四川省成都外国语学校2017届高三上学期9月月考试题数学(理)Word版含答案

成都外国语学校 2017 届高三 9 月月考

数 学(理工类)

命题人:王福孔

审题人:李斌

第Ⅰ卷(选择题共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.)

1.已知集合 A ? {x | ?3 ? x ? 3}, B ? {x | y ? lg(x ?1)} ,则集合 A B 为( )

A. [0, 3)

B. [?1, 3)

C. (?1,3)

D. (?3, ?1]

2.下列说法正确的是( )
A. a ? R ,“ 1 ? 1”是“ a ?1”的必要不充分条件 a
B.“ p ? q 为真命题”是“ p ? q 为真命题”的必要不充分条件

C.命题“ ?x ? R ,使得 x2 ? 2x ? 3 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R , x2 ? 2x ? 3 ? 0 ”

D.命题 p :“ ?x ? R , sin x ? cos x ? 2 ”,则 ?p 是真命题

3.已知

a

?

5log3

3.4

,

b

?

5log4

3.6

,

c

?

? ??

1 5

?log3 ??

0.3

,则(



A. a ? c ? b

B. b ? a ? c

C. a ? b ? c

D. c ? a ? b

4.已知 y ? log a (2 ? ax) 在?0,1? 上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( )

A. ?0,1?

B. ?1,2?

C. ?0, 2?

D. ?2, ??)

5.若函数

f

(x)

?

(?? ?

1 4

)x ,

x

? ?? 1,0?

??4x , x ? ?0,1?



f

?1 ??3

f

? ??

log4

1 ?? 3 ????

?





1
A.

B. 3

1
C.

D. 4

3

4

6.函数 f (x) ? ex ? x 在区间[?1,1] 上的值域为( )

A.[1, e ?1]

B.[1 ?1, e ?1] e

C.[1 ?1,2] e

D.[0, e ?1]

7.设函数 f (x) ? ln(x ? x2 ?1) ? 3 ,若 f (a) ? 10 ,则 f (?a) ? ( )

A.13

B. ? 7

C.7

D. ? 4

8.将函数

f

(x)

?

? 3sin(4x ?

) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的

2

倍,再向右平移 ?



6

6

单位长度,得到函数 y ? g(x) 的图象,则 y ? g(x) 图象的一条对称轴是( )

A. x ? ? 12

B. x ? ? 6

C. x ? ? 3

D. x ? 2? 3

9.函数 f (x) 的定义域是 R , f (0) ? 2,对任意 x ? R , f (x) ? f ' (x) ? 1 ,则不等式

ex f (x) ? ex ?1
的解集为( )
A.{x | x ? 0}

B.{x | x ? 0}

C.{x | x ? ?1或x ? 1}

D.{x | x ? ?1或0 ? x ? 1}

10.已知函数 f ? x? ? Asin ??x ???? A ? 0,? ? 0,0 ? ? ? ? ?的部分图象如图所示,且

f

??

?

? 1,?

?

? ??

0,

? 3

? ??

,则

cos

? ??

2?

?

5? 6

? ??

?(



A. 1 3

B. ? 2 2 3

C. 2 2 3

D. ? 2 2 3

11. 已知函数 f (x) ? x2 ? x | x ? a | ?3a, a ? 3 .若函数 f (x) 恰有两个不同的零点

x1 ,

x2 ,则|

1 x1

?

1 x2

| 的取值范围是(



A. (1,??)

B. (1 ,??) 3

C. (1 ,1] 3

D. (1 , 1] 23

12.已知函数 f (x) ? ex ? ax 有两个零点 x1 ? x2 ,则下列说法错误的是( )

A.a ? e

B.x1 ? x2 ? 2

C.x1x2 ? 1

D.有极小值点 x0 ,且 x1 ? x2 ? 2x0

第 II 卷(非选择题共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,满分 20 分.)

13. 已知 cos(5? ? ? ) ? 1 ,且 ? ? ? ? ? ? ? ,则 cos( ? ? ? ) ? _______________.

12

3

2

12

14. 已知函数 f (x) ? ln( 1? 9x2 ? 3x) ?1 ,则 f (lg 2) ? f (lg 1) ? _______. 2

? 15. 设 a ? ? (cos x ? sin x)dx ,则二项式 (x2 ? a )6 展开式中的 x3 项的系数为

0

x

.

16. 设函数 f (x) ? kx2 ? 2x( k 为实常数)为奇函数,函数 g(x) ? a f (x) ?1(a ? 0且a ? 1) .当

a ? 2 时, g(x) ? t2 ? 2mt ? 1对所有的 x ?[?1,1] 及 m ?[?1,1] 恒成立,则实数 t 的取值范

围________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.)

17.(本小题满分

10

分)计算:(Ⅰ)

log5

25

?

lg

1 100

?

ln

e ? 2log2 3 ;

(Ⅱ)

1
已知 a2

?1
?a 2

?

3

?

a

?

R

?

,求值:

a2 a

? a?2 ?1 ? a?1 ?1

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f (x) ? cos( π ? x) cos( π ? x) ? sin x cos x ? 1

3

3

4

(1)化简 f (x) 的解析式,并写出 f (x) 的最小正周期;

(2)求当 x ?[0, ? ] 时,求函数 f ? x? 的值
2

19.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x? ? ln x ? ? x ?1?2 .
2
(1)求函数 f ? x? 的单调递增区间; (2)证明:当 x ?1时, f ? x? ? x ?1.
20.(本小题满分 12 分)已知△ ABC的面积为 S ,且 3 AB ? AC ? S , AC ? AB ? 3. 2
(Ⅰ)若 f (x) ? 2cos(?x ? B) ?? ? 0)?的图象与直线 y ? 2 相邻两个交点间的最短距离为
2,
且 f (1 ) ? 1,求△ ABC的面积 S ; 6
(Ⅱ)求 S ? 3 3 cos B ? cosC 的最大值.

21.(本小题满分 12 分)某省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,
发 现 一 天 中 环 境 综 合 放 射 性 污 染 指 数 f (x) 与 时 刻 x ( 时 ) 的 关 系 为

f (x) ?

x x2 ?1 ? a

?

2a

?

2 3

,

x

?

[0,

24]

,其中

a

是与气象有关的参数,且

a

?[0,

1 2]

.

(Ⅰ)令 t

?

x2

x ?

1,x

?[0,24]

,写出该函数的单调区间,并选择其中一种情形进行证明;

(Ⅱ)若用每天 f (x) 的最大值作为当天的综合放射性污染指数,并记作 M (a) 求 M (a) ;

(Ⅲ)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过 2,试问目前市中心的综合放射性 污染
指数是否超标?

22.(本小题满分 12 分)已知函数 f (x) ? x ln x ? a x2 ? x ? a(a ? R) 在其定义域内有两个不 2
同的极值点.
(1)求 a 的取值范围;
(2)记两个极值点分别为 x1, x2 ,且 x1 ? x2 ,已知 ? ? 0 ,

若不等式 e1?? ? x1 ? x2? 恒成立,求 ? 的范围.

? ? (3)证明: ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? 3 8 15

?

ln n n2 ?1

?

???1?

1 n

?n ??

?

n2

?

n 4

?10

n? N*,n ? 2



成都外国语学校高 2014 级 9 月月考理科数学参考答案
一、选择题 1. C【解析】因 B ? {x | x ? ?1},故 A ? B ? {x | ?1 ? x ? 3},应选 C.考点:集
合的交集运算.

2. A【解析】对于 A,由于当 a ?1时一定有 1 ? 1,所以“ 1 ? 1”是“ a ?1”的必要条件,又

a

a

因为 1 ? 1时不能推出 a ?1,如 a ? ?1,所以所以“ 1 ? 1”是“ a ?1”的不充分条件,综上可

a

a

知“ 1 ? 1”是“ a ?1”的必要不充分条件,故可知选 A. 考点:充分条件必要条件与命题的否定. a

3.

A【解析】 a ? 5log3 3.4

? 5, b ? 5log4 3.6

?

5,

c

?

? ??

1 5

?log3 ??

0.3

10
? 5log3 3

? 5log3 3.4 ,?a ? c ? b ,故

选 A.考点:比较大小

? ? 4. B【解析】由题已知 a ? 0,t ? 2 ? ax 为减函数,又 y ? loga?2?ax? 在 0,1 为减函数,则可

得:,.

?a ??2

? ?

1 a

?

0

,解得

a

的取值范围是(1,2)考点:复合函数的单调性.

5. D

【解析】因为

f

(x)

?

(?? ?

1 4

)x ,

x

?

??

1,0?

??4x , x ? ?0,1?







l

o

g4

1 3

?

??

1?, 0, 所 以

f(log4

1) 3

?

(

1

log
)

4

1 3

4

?

3

,?

1 3

f(log4

1) 3

? 1,

f

(1)

?

41

?

4

,所以

f

?1 ??3

f

? ??

log4

1 ?? 3 ????

?

4,答案

为 D.考点:分段函数的应用.

6. A【解析】f '(x) ? ex ?1,f '(0) ? 0 ,当 x ?[?1,0) 时,f '(x) ? 0 ,f (x) 递减,当 x ?(0,1]

时, f '(x) ? 0 , f (x) 递增, f (0) ? e0 ? 0 ? 1 , f (?1) ? 1 ?1 , f (1) ? e ?1 ? 1 ?1,所以

e

e

f (x) 值域为[1, e ?1].故选 A.

考点:用导数求函数的值域.

? ? ? ? 7 . D 【 解析 】 设 g ? x? ? ln x ? x2 ?1 , 则 g ? x? ? ln x? x2 ?1 是 奇 函 数 ,由 于

f (a) ?10 ,即10 ? g ?a? ? 3,?g ?a? ? 7 ,从而 f (?a) ? g ??a? ? 3 ? ?g ?a? ? 3 ? ?4 ,故

选 D.考点:函数的奇偶性.
8. C【解析】将函数 f (x) ? 3sin(4x ? ? ) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍得到函 6



y

?

3sin

? ??

2x

?

? 6

? ??

的图象,再向右平移

? 6

个单位长度,得到函数

y

?

3sin

???2

? ??

x

?

? 6

? ??

?

? 6

? ??

?

3sin

? ??

2x

?

? 6

? ??

,即

y

?

g(

x)

的图象,而

g

? ??

? 3

? ??

?

3 ,则

y

?

g(

x)

图象的一条对称轴是

x ? ? ,故选 C. 3
考点:三角函数的图象和性质及其变换.

9. A 【解析】令函数 F (x) ? e x f (x) ? e x ?1,因

F / (x) ? e x f (x) ? e x f / (x) ? e x ? e x [ f (x) ? f / (x) ?1] ? 0 ,故函数 F (x) ? e x f (x) ? e x ?1

是单调递增函数,且 F(0) ? 2 ?1?1 ? 0 ,所以不等式 ex f (x) ? ex ?1等价于 F(x) ? F(0) ,故

x ? 0,应选 A. 考点:导数的有关知识及综合运用.
10. D 【解析】考点:三角函数的图象和性质及两角和的余弦公式的综合运用.

11. C 考点:分段函数,函数的零点.

12. C【解析】因为 f ?(x) ? ex ? a ,则当 a ? 0 时, f ?(x) ? 0 恒成立,所以 f (x) 在 R 上递

增,不满足条件;当 a ? 0 时,由 f ?(x) ? 0 得 x ? ln a ,由 f ?(x) ? 0 得 x ? ln a ,所以 f (x)

在 (??, ln a) 上递减,在 (ln a, ??) 上递增.因为 f (x) ? ex ? ax 有两个零点 x1, x2 ,且 x1 ? x2 , 所 以 f ( l na )? 0, a ? 0 , 所 以 elna ? a ln a ? 0 , 解 得 a ? e , 所 以 A 正 确 ; 因 为

e x1

? ax1, ex2

? ax2

, 所 以 ex2 ?x1

?

x2 x1

,设 t ?

x2 x1

, 则 t ? 1, e(t? 1 )x1

?

t

?

x1

?

ln t t ?1







x1 ?

x2 ?2

?(t

?1) x1

?2

?t ?1 t ?1

( l nt ? 2?t ?1 t ?1

) ?t ?1 t ?1

( ltn ? 2?4 t ?1

)



g(t) ? ln t ? 2 ? t

4 ?1

,则

g?(t)

?1? t

(t

4 ? 1)2

?

(t ?1)2 t(t ?1)2

?

0

,所以

g(t) ?

g(1) ? 0

,因此

x1 ? x2 ? 2 ? 0, x1 ? x2 ? 2.

B 正 确 ; x1x 2?1 ? tx 2 ?1 1?

t( l nt ? t ?1

1t ) (tl ?n t ?1

= 1)

t (ln t ? t ?1)( t ln t ?1) ,令 h(t) ? ln t ? t ?1 ,则 h?(t) ? 1 ? t ?1 ? ? ( t ?1)2 ? 0 ,

t ?1

t t ?1

t

t 2t t

2t t

所以 h(t) ? h(1)? 0,因此 x1 x2 ?1 ? 0, x1 x2 ? 1,C 错;又 f (x) 在 (??, ln a) 上递减,在

(ln a, ??) 上 递 增 , 所 以 f (x) 有 极 小 值 点 x0 ? ln a , 由 ex1 ? ax1, ex2 ? ax2 得

x1 ? ln a ? ln x1, x2 ? ln a ? ln x2 , 因 此 x1+ ?x2 2 l?a n 1 ?xl , n 2即x l n

x1+ ?x2 2 l ?a n 1,x所l?以2 nx1+x2 ? 2 ln0a ? 2x0 ,所以 D 正确故选 C.考点:1、利用

导数研究函数的单调性;2、函数零点;3、不等式性质.

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,满分 20 分.)

13.

22 【答案】 ? 3

【解析】 cos( ?

?? ) ? cos(? ? (5? ? ? )) ? sin(5? ? ? ) ? ? 2

2
.

12

2 12

12

3

? ? ? ? 14【. 答案】2【解析】f ?? x?? f ?x? ? ln 1? 9x2 ? 3x ? ln 1? 9x2 ? 3x ? 2 ? ln1? 2 ? 2 ,

f ?lg 2? ? f ??lg 1 ?? ? f ?lg 2? ? f ?? lg 2? ? 2 考点:函数的性质
? 2?

? 15.【答案】 ?160 【解析】因为 a ?

? 0

(cos

x

? sin

x)dx

? ?sin

x

? cos

x?

? 0

? ?2 ,从而可求

得 (x2

?

a)6 x

?

? ??

x2

?

2 x

?6 ??

展开式中的

x3

项的系数为 ?160,故答案填 ?160.考点:定积分,

二项式定理.

16.【答案】 t ? (??,?2] {0} [2,??)

【 解 析 】 由 f (?x) ? ? f (x) 得 kx2 ? 2x ? ?kx2 ? 2x ,

∴ k ? 0 .∵ g(x) ? a f (x) ?1 ? a2x ?1 ? (a2 )x ?1

g(x) 在 x ?[?1,1] 上的最大值为 g(1) ? ( 2)2 ?1 ? 1 ,

∴1 ? t2 ? 2mt ? 1即 t2 ? 2mt ? 0 在[?1,1] 上恒成立分令 h(m) ? ?2mt ? t2 ,

?

??h(?1) ? ??h(1) ?

? t2 t2 ?

? 2t 2t ?

? 0, 0,

?t ? ?2或t ? 0, 即 ??t ? 0或t ? 2.

所以 t ?(??,?2] {0} [2,??) .

考点:(1)函数的奇函数.(2)指数函数的性质.(3)恒成立问题及函数思想.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.)

17. 【答案】(Ⅰ) 7 ; (Ⅱ)6.【解析】(Ⅰ)原式= 2 ? (?2) ? 1 ? 3 ? 7 ;

2

22

(Ⅱ)

1
a2

?1
?a 2

? 3,?a

? a?1

?

7,? a 2

?

a ?2

?

47,

?

a2 a

? a?2 ?1 ? a?1 ?1

?

47 ?1 7 ?1

?

6

18. 【答案】(Ⅰ) f (x) ? cos( π ? x) cos( π ? x) ? 1 sin 2x ? 1

3

3

2

4

? (1 cos x ? 3 sin x)(1 cos x ? 3 sin x) ? 1 sin 2x ? 1

2

2

2

2

2

4

? 1 cos2 x ? 3 sin2 x ? 1 sin 2x ? 1 ? 1? cos 2x ? 3 ? 3cos 2x ? 1 sin 2x ? 1

4

4

2

4

8

8

2

4

? 1 (cos 2x ? sin 2x) ? 2

2 2

cos

? ??

2x

?

? 4

? ??

函数 f (x) 的最小正周期为 T ? ? ,

函数

f (x) 的最大值为 2 2

(II)由 x ?[0, ? ] ,得 2x ? ? ?[? , 5? ] , cos(2x ? ? ) ?[?1, 2 ]

2

4 44

4

2

所以当 x ?[0, ? ] 时,求函数 f ? x? 的值域为[? 2 , 1]

2

22

19.【解析】(1) f ? x? 的定义域为 ?0, ??? , f '? x? ? 1 ? x ?1 ? ?x2 ? x ?1, 令 f '? x? ? 0 ,得

x

x

?x ? 0 ???x2 ?

x ?1?

,解得 0 0

?

x

?

1? 2

5

,所以函数

f

?

x?

的单调递增区间是

? ???

0,

1? 2

5

? ??? .

(2)令 g ? x? ? f ? x? ?? x?1? , x??1, ??? ,则 g '? x? ? 1? x2 ? 0 在 ?1, ??? 上恒成立, 所以
x
g ? x? 在 ?1, ???上单调递减,所以当 x ?1时, g ? x? ? g ?1? ? 0 , 即当 x ?1时, f ? x? ? x ?1.

20. (Ⅰ)? f (x)? 2cos(?x ? B) 的图象与直线 y ? 2相邻两个交点间的最短距离为 T,

?T

?

2

,即:

2? ?

? 2 ,解得?

??



f (x)

? 2 cos(? x ? B) ,

f

(1) ? 2 cos(?

6

6

? B) ?1,

即: cos(? ? B) ? 1 , B 是△ ABC 的内角,? B ? ? , 又 3 AB ? AC ? S ,

6

2

6

2

设△ ABC 的三个内角的对边分别为 a,b, c ,? 3 bc cos A ? 1 bc sin A , tan A ? 3,

2

2

A?? , 3

从而△ ABC 是直角三角形,由已知 AC ? AB ? 3 得, BC ? a ? 3 ,从而 b ? 3 ,

S?ABC

?

1 2

ab

?

33 2

.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

A

?

? 3

,

a

?

3

,设

?ABC的外接圆半径为

R,则

2R

?

a sin

A

?

2

3 ,解得

R? 3

?S ?3

3

cos

B

cosC

?

1 2

bc s in

A

?

3

3 cos B cosC ?

3 4

bc

?

3

3 cos B cosC

? 3 3 sin B sin C ? 3 3 cos B cosC ? 3 3 cos(B ? C) ? 3 3

所以当 B ? C 时,最大值为 3 3 考点:向量的数量积公式和正弦定理三角变换等有关知识的
综 合运用.
21.解:(1)单调递增区间为[0,1] ;单调递减区间为[1, 24] .

证明:任取

0

?

x1

?

x2

?

1, t ( x 1)

?

t(x

2)

?

(x1 ? x2)(1? (1? x12 )(1?

x1x 2) x22 )

,

x1 ? x2 ? 0, (1? x1x2 ) ? 0 ,

所以 t(x1)

?

t(x2 )

?

(x1 ? x2 )(1? (1? x12 )(1?

x1x2 ) x22 )

?

0

.所以函数

t(x)

在 [0,1]

上为增函数.(同理可证在区

间[1, 24] 上减函数)

(2)由函数的单调性知 tmax (x)

?

t(1)

? 1;tmin (x)

?

t(0)

?

0,

∴t

?

x x2 ?1

?

1 x?

1

?[0,

1] ,即 t 2

x

的取值范围是 [0, 1] . 2

当 a ?[0, 1] 时,记 g(t) ? t ? a ? 2a ? 2

2

3



g (t )

?

????t ? 3a ?

? ??? t

?

a

?

2 3

,

2 3
a

,0 ? t ?t ?

?
1 2

a

∵ g(t) 在[0, a] 上单调递减,在 (a, 1] 上单调递增, 2



g

?

0?

?

3a

?

2 3

,

g

? ??

1 2

? ??

?

a

?

7 6

,

g

?0?

?

g

? ??

1 2

? ??

?

2 ???

a

?

1 4

? ??

.



M

(a)

?

? ?? ? ? ??

g(1), 0 2
g(0), 1 4

? ?

a a

? ?

1 4 1 2

?

???????3aa??7632,

0?a ,1 ? 4

? a

1 4
?

1 2

.

(3) 因 为 当 且 仅 当 a ? 4 时 , M (a) ? 2 . 9

故当 0 ? a ? 4 时不超标,当 9

4 ? a ? 1 时超标.

9

2

22. 试题解析:(1)依题,函数 f (x) 的定义域为 (0, ??) ,所以方程 f ' (x) ? 0 在 (0, ??) 有

两个不同根,即,方程 ln x ? ax ? 0 在 (0, ??) 有两个不同根.转化为,函数 y ? ln x 与函数 y ? ax 的图角在 (0, ??) 上有两个不同交点, 可 见 , 若 令 过 原 点 且 切 于 函 数 y ? ln x 图 象 的 直 线 斜 率 为 k , 只 须 0 ? a ? k . 令 切 点

A(x0 , ln x0 ) ,

所以 k ?

y'

? x ? x0

1 x0

,又 k

? ln x0 x0

,所以

1 x0

? ln x0 x0

,解得, x0

? e ,于是 k

? 1 ,所以 e

0?a?1. e

(2)因为 e1?? ? x1 ? x2? 等价于1? ? ? ln x1 ? ? ln x2 .

由(1)可知 x1, x2 分别是方程 ln x ? ax ? 0 的两个根,即 ln x1 ? ax1, ln x2 ? ax2 .

所以原式等价于1? ? ? ax1 ? ?ax2 ? a( x1 ? ? x2) ,因为 ? ? 0, 0 ? x1 ? x2 ,所以原式等价于

a ? 1?? . x1 ? ? x2

ln x1

又由 ln x1

?

ax1 , ln x2

?

ax2 ,作差得, ln

x1 x2

?

a( x1

?

x2 ) ,即 a

?

x1

x2 ? x2

.所以原式等价于

ln x1 x2 ? 1? ? ,
x1 ? x2 x1 ? ? x2

因为 0

?

x1

?

x2 ,原式恒成立,即 ln

x1 x2

?

(1? ?)(x1 ? x1 ? ? x2

x2 )

恒成立.

则不等式

令 t ? x1 , t ?(0,1) , x2

ln t ? (1? ?)(t ?1) 在 t ?(0,1) 上 恒 成 立 . t??

h' (t)

?1? t

(1? ?)2 (t ? ?)2

?

(t

?1)(t ? ? 2 ) t(t ? ?)2



令 h(t) ? ln t ? (1? ?)(t ?1) t??

,又

当 ?2 ? 1 时,可见 t ?(0,1) 时, h' (t) ? 0 ,所以 h(t) 在 t ?(0,1) 上单调增,又 h(1) ? 0 ,

h(t) ? 0 在 t ?(0,1) 恒成立,符合题意.当 ?2 ? 1 时,可见 t ? (0, ? 2 ) 时,h' (t) ? 0 ,t ? (? 2,1)

时, h' (t) ? 0 ,

所以 h(t) 在 t ? (0, ? 2 ) 时单调增,在 t ? (? 2,1) 时单调减,又 h(1) ? 0 ,所以 h(t) 在 t ?(0,1) 上

不能恒小于 0,不符合题意,舍去.综上所述,若不等式 e1?? ? x1 ? x2? 恒成立,只须 ?2 ? 1 , 又 ? ? 0 ,所以 ? ? 0 ,所以 ? ? 1.
(3)当 a ? 2 时 , 令 g(x) ? f (x) ? 2x ? 2 ? x ln x ? x2 ? x , 则

g'(x) ? ln x ? 2 ? 2x, g''(x) ? 1 ? 2 x
当 x ?1时 g''(x) ? 0 ,则 g'(x) 在 (1,??) 单调站递减,而 g'(1) ? 0当 x ?1 时 g'(x) ? 0 ,

则 g(x) 在 (1,??) 单 调 站 递 减 , 又 g(1) ? 0 所 以 当 x ?1 时 有

g(x) ? x ln x ? x2 ? x ? g(0) ? 1 ? ln x ? x ?1

? ? 令 x ? n2

n?N*,n ? 2

,有

ln

n2

?

n2

?1,即

ln n n2 ?1

?

1 2

?

n 2

ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? 3 8 15

?

ln n n2 ?1

?

1 2

?2

?

3

?

? n? ? ?n ?1??n ? 2? ,①.
4



x

?1?

1 n

,有

ln ???1?

1 n

? ??

?

1 n

?

???1?

1 n

n
? ? ?

?

e

?

3



? ? ①+②有: ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? 3 8 15

?

ln n n2 ?1

?

???1?

1 n

n
? ? ?

?

n2

?

n 4

?10

n? N*,n ? 2


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