安乡县第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

安乡县第二高级中学 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 一、选择题
1. 曲线 y=x3﹣3x2+1 在点(1,﹣1)处的切线方程为( A.y=3x﹣4 B.y=﹣3x+2 C.y=﹣4x+3 ) 2. 设 f(x)=ex+x﹣4,则函数 f(x)的零点所在区间为( A.(﹣1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 3. 点 A 是椭圆 上一点,F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,I 是△AF1F2 的内心.若 ,则该椭圆的离心率为( A. B. C. D. ) ) ) ) D.y=4x﹣5

座号_____

姓名__________

分数__________

  4. 已知 a=

,b=20.5,c=0.50.2,则 a,b,c 三者的大小关系是(

A.b>c>a B.b>a>c C.a>b>c D.c>b>a 5. 已知函数 f(x)=x2﹣2x+3 在[0,a]上有最大值 3,最小值 2,则 a 的取值范围( A.[1,+∞) B.[0.2} C.[1,2] D.(﹣∞,2] )   6. 在等差数列{an}中,a1+a2+a3=﹣24,a10+a11+a12=78,则此数列前 12 项和等于( A.96 B.108 C.204 D.216 7. f ? x ? ? 2 ? a A. a ? 0

?

2

?x?a

在区间 ? 0,1? 上恒正,则的取值范围为( B. 0 ? a ?

) D.以上都不对

2

C. 0 ? a ? 2

8. 如图,圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A,点 C、B 在圆 O 上,且点 C 位于第一象限,点 B 的坐标为( ,﹣ ),∠AOC=α,若|BC|=1,则 cos2 ﹣sin cos ﹣ 的值为( )

A.  

B.

C.﹣

D.﹣

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9. 已知回归直线的斜率的估计值是 1.23,样本点的中心为(4,5) ,则回归直线的方程是( A. =1.23x+4 B. =1.23x﹣0.08 C.0∈M C. D.0 ? M ) =1.23x+0.8 ) D. =1.23x+0.08



10.已知集合 M={0,1,2},则下列关系式正确的是( A.{0}∈M B.{0} ? M

11.如果一个几何体的三视图如图所示,主视图与左视图是边长为 2 的正三角形、俯视图轮廓为正方形,(单 位:cm),则此几何体的表面积是(

A.8cm2 B.

cm2 C.12 cm2

D.

cm2

12.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F 分别为 BC , BB1 的中点,则下列直线中与直线 EF

相交

的是(
A.直线 AA1

) B.直线 A1 B1 C. 直线 A1 D1 D.直线 B1C1

二、填空题
13.甲、乙两个箱子里各装有 2 个红球和 1 个白球,现从两个箱子中随机各取一个球,则至少有一 个红球的概率为 . 14.袋中装有 6 个不同的红球和 4 个不同的白球,不放回地依次摸出 2 个球,在第 1 次摸出红球的条件下, 第 2 次摸出的也是红球的概率为      .   15.下列命题: ①集合 ?a, b, c, d ? 的子集个数有 16 个; ②定义在 R 上的奇函数 f ( x) 必满足 f (0) ? 0 ; ③ f ( x) ? (2 x ? 1) ? 2(2 x ? 1) 既不是奇函数又不是偶函数;
2

④A? R,B ? R, f :x? ⑤ f ( x) ?

1 ,从集合 A 到集合 B 的对应关系 f 是映射; | x|

1 在定义域上是减函数. x

2

其中真命题的序号是

16.已知 M 、N 为抛物线 y ? 4 x 上两个不同的点, F 为抛物线的焦点.若线段 MN 的中点的纵坐标为 2,

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| MF | ? | NF |? 10 ,则直线 MN 的方程为_________.
17.【盐城中学 2018 届高三上第一次阶段性考试】已知函数 f ? x ? ? x ? lnx ? ax ? 有两个极值点,则实数 a 的 取值范围是. 18.在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M 是 A1D1 的中点,点 P 在侧面 BCC1B1 上运动.现有下列命题 : ①若点 P 总保持 PA⊥BD1,则动点 P 的轨迹所在曲线是直线; ②若点 P 到点 A 的距离为 ,则动点 P 的轨迹所在曲线是圆;

③若 P 满足∠MAP=∠MAC1,则动点 P 的轨迹所在曲线是椭圆; ④若 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离比为 1:2,则动点 P 的轨迹所在曲线是双曲线; ⑤若 P 到直线 AD 与直线 CC1 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在曲线是抛物丝. 其中真命题是      (写出所有真命题的序号)

   

三、解答题
19.已知函数 f(x)=x﹣alnx(a∈R) (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程; (2)求函数 f(x)的极值.

20.设 p:实数 x 满足 x2﹣4ax+3a2<0,q:实数 x 满足|x﹣3|<1. (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若其中 a>0 且¬p 是¬q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

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21.已知复数 z1 满足(z1﹣2)(1+i)=1﹣i(i 为虚数单位) ,复数 z2 的虚部为 2,且 z1z2 是实数,求 z2.  

22.已知椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率为

,且 a2=2b.

(1)求椭圆的方程; (2)直线 l:x﹣y+m=0 与椭圆交于 A,B 两点,是否存在实数 m,使线段 AB 的中点在圆 x2+y2=5 上,若存 在,求出 m 的值;若不存在,说明理由.

23.(本小题满分 10 分)选修 4?1:几何证明选讲. 如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,BC 交⊙O 于 E, 过E的 (1)求证:CD=DA; (2)若 CE=1,AB= 2,求 DE 的长. 切线与 AC 交于 D.

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24.设 f(x)=x2﹣ax+2.当 x∈,使得关于 x 的方程 f(x)﹣tf(2a)=0 有三个不相等的实数根,求实数 t 的 取值范围.  

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安乡县第二高级中学 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:∵点(1,﹣1)在曲线上,y′=3x2﹣6x, ∴y′|x=1=﹣3,即切线斜率为﹣3. ∴利用点斜式,切线方程为 y+1=﹣3(x﹣1),即 y=﹣3x+2. 故选 B. 【点评】考查导数的几何意义,该题比较容易.   2. 【答案】C 【解析】解:f(x)=ex+x﹣4, f(﹣1)=e﹣1﹣1﹣4<0, f(0)=e0+0﹣4<0, f(1)=e1+1﹣4<0, f(2)=e2+2﹣4>0, f(3)=e3+3﹣4>0, ∵f(1)?f(2)<0, ∴由零点判定定理可知,函数的零点在(1,2). 故选:C.   3. 【答案】B 【解析】解:设△AF1F2 的内切圆半径为 r,则 S△IAF1= |AF1|r,S△IAF2= |AF2|r,S△IF1F2= |F1F2|r, ∵ ∴ |AF1|r=2 × |F1F2|r﹣ |AF2|r, |F1F2|.∴a=2 = . , ,

整理,得|AF1|+|AF2|=2 ∴椭圆的离心率 e= = 故选:B.   4. 【答案】A

【解析】解:∵a=0.50.5,c=0.50.2,

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∴0<a<c<1,b=20.5>1, ∴b>c>a, 故选:A.   5. 【答案】C 【解析】解:f(x)=x2﹣2x+3=(x﹣1)2+2,对称轴为 x=1. 所以当 x=1 时,函数的最小值为 2. 当 x=0 时,f(0)=3. 由 f(x)=3 得 x2﹣2x+3=3,即 x2﹣2x=0,解得 x=0 或 x=2. ∴要使函数 f(x)=x2﹣2x+3 在[0,a]上有最大值 3,最小值 2,则 1≤a≤2. 故选 C. 【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质,利用配方法是解决二次 函数的基本方法.   6. 【答案】B 【解析】解:∵在等差数列{an}中,a1+a2+a3=﹣24,a10+a11+a12=78, ∴3a2=﹣24,3a11=78,解得 a2=﹣8,a11=26, ∴此数列前 12 项和 =6×18=108, 故选 B. 【点评】本题考查了等差数列的前 n 项和公式,以及等差数列的性质,属于基础题.   7. 【答案】C 【解析】 试题分析:由题意得,根据一次函数的单调性可知,函数 f ? x ? ? 2 ? a =

?

2

? x ? a 在区间 ?0,1? 上恒正,则

?a ? 0 ? f (0) ? 0 ,即 ? ,解得 0 ? a ? 2 ,故选 C. ? 2 2 ? a ? a ? 0 ? f (1) ? 0 ?
考点:函数的单调性的应用. 8. 【答案】 A 【解析】解:∵|BC|=1,点 B 的坐标为( 又∠AOC=α,∴∠AOB= ∴sin( ﹣α)= . ﹣α,∴cos( ,﹣ ﹣α)= ),故|OB|=1,∴△BOC 为等边三角形,∴∠BOC= ,﹣sin( ﹣α)=﹣ , ,

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∴cosα=cos[ = +

﹣( = ﹣( = ﹣sin ﹣

﹣α)]=cos , ﹣α)]=sin . cos ﹣ = =

cos(

﹣α)+sin

sin(

﹣α )

∴sinα=sin[ = ∴ = 故选:A. ﹣ cos2

cos(

﹣α)﹣cos

sin(

﹣α )

(2cos2 ,

﹣1)﹣ sinα=

cosα﹣ sinα

【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,三角恒等变换,属于中档题.   9. 【答案】D 【解析】解:设回归直线方程为 ∵样本点的中心为(4,5), ∴5=1.23×4+a ∴a=0.08 ∴回归直线方程为 故选 D. 【点评】本题考查线性回归方程,考查学生的计算能力,属于基础题.   10.【答案】C 【解析】解:对于 A、B,是两个集合的关系,不能用元素与集合的关系表示,所以不正确; 对于 C,0 是集合中的一个元素,表述正确. 对于 D,是元素与集合的关系,错用集合的关系,所以不正确. 故选 C 【点评】本题考查运算与集合的关系,集合与集合的关系,考查基本知识的应用   11.【答案】C 【解析】解:由已知可得:该几何体是一个四棱锥, 侧高和底面的棱长均为 2, 故此几何体的表面积 S=2×2+4× ×2×2=12cm2, 故选:C. =1.23x+0.08 =1.23x+a

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【点评】本题考查的知识点是棱柱、棱锥、棱台的体积和表面积,空间几何体的三视图,根据已知判断几何体 的形状是解答的关键.   12.【答案】D 【解析】 试题分析:根据已满治安的概念可得直线 AA1 , A1 B1 , A1 D1 都和直线 EF 为异面直线, B1C1 和 EF 在同一个平 面内,且这两条直线不平行;所以直线 B1C1 和 EF 相交,故选 D. 考点:异面直线的概念与判断.

二、填空题
13.【答案】 【

8 9
解 析 】

【易错点睛】古典概型的两种破题方法:(1)树状图是进行列举的一种常用方法,适合于有顺序的问题及较 复杂问题中基本事件数的探求.另外在确定基本事件时, ( x, y ) 可以看成是有序的,如 ?1, 2 ? 与 ? 2,1? 不同;有 时也可以看成是无序的,如 (1,2)(2,1) 相同.(2)含有“至多” 、“至少”等类型的概率问题,从正面突破比 较困难或者比较繁琐时,考虑其反面,即对立事件,应用 P ( A) ? 1 ? P ( A) 求解较好. 14.【答案】   . 【解析】解:方法一:由题意,第 1 次摸出红球,由于不放回,所以袋中还有 5 个不同的红球和 4 个不同的白 球 故在第 1 次摸出红球的条件下,第 2 次摸出的也是红球的概率为 方法二:先求出“第一次摸到红球”的概率为:P1= , = ,

设“在第一次摸出红球的条件下,第二次也摸到红球”的概率是 P2 再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为 P= 根据条件概率公式,得:P2= = , = ,

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故答案为: 【点评】本题考查了概率的计算方法,主要是考查了条件概率与独立事件的理解,属于中档题.看准确事件之 间的联系,正确运用公式,是解决本题的关键.   15.【答案】①② 【解析】 试题分析:子集的个数是 2 ,故①正确.根据奇函数的定义知②正确.对于③ f ? x ? ? 4 x ? 1 为偶函数,故错误.
n

2

对于④ x ? 0 没有对应,故不是映射.对于⑤减区间要分成两段,故错误. 考点:子集,函数的奇偶性与单调性. 【思路点晴】集合子集的个数由集合的元素个数来决定,一个个元素的集合,它的子集的个数是 2 个;对于 奇函数来说,如果在 x ? 0 处有定义,那么一定有 f ? 0 ? ? 0 ,偶函数没有这个性质;函数的奇偶性判断主要 根据定义 f ? ? x ? ? f ? x ? , f ? ? x ? ? ? f ? x ? ,注意判断定义域是否关于原点对称.映射必须集合 A 中任意一个 元素在集合 B 中都有唯一确定的数和它对应;函数的定义域和单调区间要区分清楚,不要随意写并集.1 16.【答案】 x ? y ? 2 ? 0 【解析】解析: 设 M ( x1 , y1 )、N ( x2 , y2 ) ,那么 | MF | ? | NF |? x1 ? x2 ? 2 ? 10 , x1 ? x2 ? 8 ,∴线段 MN 的中点坐标为 (4, 2) .由 y1 ? 4 x1 , y2 ? 4 x2 两式相减得 ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 4( x1 ? x2 ) ,而
2 2
n

y1 ? y2 ? 1 ,∴直线 MN 的方程为 y ? 2 ? x ? 4 ,即 x ? y ? 2 ? 0 . x1 ? x2
17.【答案】 .

y1 ? y2 ? 2 ,∴ 2

【解析】由题意,y′=lnx+1?2mx 令 f′(x)=lnx?2mx+1=0 得 lnx=2mx?1, 函数 f ? x ? ? x ? lnx ? mx ? 有两个极值点,等价于 f′(x)=lnx?2mx+1 有两个零点, 等价于函数 y=lnx 与 y=2mx?1 的图象有两个交点,

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1 时,直线 y=2mx?1 与 y=lnx 的图象相切, 2 1 由图可知,当 0<m< 时,y=lnx 与 y=2mx?1 的图象有两个交点, 2 1 则实数 m 的取值范围是(0, ), 2 1 故答案为:(0, ). 2
当 m= 18.【答案】 ①②④  【解析】解:对于①,∵BD1⊥面 AB1C,∴动点 P 的轨迹所在曲线是直线 B1C,①正确; 对于②,满足到点 A 的距离为 正确; 对于③,满足条件∠MAP=∠MAC1 的点 P 应为以 AM 为轴,以 AC1 为母线的圆锥,平面 BB1C1C 是一个与 轴 AM 平行的平面, 又点 P 在 BB1C1C 所在的平面上,故 P 点轨迹所在曲线是双曲线一支,③错误; 对于④,P 到直线 C1D1 的距离,即到点 C1 的距离与到直线 BC 的距离比为 2:1, ∴动点 P 的轨迹所在曲线是以 C1 为焦点,以直线 BC 为准线的双曲线,④正确; 对于⑤,如图建立空间直角坐标系,作 PE⊥BC,EF⊥AD,PG⊥CC1,连接 PF, 设点 P 坐标为(x,y,0),由|PF|=|PG|,得 ∴P 点轨迹所在曲线是双曲线,⑤错误. 故答案为:①②④. ,即 x2﹣y2=1, 的点集是球,∴点 P 应为平面截球体所得截痕,即轨迹所在曲线为圆,②

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【点评】本题考查了命题的真假判断与应用,考查了圆锥曲线的定义和方方程,考查了学生的空间想象能力和 思维能力,是中档题.  

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞), (1)当 a=2 时,f(x)=x﹣2lnx, 因而 f(1)=1,f′(1)=﹣1, 所以曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程为 y﹣1=﹣(x﹣1), 即 x+y﹣2=0 (2)由 ,x>0 知: , .

①当 a≤0 时,f′(x)>0,函数 f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数 f(x)无极值; ②当 a>0 时,由 f′(x)=0,解得 x=a. 又当 x∈(0,a)时,f′(x)<0,当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0. 从而函数 f(x)在 x=a 处取得极小值,且极小值为 f(a)=a﹣alna,无极大值. 综上,当 a≤0 时,函数 f(x)无极值; 当 a>0 时,函数 f(x)在 x=a 处取得极小值 a﹣alna,无极大值.   20.【答案】 【解析】解:(1)由 x2﹣4ax+3a2<0 得(x﹣3a)(x﹣a)<0 当 a=1 时,1<x<3,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1<x<3. 由|x﹣3|<1,得﹣1<x﹣3<1,得 2<x<4 即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2<x<4,

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若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真, ∴实数 x 的取值范围是 2<x<3. (2)由 x2﹣4ax+3a2<0 得(x﹣3a)(x﹣a)<0, 若¬p 是¬q 的充分不必要条件, 则¬p?¬q,且¬q?¬p, 设 A={x|¬p},B={x|¬q},则 A?B, 又 A={x|¬p}={x|x≤a 或 x≥3a}, B={x|¬q}={x|x≥4 或 x≤2}, 则 0<a≤2,且 3a≥4 ∴实数 a 的取值范围是   21.【答案】 【解析】解: ∴z1=2﹣i 设 z2=a+2i(a∈R) ∴z1z2=(2﹣i)(a+2i)=(2a+2)+(4﹣a)i ∵z1z2 是实数 ∴4﹣a=0 解得 a=4 所以 z2=4+2i 【点评】本题考查复数的除法、乘法运算法则、考查复数为实数的充要条件是虚部为 0.   22.【答案】 【解析】解:(1)由题意得 e= 解得 a= ,b=c=1 =1; = ,a2=2b,a2﹣b2=c2, .

故椭圆的方程为 x2+

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 线段 AB 的中点为 M(x0,y0). 联立直线 y=x+m 与椭圆的方程得, 即 3x2+2mx+m2﹣2=0, △=(2m)2﹣4×3×(m2﹣2)>0,即 m2<3, x1+x2=﹣ ,

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所以 x0= 即 M(﹣ 可得(﹣ ,
)2+(

=﹣

,y0=x0+m=



).又因为 M 点在圆 x2+y2=5 上, )2=5,

解得 m=±3 与 m2<3 矛盾. 故实数 m 不存在. 【点评】本题考查椭圆的方程的求法,注意运用离心率公式,考查直线和椭圆方程联立,运用韦达定理和中点 坐标公式,考查存在性问题的解法,属于中档题.   23.【答案】 【解析】解:(1)证明:

如图,连接 AE, ∵AB 是⊙O 的直径, AC,DE 均为⊙O 的切线, ∴∠AEC=∠AEB=90°, ∠DAE=∠DEA=∠B, ∴DA=DE. ∠C=90°-∠B=90°-∠DEA=∠DEC, ∴DC=DE, ∴CD=DA. (2)∵CA 是⊙O 的切线,AB 是直径, ∴∠CAB=90°, 由勾股定理得 CA2=CB2-AB2, 又 CA2=CE×CB,CE=1,AB= 2, ∴1·CB=CB2-2, 即 CB2-CB-2=0,解得 CB=2, ∴CA2=1×2=2,∴CA= 2. 由(1)知 DE=1CA= 2, 2 2

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所以 DE 的长为 2. 2 24.【答案】   【解析】设 f(x)=x2﹣ax+2.当 x∈,则 t= ∴对称轴 m= ∴ ∈(0, ],且开口向下; ,此时 x=9 . ,

时,t 取得最小值

∴税率 t 的最小值为

【点评】 此题是个指数函数的综合题, 但在求解的过程中也用到了构造函数的思想及二次函数在定义域内求最 值的知识.考查的知识全面而到位!

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