湖北省黄冈中学2014届高三数学上学期期末考试试题 理 新人教A版_图文

湖北省黄冈中学 2013 年秋季高三数学(理)期末考试
考试时间:2014 年 1 月 20 日下午 14:30—16:30 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页。全卷满分150分,考试时间120 分钟. ★★★ 祝考试顺利 ★★★ 第Ⅰ卷(选择题,共50分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.复数 A. 1

2a ? i 2013 ) ? i (i 是虚数单位)为纯虚数,则实数 a 的值为( 1 ? 2i 1 1 B. ?1 C. D. ? 4 4

2.已知 b, c 是平面 ? 内的两条直线,则“直线 a ? ? ”是“直线 a ? b 且直线 a ? c ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.某空间组合体的三视图如图所示,则该组合体的体积为( ) A.48 B.56 C.64 D.72
第 3 题图

4.设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 b cos C ?ccos B ?asin A ,则 ?ABC 的形状为( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 5.如果若干个函数的图像经过平移后能够重合,则称这些函数为“同簇函数” .给出下列函 数: ① f ( x) ? sin x cos x ;② f ( x) ? 2sin( x ? ③ f ( x) ? sin x ? 3 cos x ;④ f ( x) ? A.①② B.①④

?
4

);


2 sin 2 x ? 1 .其中“同簇函数”的是(
C.②③ D.③④
2

6.已知 f ( x) 是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数,且当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? log 1 (1 ? x) ,则

f (?

2011 ) =( 4

) B.

A. ?2

1 2

C. 1

D. 2

-1-

7.双曲线

x2 2 ? y 2 ? 1 的一条渐近线与圆 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 2 相交于 M , N 两点,且 MN ? 2 , a


则此双曲线的离心率为( A. 3 B.

2 3 3
?3 ?5 1? 5?

C.

3 3 2

D. 3

8. 已知 A(2,1) , 动点 P(a, b) 满足 0 ? OP ? OA ? 2 且 0 ? OP ? OB ? 2 , C ? ,? ?, B(1, ?2) , 则点 P 到点 C 的距离大于 A. 1 ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

1 的概率为( 4
C. 1 ?
2



5 ? 64

B.

5 ? 64
? ?

?
16

D.

? 16

9.已知数列 ? an ? 的通项 an ? n ? cos A. 1840 B. 1880

2

n? n? ? ? sin 2 ? ,其前 n 项和为 S n ,则 S60 ? ( ) 3 3 ?
D. 1980

C. 1960

1? x 10.已知函数 f ( x) ? ? 2 ? a ?? x ? 1? ? 2 ln x , g ( x) ? xe ( a ? R , e 为自然对数的底数),若

对任意给定的 x0 ? ? 0, e? ,在 ? 0, e ? 上总存在两个不同的 xi ( i ? 1, 2 ) ,使得 f ? xi ? ? g ? x0 ? 成 立,则 a 的取值范围是( A. ? -?, )

? ?

2e ? 5 ? ? e ?1 ?

B. ? ??,

? ?

2e ? 2 ? ? e ?

C. ?

? 2e ? 2 ? , 2? ? e ?

, D. ? ? e ?1

? 2e ? 5 2e ? 2 ? ? e ?

第Ⅱ卷(非选择题,共100分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. (一)必考题(11—14 题) 11.已知集合 A ? x|x ? 5 x ? 6 ? 0 , B ? x | x ? 2 ,则 A ? ? CR B ? =___________.
2

?

?

?

?

1 1 , x ? 2 ,曲线 y ? 及 x 轴所围图形的面积为___________. 2 x ? ? ? ? ? ? ? 2 13.已知 a ? 2 b ? 0 ,且关于 x 的方程 x ? a x ? a ? b ? 0 有实根,则 a 与 b 的夹角的取值
12.由直线 x ? 范围是___________. 14.如图,有一个形如六边形的点阵,它的中心是一个点(算第 层 ) , ..1 . . 第 2 层每边有两个点,第 3 层每边有三个点,依次类推. (1)试问第 n 层 n ? N 且n ? 2 的点数为___________个; (2)如果一个六边形点阵共有 169 个点,那么它一共有___________层. (二)选考题(请考生在 15、16 两题中任选一题作答.如果全选,则按第 15 题作答结果计 分) 15. (选修 4—1:几何证明选讲)
-2第 14 题图

?

?

?

如图所示,EB, EC 是圆 O 的两条切线,B, C 是切点,A, D 是圆 O 上 两点, 如果 ?E ? 46 ,?DCF ? 32 , 则 ?A 的度数是___________. 16. (选修 4—4:坐标系与参数方程)
第 15 题图
? ?

? ?? 在极坐标系中,过点 P ?18, ? 引圆 ? ? 10sin? 的两条切线 PA, PB ,切点分别为 A, B ,则 2? ?
线段 AB 的长为___________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 . 已 知 函 数

?? ?? ? x f ( x) ? m ? n , 其 中 m ? s i? n?

?

? c o x s

x 3 ?,? ,

c o s

(1)求 ? 的取值范围;

? ? n ? ? cos ? x ? sin ? x, 2sin ? x ? , ? ? 0 , f ( x) 的相邻两条对称轴间的距离大于等于 . 2

(2)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边依次为 a, b, c , a ? 3, b ? c ? 3 ,当 ? 的值最大时,

f ? A ? ? 1 ,求 ?ABC 的面积.

18.如图所示,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为 2 米的无盖 长方体沉淀箱,污水 .. 从 A 孔流入,经沉淀后从 B 孔流出,设箱体的长度为 a 米,高度为 b 米.已知流出的水中该杂 质的质量分数与 a, b 的乘积 ab 成反比,现有制箱材料 60 平方 米. (注:制箱材料必须用完) (1)求出 a, b 满足的关系式; (2)问当 a, b 各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分 数最小(A、B 孔的面积忽略不计) ?
a 第 18 题图 A BA

b 2

19. 如图所示,四边形 PDCE 为矩形,四边形 ABCD 为梯形,平面 PDCE ? 平面 ABCD ,

1 ?BAD ? ?ADC ? 90? , AB ? AD ? CD ? a, PD ? 2a . 2 (1) 若 M 为 PA 中点,求证: AC // 平面 MDE ; (2) 求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的大小.

-3-

?1 a (n为偶数) ? ?2 n a ?? 1 1 20.设数列 ? an ? 的首项 a1 ? ,且 n ?1 ,记 bn ? a2 n ?1 ? (n ? N ? ) . 1 ? an ? (n为奇数) 2 4 ? ? 4

(1)求 a2 , a3 ; (2)证明: ?bn ? 是等比数列; (3)求数列 ?

? 3n ? 1 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn ?

21.如图,椭圆 C1 :

x2 y 2 3 , x 轴被曲线 C2 : y ? x2 ? b 截得的线 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

段长等于 C1 的长半轴长. (1)求 C1 , C2 的方程; (2)设 C2 与 y 轴的交点为 M,过坐标原点 O 的直线

l 与 C2 相交于点 A,B,直线 MA,MB 分别与 C1 相交与
D,E. (i)证明: MA ? MB ; (ii)记△MAB,△MDE 的面积分别是 S1 , S 2 .问:是否 存在直线 l ,使得

S1 17 = ?请说明理由. S 2 32

1 ? ln x . x 1? ? (1)若函数在区间 ? a, a ? ? (其中 a ? 0 )上存在极值,求实数 a 的取值范围; 2? ? k (2)如果当 x ? 1时,不等式 f ( x) ? 恒成立,求实数 k 的取值范围; x ?1
22.已知函数 f ( x) ?
n?2 n? N? . (3)求证: ? ?? n ? 1? !? ? ? ? n ? 1? ? e 2

?

?

-4-

湖北省黄冈中学 2013 年秋季高三数学(理)期末考试参考答案(附评分细则) 一、选择题 序号 答案 二、填空题 11. ? 2, 6 ? 14.(1) 6 ? n ? 1? 12. 2ln 2 (2) 8
?? ? 13. ? , ? ? ?3 ?

1 D

2 A

3 C

4 A

5 C

6 D

7 B

8 A

9 A

10 A

15. 99?

16.

120 13

8 .动点 P(a, b) 满足的不等式组为 ?

?0 ? 2 a ? b ? 2 ,画出可行域可知 P 的运动区域为以 ?0 ? a ? 2b ? 2

2 5 1 ?3 1? 的正方形,而点 P 到点 C 的距离小于或等于 的区域是以 C ? , ? ? 为中心且边长为 5 4 ?5 5?
2 ?2 5? ?1? ? ? ?? ? ? 5 ? ?4? 1 5 ?3 1? ? C ? , ? ? 为圆心且半径为 的圆以及圆的内部,所以 P ? ? 1? ? 2 64 4 ?5 5? ?2 5? ? ? ? 5 ? 2

9. an ? n ? cos
2

? ?

2

n? n? ? 2n? 2 ? sin 2 , ? ? n cos 3 3 ? 3

1 1 5 2 2 2 ? 3k ? 2 ? ? ? 3k ? 1? ? ? 3k ? ? 9k ? ,其中 k ? N ? 2 2 2 5 所以 S60 ? 9 ?1 ? 2 ? ??? ? 20 ? ? ? 20 ? 1890 ? 50 ? 1840 2
所以 a3k ?2 ? a3k ?1 ? a3k ? ? 10.易得函数 g ( x) 在 ? 0, e ? 上的值域为 ? 0,1?

f ' ( x) ? 2 ? a ?

2 ? x

?2 ? a?? ?x?
? x

2 ? ? 2?a ?

, x ? ? 0, e?

当x?

2 2 2 ? 2 ? ' 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 在 x ? 处取得最小值 f ? ? ? a ? 2 ln 2?a 2?a 2?a ? 2?a ? 2 2e ? 2 ? e ,解得 a ? 2?a e

由题意知, f ( x) 在 ? 0, e ? 上不单调,所以 0 ?

所 以 对 任 意 给 定 的 x0 ? ? 0, e? , 在 ? 0, e ? 上 总 存 在 两 个 不 同 的 xi ( i ? 1, 2 ) ,使得

-5-

? 2 ? f ? xi ? ? g ? x0 ? 成立,当且仅当 a 满足条件 f ? ? ? 0 且 f ?e? ? 1 ? 2?a ?
因为 f (1) ? 0 ,所以 f ?

2e ? 5 ? 2 ? ? ? 0 恒成立,由 f ? e ? ? 1 解得 a ? e ?1 ? 2?a ?
? ? 2e ? 5 ? e ?1 ? ?

综上所述, a 的取值范围是 ? ??,

14. 观察图形, 可以看出, 第一层是 1 个点, 其余各层的点数都是 6 的倍数且倍数比层数少 1, 所以: (1)第 n 层的点数为 6 ? n ? 1? (n ? 2) ; (2) n 层六边形点阵的总点数为 1 ? 6 ? ?1 ? 2 ? ??? ? n ? 1? = 1 ? 3n ? n ? 1? 令 1 ? 3n ? n ? 1? ? 169 解得 n ? ?7 (舍去)或 n ? 8 三、解答题 17.解: (1) f ( x) ? m ? n ? cos ? x ? sin ? x ? 2 3 cos ? x sin ? x
2 2

所以 n ? 8

?? ?

= cos 2? x ? 3 sin 2? x = 2sin ? 2? x ?

? ?

??

? ----------------------------3 分 6?

因为 ? ? 0 ,所以函数 f ( x) 的周期 T ? 由题意可知

T ? ? ? ,即 T ? ? , ? ? ----------------------------5 分 2 2 ? 解得 0 ? ? ? 1 -----------------------------6 分
(2)由(1)可知 ? 的最大值为 1,所以 f ( x) ? 2sin ? 2 x ?

2? ? ? 2? ?

? ?

??
? 6?

因为 f ( A) ? 1,所以 sin ? 2 A ?

? ?

??

1 ? ? ----------------------------7 分 6? 2

而 2A ?
2

?

? 5? ? ? ? 13? ? ?? , ,所以 A ? -------------------------9 分 ? ,所以 2 A ? ? 6 ?6 6 ? 6 6 3
2 2 2 2

而 b ? c ? 2bc cos A ? a ,所以 b ? c ? bc ? 3

① 而 ? b ? c ? ? b ? c ? 2bc ? 9 ②
2 2 2

联立①②解得: bc ? 2 -------------------------11 分 所以 S ?ABC ?

1 3 bc sin A ? -------------------------12 分 2 2

-6-

18.解: (1)由题意可得 ?

? 2a ? 4b ? 2ab ? 60 ?a ? 2b ?ab ? 30 ,即 ? ------------------------6 分 ? a ? 0, b ? 0 ?a ? 0, b ?0

注:若没写 a ? 0, b ? 0 ,扣两分,少写一个扣 1 分 (2)因为该杂质的质量分数与 a, b 的乘积 ab 成反比,所以当 ab 最大时,该杂质的质量分数 最小 由均值不等式得 a ? 2b ? 2 a ? 2b (当且仅当 a ? 2b 时取等号) 所以 a ? 2b ? ab ? ab ? 2 2ab , 即 ab ? 2 2ab ? 30 (当且仅当 a ? 2b 时取等号) -----------------------8 分 即

?

ab ? 5 2

??

ab ? 3 2 ? 0 ,

?

因为 ab ? 0 ,所以 ab ? 3 2 ,所以 ab ? 18 -----------------------10 分 所以当且仅当 ?

? ? a ? 2b ?a ? 6 ? m ? 即? 时, ab 取得最大值 18,此时该杂质的质量分数最小 ? ab ? 18 ? ?b ? 3 ? m ?
------------------12 分

19.

-7-

20.解: (1) a2 ? a1 ? (2)证明: 因为 bn ? a2 n ?1 ?

1 3 1 3 ? , a3 ? a2 ? 4 4 2 8
------------------2 分

1 1 1 1? 1? 1 1? 1? 1 ,所以 bn ?1 ? a2 n ?1 ? ? a2 n ? ? ? a2 n ?1 ? ? ? ? ? a2 n ?1 ? ? 4 2 4 2? 4? 4 2? 4? 4
-----------------5 分

即 bn ?1 ?

1 bn ,------------------6 分 2
-8-

而 b1 ? a1 ?

1 1 1 1 ? ? 0 ,所以 ?bn ? 是以 为首项,公比为 的等比数列-----------7 分 4 4 4 2

注:若没写 b1 ? 0 ,扣一分

?1? (3) bn ? b1 ? ? ?2?

n ?1

?1? ?? ? ?2?
2

n ?1

,所以
3

3n ? 1 n ?1 = ? 3n ? 1? 2 bn
n ?1

所以 Tn ? ? 3 ?1 ? 1? 2 ? ? 3 ? 2 ? 1? 2 ? ??? ? ? 3n ? 1? 2

2Tn ? ? 3 ?1 ? 1? 23 ? ? 3 ? 2 ? 1? 24 ? ??? ? ? 3n ? 2 ? 2n ?1 ? ? 3n ? 1? 2n ? 2 --------8 分
两式相减得: Tn ? ? 3n ? 1? 2 即 Tn ? ? 3n ? 2 ? 2
n?2
n?2

? 3 ? 23 ? 2 4 ? ??? ? 2 n ?1 ? ? 16 --------10 分
--------12 分

?8

21.解: (1)由题意知 e ?

c 3 ? ,从而 a ? 2b ,又 2 b ? a ,解得 a ? 2, b ? 1 。 a 2

x2 故 C1 , C2 的方程分别为 ? y 2 ? 1, y ? x 2 ? 1 -------------------------4 分 4
(2) (i)由题意知,直线 l 的斜率存在,设为 k ,则直线 l 的方程为 y ? kx . 由?

? y ? kx ? y ? x ?1
2

得 x ? kx ? 1 ? 0 ,
2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 , x2 是上述方程的两个实根, 于是 x1 ? x2 ? k , x1 x2 ? ?1 -------------------------5 分 又点 M 的坐标为 (0, ?1) ,所以

kMA ? kMB ?

y1 ? 1 y2 ? 1 (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) ? ? x1 x2 x1 x2

k 2 x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ?k 2 ? k 2 ? 1 ? ? ? ?1 -------------------------7 分 x1 x2 ?1
故 MA ? MB ,得证 (ii)设直线的斜率为 k1 ,则直线的方程为 y ? k1 x ? 1 ,由 ?

? y ? k1 x ? 1 ? y ? x ?1
2

解得 ?

?x ? 0 或 ? y ? ?1

-9-

? x ? k1 2 ,则点 A 的坐标为 ( k1 , k1 ? 1) ? 2 ? y ? k1 ? 1
又直线 MB 的斜率为 ? 于是

1 1 1 ,同理可得点 B 的坐标为 (? , 2 ? 1) . k1 k1 k1

S1 ?

1 1 1 1 1 ? k12 | MA | ? | MB |? 1 ? k12 ? | k1 | ? 1 ? 2 ? | ? |? . ----------------------8 分 2 2 k1 k1 2 | k1 |
得 (1 ? 4k1 ) x ? 8k1 x ? 0 ,
2 2

由?

? y ? k1 x ? 1 ?x ? 4 y ? 4 ? 0
2 2

8k1 ? x? ? 1 ? 4k12 ?x ? 0 8k1 4k12 ? 1 ? , ); 解得 ? 或? ,则点 D 的坐标为 ( 2 1 ? 4k12 1 ? 4k12 ? y ? ?1 ? y ? 4k1 ? 1 ? 1 ? 4k12 ?
又直线的斜率为 ?

?8k1 4 ? k12 1 , ) ,同理可得点 E 的坐标 ( 4 ? k12 4 ? k12 k1

于是 S 2 ?

32(1 ? k12 )? | k1 | 1 | MD | ? | ME |? ----------------------10 分 2 (1 ? 4k12 )(4 ? k12 )

因此

S1 1 1 ? (4k12 ? 2 ? 17) ---------------------12 分 S2 64 k1 1 1 17 1 2 2 (4k12 ? 2 ? 17) ? 解得 k1 ? 4 或 k1 ? 。----------------------12 64 k1 32 4

由题意知, 分

1 k12 1 3 ? k1 ? ,所以 k ? ? . 又由点 A, B 的坐标可知, k ? 1 k1 2 k1 ? k1 k12 ?
故满足条件的直线 l 存在,且有两条,其方程分别为 y ? 分 22.解: (1) 因为 f ( x) ? 分
- 10 -

3 3 x 和 y ? ? x 。-------------13 2 2

1 ? ln x x

,x ? 0 , 则 f ?( x) ? ?

ln x , ----------------------------1 x

当 0 ? x ? 1时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 . 所以 f ( x) 在(0,1)上单调递增;在 (1, ??) 上单调递减, 所 以 函 数 在 处 取 得 f ( x) x ?1 值. ----------------------------------------------------- ---2 分 1 因为函数 f ( x) 在区间 (a, a ? ) (其中 a ? 0 )上存在极值, 2 所 以
?a ? 1 ? , ? 1 a ? ?1 ? ? 2









1 ? a ? 1. 2

-----------------------------------------------------------------4 分 (2)不等式 f ( x) ? 即为
k , x ?1

( x ? 1)(1 ? ln x) ( x ? 1)(1 ? ln x) ? k , 记 g ( x) ? , x x

g ?( x) ?

[( x ? 1)(1 ? ln x)]? x ? ( x ? 1)(1 ? ln x) x ? ln x ? , -----------------------------------x2 x2
1 x

-----------6 分 令 h( x) ? x ? ln x, 则 h?( x) ? 1 ? ,? x ? 1,? h?( x) ? 0.
? h( x) 在 [1, ??) 上单调递增,?[h( x)]min ? h(1) ? 1 ? 0 ,

从而 g ?( x) ? 0
?[ g ( x)]min ? g (1) ? 2 ,所以 k ? 2

故 g ( x ) 在 [1, ??) 上也单调递增, -------------------------------8 分
2 x ?1 2 2 恒成立,即 ln x ? ? 1? ? 1? , x ?1 x ?1 x ?1 x

(3)由(2)知: f ( x) ? 令
x ? n(n ? 1)





l n n?

? n ?

2 n( n ?

[

1

,(

)

1

-------------------------------------------------------10 分 2 所以 ln(1? 2) ? 1 ? , 1? 2
ln(2 ? 3) ? 1 ?
ln(3 ? 4) ? 1 ?

2 , 2?3
2 , 3? 4
2 . n(n ? 1)

???? ??
ln[n(n ? 1)] ? 1 ?

1 1 1 ] 叠加得: ln[1? 22 ? 32 ? ? n2 ? (n ? 1)] ? n ? 2[ ? ?? n(n ? 1) 1? 2 2 ? 3

? n ? 2(1 ?

1 1 ) ? n?2? ? n ? 2 --------------------------------------------------n ?1 n ?1
1? 22 ? 32 ?

---------------12 分 则 ?

?n 2 ? ? n ? 1? ? en ? 2







? (n ? ! ?1 ? )
2

?2 ?n ? n( e ?N 1 ? )n

(

)

- 11 -

---------------------------------------------------------------------14 分

- 12 -


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