互为反函数图像之间的关系_图文

授课者:周富红

复习回顾
什么样的函数存在反函数?
一一映射确定的函数

求反函数的一般步骤:
y = f ( x)
x = f ( y)
-1

y = f ( x)

-1

注:标明反函数的定义域(即原函数 的值域)

例1:求函数y=3x-2(x∈R)的反函数,

并画出原函数和它的反函数的图象。 解:由y=3x-2,
y y=3x-2
y= x+2 3

y+2 得 x= 。 3 因此,函数y=3x-2
(x∈R)的反函数是

o

x

x+2 ( x ∈ R) y= 3

例2:求函数y=x?(x≥0)的反函数,并
画出原函数和它的反函数的图象
y y=x?(x≥0)

解:由y=x? ,得
x = ± y。

y = x (x ≥ 0)

由于 x≥0,故得

-1

o

1

x

x = y 。因此,函数 y=x? (x≥0)的反函数是
y= x (x ≥ 0)

练习

①画出函数y=√x(x∈[0,+∞))的图象.

好画吗? 怎样转化,用我们学过的知识来画?
先画y=x2 (x∈[0,+∞))这个我们熟悉!
x y 0 0 1 1 2 4 3 9 … …

y

y?x

y?x
2

y? x
x

x y

0 0

1 1

4 2

9 3

… …

y

y=3x-2

y

y=x?(x≥0)

x+2 y= 3
o x -1 o 1

y = x ( x ≥0)

x

y

y=3x-2
y=x

y

y=x?(x≥0) y=x

x+2 y= 3
o x -1 o 1

y = x ( x ≥0)

x

y=x?+1(x≥0)

y = x3
y y

y=3 x
y = x - 1( x ≥ 1)

o

x

o

x

y=x?+1(x≥0)

y

y=x

y = x3
y
y=x
y=3 x

y = x - 1( x ≥ 1)

o

x

o

x

猜想

函数 y = f ( x) 的图象和它的 -1 反函数 y = f ( x) 的图象关 于直线y=x对称

证明分析:
两图象关于直线y=x对称
图象上的任意一对对应点关于直线y=x对称 直线y=x是对应点连线线段的垂直平分线

直线y=x上的任意一点到线段两端的距离相等

思考:

课堂小结
互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x对称。

课后作业 P64-习题2.4-4、5


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