数学北师大版2-2.1.4数学归纳法习题


一、选择题(每题 4 分,共 16 分) 1.(2011·南昌高二检测)证明 2n≥n2+1 对 n≥n0 的自然数都成立时,第一步的起始值 n0 的值应取为( (A)1 ) (B)3 (C)5 (D)6
2

n4 ? n2 2.(2011·郑州高二检测)用数学归纳法证明 1+2+3+…+n = ,则当 n=k+1 时左端应 2

在 n=k 的基础上加上( (A)k2+1 (B)(k+1)2

).

? k ? 1? ? ? k ? 1? (C)
4

2

2

(D)(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2 3.对于不等式 n2 ? n ? n ?1 (n∈N*),某学生用数学归纳法证明的过程如下: (1)当 n=1 时, 12 ?1 ? 1 ?1 ,不等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N*,k≥1)时,不等式成立,即 k2 ? k ? k ?1 ,则当 n=k+1 时,

? k ? 1? ? ? k ? 1? ?
2

k 2 ? 3k ? 2 ?

?k

2

? 3k ? 2 ? ? ? k ? 2 ?

?

? k ? 2?

2

? ? k ? 1? ? 1



所以当 n=k+1 时,不等式也成立. 由(1),(2)可知,对一切 n∈N*,不等式都成立. 上述证明( )

(A)过程全部正确 (B)n=1 的验证不正确 (C)归纳假设不正确 (D)从 n=k 到 n=k+1 的推理过程不正确 4.(2011·承德高二检测)下列 a,b 数组中,能使得等式
12 22 n2 an 2 ? n (n∈N*)对一切 n∈N*都成立的是( ? ??? ? 1? 3 3 ? 5 ? 2n ?1?? 2n ? 1? bn ? 2

)

(A)a=1,b=4 (C)a=2,b=5

(B)a=4,b=1 (D)a=5,b=2

二、填空题(每题 4 分,共 8 分) 5.用数学归纳法证明:凸 n 边形对角线的条数 f(n)= n ? n ? 3? (n≥4)时,f(k+1)与 f(k) 的关系是_______. 6.在数列{an}中, a1 ? 且 sn=n(2n-1)an,通过计算 a2,a3,a4,猜想 an 的表达式为 _________________. 三、解答题(每题 8 分,共 16 分) 7.(2011·沈阳高二检测)若不等式
1 1 1 1 a ? ? ??? > 对一切正整数 n 都成 n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1 24 1 3 1 2

立,求正整数 a 的最大值,并证明你的结论. 8.已知数列{xn}满足 x1 ? , x n ?1 ? 【挑战能力】 (10 分)一个计算装置有一个数据入口 A 和一个运算结果的出口 B,将正整数数列{n}中 的各数依次输入 A 口,从 B 口得到输出数据组成数列{an},结果表明: ①从 A 口输入 n=1 时,从 B 口得到 a1 ? ; ②当 n≥2 时,从 A 口输入 n,从 B 口得到结果 an 是将前一个结果 an-1 先乘 以正整数数列{n}中的第 n-1 个奇数,再除以正整数数列{n}中的第 n+1 个奇数,试问: (1)从 A 口输入 2 和 3 时,从 B 口分别得到什么数? (2)从 A 口输入 2 010 时,从 B 口得到什么数?为什么?
1 3

1 2

1 , (n∈N*), 用数学归纳法证明数列{x2n}是递减数列. 1? xn

答案解析
1.【解析】选 C.经检验 25=32≥52+1=26,26=64≥62+1=37,故 n0=5. 2. 解析】 D.当从 n=k 到 n=k+1 时, 【 选 左端的式子由 1+2+3+…+k2 变为 1+2+3+…+k2+k2+1+… +(k+1)2,增加的式子是(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2. 3.独具【解题提示】证明的第二步必须用到归纳假设,否则不是数学归纳法证明. 【解析】选 D.从 n=k 到 n=k+1 的推理如下:
当n ? k ? 1时

? k ? 1? ? ? k ? 1? ?
2

k 2 ? 3k ? 2 ?

k 2 ? k ? 2k ? 2 ? ? ? k ? 1? ? 1.

? k ? 1?

2

? 2k ? 2

? k 2 ? 4k ? 3 ? k 2 ? 4k ? 4

4.【解析】选 A.∵等式

12 22 n2 an 2 ? n (n∈N*)对一切 n∈N*都成立, ? ??? ? 1? 3 3 ? 5 ? 2n ?1?? 2n ? 1? bn ? 2

∴将 n=1,n=2 代入等式解方程组即可. 5.独具【解题提示】可以用特例判断增加的对角线条数. 【解析】当凸 n 边形的边数由 k 条变到 k+1 条时,对角线条数增加 k+1-2 条.答案: f(k+1)=f(k)+k-1 6.【解析】? a1 ? 且s n ? n ? 2n ? 1? a n,得a 2 ? ? , a 3 ? ? ,
1 1 1 1 a 4 ? ? ,归纳得a n ? .答案: a n ? 7 9 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? ? 2n ? 1?? 2n ? 1?
1 3 1 1 3 5 1 1 5 7

7.独具【解题提示】先令 n=1,探索 a 的取值,然后用数学归纳法进行证明. 【解析】取 n=1, 令
1 1 1 26 ? ? ? , 1 ? 1 1 ? 2 3 ?1 ? 1 24

26 a * > 得 a<26,又 a∈N ,故取 a=25.下面用数学归纳法证明: 24 24 1 1 1 1 25 ? ? ??? ? n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1 24

①当 n=1 时,已证明结论正确; ②假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时命题成立,即
1 1 1 1 25 ? ? ??? > , k ?1 k ? 2 k ? 3 3k ? 1 24

则当 n=k+1 时,有

1 1 1 1 ? ? ??? k ?1?1 k ?1? 2 k ?1? 3 3 ? k ? 1? ? 1 1 1 1 1 ? ? ??? ) k ?1 k ? 2 k ? 3 3k ? 1 1 1 1 1 ?( ? ? ? ) 3k ? 2 3k ? 3 3k ? 4 k ? 1 25 1 1 1 1 > ?( ? ? ? ) 24 3k ? 2 3k ? 3 3k ? 4 k ? 1 25 1 2 1 ? ?( ? ? ) 24 3k ? 2 3k ? 3 3k ? 4 ?(
? 6 ? k ? 1? 1 1 2 ? ? 2 ? 3k ? 2 3k ? 4 9k ? 18k ? 8 3k ? 3 1 1 2 ? ? > 3k ? 2 3k ? 4 3k ? 3 1 1 2 即 ? ? >0 3k ? 2 3k ? 4 3k ? 3 1 1 1 1 25 ? ? ? ??? ? k ?1?1 k ?1? 2 k ?1? 3 3 ? k ? 1? ? 1 24

即 n=k+1 时,结论也成立. 由①②知,对一切 n∈N*,都有
1 1 1 1 25 ? ? ??? ? . n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1 24

综上,正整数 a 的最大值为 25. 独具【方法技巧】解读归纳、猜想、证明探索性命题是各类试题中经常出现的一类试题, 此类问题要求从特殊情况入手,归纳出一般结论,然后进行证明.其解题思路是:从所 给条件出发,通过观察、试验、归纳、猜想,得到相关结论;然后再对此结论进行严格 证明,数学归纳法是实现此证明的一条很好的途径. 8.【证明】(1)当 n=1 时,由 x1 ? , x n ?1 ? 结论成立; (2)假设当 n=k 时,命题成立, 即:x2k>x2k+2,易知 xn>0
那么x 2k ? 2 ? x 2k ? 4 ? ? ? 1 1 ? 1 ? x 2k ?1 1 ? x 2k ?3
1 2 1 2 5 13 ,得x 2 ? ,x 4 ? ,x 6 ? ,即 x2>x4>x6, 1? xn 3 8 21

x 2k ?3 ? x 2k ?1 ?1 ? x 2k ?1 ??1 ? x 2k ?3 ? x 2k ? x 2k ? 2 >0 ?1 ? x 2k ??1 ? x 2k ?1 ??1 ? x 2k ?2 ??1 ? x 2k ?3 ?

即x 2? k ?1?>x 2? k ?1?? 2 .

也就是说当 n=k+1 时,命题也成立;

由(1)(2)可知,命题成立. 【挑战能力】 【解析】 (1) a1 ? ?
a 2 ? a1 ? 1 ? 5 ?
1 3 1 , 1? 3

1 1 ? , 15 3 ? 5 1 1 a3 ? a2 ? 3 ? 7 ? ? . 35 5 ? 7

(2)猜想 a m ?

1 (m∈N*). (2m ? 1)(2m ? 1)

①当 m=1 时,由(1)知猜想成立; ②假设当 m=k(k≥1 且 k∈N*)时,
ak ?

? 2k ? 1?? 2k ? 1?

1

成立,

则当 m=k+1 时,
a k ?1 ? a k ? ? 2k ? 1? ? ? 2k ? 3? ? 1

? 2k ? 1?? 2k ? 3?

1 ? , [2 ? k ? 1? ? 1][2 ? k ? 1? ? 1]

∴m=k+1(k≥1,k∈N*)时猜想成立,
由①②可知a m ? 当m ? 2 010时, a 2 010 ? 1 (2 ? 2 010 ? 1)(2 ? 2 010 ? 1) 1 1 1 ? ? ? . 4 019 4 021 16 160 399

? 2m ? 1?? 2m ? 1?

1

(m ? N* )成立.


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