题: 新定义;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)根据数集 A 具有性质 P 的定义,判断数集{0,1,3}与数集{0,2,4,6}是否 具有性质 P. (Ⅱ)根据数集 A={a1,a2…a8}具有性质 P,可得 ai+a9﹣i=a8 …①,ai+a8﹣i=a7 …②,由①② 可知 ai=a8﹣a9﹣i=a8﹣(a7﹣ai﹣1) ,即 ai﹣ai﹣1=a8﹣a7,从而得到 a1,a2,…a8 构成等查数列. 解答: 解: (Ⅰ)由于 3﹣1 和 3+1 都不属于集合{0,1,3},所以该集合不具有性质 P; 由于 2+0、4+0、6+0、4+2、6﹣2、6﹣4、0﹣0、2﹣2、4﹣4、6﹣6 都属于集合{0,2,4,6}, 所以该数集具有性质 P. …(4 分) (Ⅱ)∵A={a1,a2,…,a8}具有性质 P,所以 a8+a8 与 a8﹣a8 中至少有一个属于 A, 由 0≤a1<a2<…<a8,有 a8+a8>a8,故 a8+a8?A,∴0=a8﹣a8∈A,故 a1=0. ∵0=a1<a2<…<a8,∴a8+ak>a8,故 a8+ak?A(k=2,3,…,8) . 由 A 具有性质 P 知,a8﹣ak∈A(k=2,3,…,8) . 又∵a8﹣a8<a8﹣a7<…<a8﹣a2<a8﹣a1, ∴a8﹣a8=a1,a8﹣a7=a2,…,a8﹣a2=a7,a8﹣a1=a8,即 ai+a9﹣i=a8(i=1,2,…,8) .…① 由 a2+a7=a8 知,a3+a7,a4+a7,…,a7+a7 均不属于 A, 由 A 具有性质 P,a7﹣a3,a7﹣a4,…,a7﹣a7 均属于 A, ∴a7﹣a7<a7﹣a6<…<a7﹣a4<a7﹣a3<a8﹣a3 , ∴a7﹣a7=0,a7﹣a6=a2,a7﹣a5=a3,…,a7﹣a3=a5,即 ai+a8﹣i=a7(i=1,2…7) .…② 由①②可知 ai=a8﹣a9﹣i=a8﹣(a7﹣ai﹣1) (i=1,2…7,8) , 即 ai﹣ai﹣1=a8﹣a7(i=2,3,…,8) . 故 a1,a2,…a8 构成等查数列. …(10 分) 点评: 本题主要考查等差关系的确定,等差数列的定义,新定义,属于中档题.


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