河北省邯郸市2015届高三上学期期末数学试卷(理科)

河北省邯郸市 2015 届高三上学期期末数学试卷(理科)
一.选择题 2 1. (3 分)已知集合 A={x|x ﹣16<0}, B={﹣5,0,1},则() A.A∩B=? B.B?A C.A∩B={0,1} 2. (3 分)已知 i 是虚数单位,则复数 z= A.0 B. i 的虚部是() C . ﹣i D.1

D.A?B

3. (3 分)已知双曲线 () A.



=1(a>0,b>0)的一条渐近线为 y=﹣

x,则它的离心率为

B.

C.

D.

4. (3 分)设 , 是两 个非零向量,则“ ? <0”是“ , 夹角为钝角”的() A.充分不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5. (3 分)执行如图所示的程序框图,若输出 s 的值为 16,那么输入的 n 值等于()

A.5

B. 6

C. 7

D.8

6. (3 分)已知在平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组

给定.若 M(x,y)

为 D 上的动点,点 A 的坐标为(2,1) ,则 z= A.﹣5 B . ﹣1

?

的最大值为() D.0

C. 1

7. (3 分) 如图, 在底面边长为 a 的正方形的四棱锥 P﹣ABCD 中, 已知 PA⊥平面 AC, 且 PA=a, 则直线 PB 与平面 PCD 所成的角的余弦值为()

A.

B.

C.
2

D.

8. (3 分)已知 Ω={(x,y)||x|≤1,|y|≤1},A 是由曲线 y=x 与 y=x 围成的封闭区域,若向 Ω 上随机投一点 p,则点 p 落入区域 A 的概率为() A. B. C. D.

9. (3 分)下列三个数:a=ln A.a>c>b B.a>b>c

,b=lnπ﹣π,c=ln3﹣3,大小顺序正确的是() C.b>c>a D.b>a>c

10. (3 分)已知等差数列{an}中,a1=1,前 10 项的和等 于前 5 的和,若 am+a6=0,则 m=() A.10 B. 9 C. 8 D.2 11. (3 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()

A.10

B.20

C.40

D.60

12. (3 分)已知函数 y=f(x)是定义域为 R 的偶函数.当 x≥0 时,f(x)
2

=

若关于 x 的方程 +af(x)+b=0(a,b∈R) ,有且仅有 6 个不

同实数根,则实数 a 的取值范围是()

A.(﹣ ,﹣ ) C. (﹣ ,﹣ )∪(﹣ ,﹣1)

B. (﹣ ,﹣1) D.(﹣ ,﹣1)

二、填空题 13. (3 分)如图,正六边形 ABCDEF 的边长为 ,则 =

14. (3 分)已知 x,y∈(0,+∞) ,
2 2

,则

的最小值为.

15. (3 分)已知圆 C:x +y =4,过点 A(2,3)作 C 的切线,切点分别为 P,Q,则直线 PQ 的方程为. 16. (3 分)如图,在 Rt△ ABC 中,∠A=90°,D 是 AC 上一点,E 是 BC 上一点,若 AB= BD, CE= EB,∠BDE=120°,CD=3,则 BC=.

三.解答题 17. (10 分)等差数列{an}中,a1=﹣1,公差 d≠0 且 a2,a3,a6 成等比数列,前 n 项的和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; (2)设 bn= ,Tn=b1+b2+…+bn,求 Tn.

18. (12 分)已知函数 f(x)= (I)求函数 f(x)的最小正周期及在区间

. 的最大值

(Ⅱ)在△ ABC 中,∠A、∠B、∠C 所对的边分别是 a,b,c,a=2,f(A)=﹣ ,求△ ABC 周长 L 的最大值. 19. (12 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,O 为 AC 的中点,PO⊥ 平面 ABCD,M 为 PD 的中点,∠ADC=45°,AD=AC=1,PO=a (1)证明:DA⊥平面 PAC; (2)如果二面角 M﹣AC﹣D 的正切值为 2,求 a 的值.

20. (12 分)从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在 50 度至 350 度 之间,频率分布直方图如图所示.

(1)根据直方图求 x 的值,并估计该小区 100 户居民的月均用电量(同一组中的数据用该组 区间的中点值作代表) ; (2)从该小区已抽取的 100 户居民中,随机抽取月用电量超过 250 度的 3 户,参加节约用电 知识普及讲座,其中恰有 ξ 户月用电量超过 300 度,求 ξ 的分布列及期望.

21. (12 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)过点 A(﹣



) ,离心率为

,点 F1,

F2 分别为其左右焦点. (1)求椭圆 C 的标准方程; 2 (2)若 y =4x 上存在两个点 M,N,椭圆上有两个点 P,Q 满足,M,N,F2 三点共线,P, Q,F2 三点共线,且 PQ⊥MN.求四边形 PMQN 面积的最小值. 22. (12 分)已知函数 f(x)=(2x+2)lnx+2ax +5. (1)讨论函数 f(x)的单调性;
2

(2)设 a<﹣1,若对任意不相等的正数 x1,x2,恒有| 的取值范围.

|≥8,求实数 a

河北省邯郸市 2015 届高三上学期期末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.选择题 1. (3 分)已知集合 A={x|x ﹣16<0},B={﹣5,0,1},则() A.A∩B=? B.B?A C.A∩B={0,1} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据集合的基本运算进行求解即可. 2 解答: 解:A={x|x ﹣16<0}={x|﹣4<x<4},B={﹣5,0,1}, 则 A∩B={0,1}, 故选:C 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 2. (3 分)已知 i 是虚数单位,则复数 z= A.0 B. i 的虚部是() C . ﹣i D.1
2

D.A?B

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出. 解答: 解:复数 z= = = =i 的虚部是 1.

故选:D. 点评: 本题考查了复数的运算法则、虚部的定义,属于基础题.

3. (3 分)已知双曲线 () A.



=1(a>0,b>0)的一条渐近线为 y=﹣

x,则它的离心率为

B.

C.

D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: 求出双曲线的渐近线方程,可得 b= 即可得到所 求值. 解答: 解:双曲线 ﹣

a,再由离心率公式及 a,b,c 的关系,计算

=1 的渐近线方程为 y=

x,

由一条渐近线为 y=﹣ 即 b= a,

x,可得 =



即有 e= =

=

= .

故选 A. 点评: 本题考查双曲线的方程和性质,考查渐近线方程的运用,考查离心率的求法,考查 运算能力,属于基础题.

4. (3 分)设 , 是两个非零向量,则“ ? <0”是“ , 夹角为钝角”的() A.充分不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据向量数量积的意义以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 解答: 解:若 , 夹角为钝角,则 ,则 cosθ<0,则 ? <0 成立,

当 θ=π 时, ? =﹣| |?| |<0 成立,但“ , 夹角为钝角”不成立, 故“ ? <0”是“ , 夹角为钝角”的必要不充分条件, 故选:B 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据向量数量积与向量夹角之间的关系 是解决本题的关键. 5. (3 分)执行如图所示的程序框图,若输出 s 的值为 16,那么输入的 n 值等于()

A.5

B. 6

C. 7

D.8

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值, 模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 解答: 解:当 i=1,s=1 时,不满足输出条件,执行循环体后,s=1,i=2; 当 i=2,s=1 时,不满足输出条件,执行循环体后,s=2,i=3; 当 i=3,s=2 时,不满足输出条件,执行循环体后,s=4,i=4; 当 i=4,s=4 时,不满足输出条件,执行循环体后,s=7,i=5; 当 i=5,s=7 时,不满足输出条件,执行循环体后,s=11,i=6; 当 i=1,s=11 时,不满足输出条件,执行循环体后,s=17,i=7; 当 i=7,s=16 时,满足输出条件, 故 i<7 时,满足进行循环的条件, 故输入的 n 值为 7, 故选:C 点评: 本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正 确的结论,是基础题.

6. (3 分)已知在平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组

给定.若 M(x,y)

为 D 上的动点,点 A 的坐标为(2,1) ,则 z= A.﹣5 B . ﹣1

?

的最大值为() D.0

C. 1

考点: 平面向量数量积的运算;简单线性规划. 专题: 平面向量及应用. 分析: 先画出平面区域 D,进行数量积的运算即得 z=2x+y﹣5,所以 y=﹣2x+5+z,所以根 据线性 规划的方法求出 z 的最大值即可. 解 答: 解:D 所表示的区域如图中阴影部分所示,

z=

=(2,1)?(x﹣2,y

﹣1)=2x+y﹣5; ∴y=﹣2x+5+z; ∴5+z 表示直线 y=﹣2x+5+z 在 y 轴上的截距,所以截距最大时 z 最大; 如图所示,当该直线经过点(2,2)时,截距最大,此时 z 最大; 所以点(2,2)带人直线 y=﹣2x+5+z 即得 z=1. 故选 C. 点评: 考查不等式组表示一个平面区域,并能找到这个平面区域,根据点的坐标求向量的 坐标,以及向量数量积的坐标运算,直线在 y 轴上的截距,线性规划的方法求最值. 7. (3 分) 如图, 在底面边长为 a 的正方形的四棱锥 P﹣ABCD 中, 已知 PA⊥平面 AC, 且 PA=a, 则直线 PB 与平面 PCD 所成的角的余弦值为()

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析: 解答:

直线与平面所成的角. 空间位置关系与距离. 出 B 到平面 PCD 的距离,即可求出直线 PB 与平面 PCD 所成的角大小. 解:设 B 到平面 PCD 的距离为 h,直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 α, a?a?h= ? ?a?a?a,∴h= a.

则由等体积可得 ? ?

∵PB=

a,∴sinα=

= ,∴α=30°, ,

故直线 PB 与平面 PCD 所成的角的余弦值为 cos30°=

故选:D. 点评: 本题考查直线与平面所成的角,考查学生的计算能力,确定 B 到平面 PCD 的距离是 关键,属于中档题. 8. (3 分)已知 Ω={(x,y)||x|≤1,|y|≤1},A 是由曲线 y=x 与 y=x 围成的封闭区域,若向 Ω 上随机投一点 p,则点 p 落入区域 A 的概率为() A. B. C. D.
2

考点: 几何概型;定积分在求面积中的应用. 专题: 概率与统计. 分析: 求得两曲线的交点分别为 O(0,0) 、A(1,1) ,可得区域 A 的面积等于函数 y=x 与 y=x 在上的定积分值,利用积分计算公式算出区域 A 的面积.区域 Ω 表示的是一个边长为 2 的正方形,因此求出此正方形的面积并利用几何概型公式加以计算,即可得到所求概率. 2 解答: 解:y=x 与 y=x 两曲线的交点分别为 O(0,0) 、A(1,1) . 因此,两条曲线围成的区域 A 的面积为 S=∫0 (x﹣x )dx=(
1 2 2

)|

= .

而 Ω={(x,y)||x≤1,|y|≤1},表示的区域是一个边长为 2 的正方形,面积为 4, ∴在 Ω 上随机投一点 P,则点 P 落入区域 A 中的概率 P= ;

故选 D. 点评: 本题考查了定积分求曲边梯形的面积以及几何概型的概率求法;本题给出区域 A 和 Ω,求在 Ω 上随机投一点 P,使点 P 落入区域 A 中的概率.着重考查了定积分计算公式、定积 分的几何意义和几何概型计算公式等知识,属于中档题.

9. (3 分)下列三个数:a=ln A.a>c>b 考点: 专题: 分析: 解答: B.a>b>c

,b=lnπ﹣π,c=ln3﹣3,大小顺序正确的是() C.b>c>a D.b>a>c

对数值大小的比较. 导数的综合应用. 令 f(x)=lnx﹣x,利用导数研究其单调性即可得出. 解:令 f(x)=lnx﹣x, = ,

则 f′(x)=

当 x>1 时,f′(x)<0, ∴当 x>1 时,函数 f(x)单调递减.



,a=ln

,b=lnπ﹣π,c=ln3﹣3,

∴a>c>b. 故选:A. 点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性,属于基础题. 10. (3 分)已知等差数列{an}中,a1=1,前 10 项的和等于前 5 的和,若 am+a6=0,则 m=() A.10 B. 9 C. 8 D.2 考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列前 10 项的和等于前 5 的和,可得 a6+a7+a8+a9+a10=0,由等差数列的性质 得到 ,结合已知 am+a6=0 即可求得 m 的值.

解答: 解:在等差数列{an}中,由 S10=S5,得 a6+a7+a8+a9+a10=0, 即 ,

∴a6+a10=0, 又 am+a6=0, ∴m=10. 故选:A. 点评: 本题考查了等差数列的性质,考查了等差数列的前 n 项和,是基础题. 11. (3 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()

A.10

B.20

C.40

D.60

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱截去一个同底等高 的三棱锥后,所得的组合体,分别代入棱锥和棱柱体积公式,可得答案. 解答: 解:由已知的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱截去一个同底 等高的三棱锥的组合体,

故几何体的体积 V=(1﹣ )Sh= × ×3×4×5=20, 故选:B 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,解决本题的关键是得到该几何体的 形状. 12. (3 分)已知函数 y=f(x)是定义域为 R 的偶函数.当 x≥0 时,f(x)
2

=

若关于 x 的方程 +af(x)+b=0(a,b∈R) ,有且仅有 6 个不

同实数根,则实数 a 的取值范围是() A.(﹣ ,﹣ ) C. (﹣ ,﹣ )∪(﹣ ,﹣1) B. (﹣ ,﹣1) D.(﹣ ,﹣1)

考点: 分段函数的应用;根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的奇偶性作出函数 f(x)的图象,利用换元法判断函数 t=f(x)的根的个 数,利用数形结合即可得到结论. 解答: 解:作出函数 f(x)的图象如图: 则 f(x)在(﹣∞,﹣1)和(0,1)上递增,在(﹣1,0)和(1,+∞)上递减, 当 x=±1 时,函数取得极大值 f(1)= ; 当 x=0 时,取得极小值 0. 要使关于 x 的方程 +af(x)+b=0,a,b∈R 有且只有 6 个不同实数根, 设 t=f(x) ,则当 t<0,方程 t=f(x) ,有 0 个根, 当 t=0,方程 t=f(x) ,有 1 个根, 当 0<t≤1 或 t= ,方程 t=f(x) ,有 2 个根, 当 1<t< ,方程 t=f(x) ,有 4 个根, 当 t> ,方程 t=f(x) ,有 0 个根.
2

则 t +at+b=0 必有两个根 t1、t2, 则有两种情况符合题意: ①t1= ,且 t2∈(1, ) , 此时﹣a=t1+t2, 则 a∈(﹣ ,﹣ ) ; ②t1∈(0,1],t2∈(1, ) , 此时同理可得 a∈(﹣ ,﹣1) , 综上可得 a 的范围是(﹣ ,﹣ )∪(﹣ ,﹣1) , 故选:C

2

点评: 本题主要考查分段函数的应用,利用换元法结合函数奇偶性的对称性,利用数形结 合是解决本题的关键.综合性较强. 二、填空题 13. (3 分)如图,正六边形 ABCDEF 的边长为 ,则 =

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 对称性可求得向量 ,根据正六边形的内角为 120°,及正六边形的 的夹角,又已知正六边形的边长为 ,所以进行数量积的运算即

可求得答案. 解答: 解:如图,连接 AD,延长 AB,DC 相交于 M 点,则△ ADM 为等边三角形;

根据正六边形的内角为 120°; ∴ = = . 故答案为: .

点评: 考查对正六边形的认识,向量的加法运算,向量的夹角,以及向量数量积的计算公 式. 14. (3 分)已知 x,y∈(0,+∞) ,

,则

的最小值为 3.

考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 由 本不等式求最值. 解答: 解:∵ ∴x﹣3=﹣y; 即 x+y=3; 故 = + = ? + + ? ≥ +2 = = + =3; ,即 x=1,y=2 时,等号成立) , 可得 x+y=3;化简 = ? + ? = + + ,从而利用基

(当且仅当

故答案为:3. 点评: 本题考查了函数的性质的应用及基本不等式的应用,属于中档题. 15. (3 分)已知圆 C:x +y =4,过点 A(2,3)作 C 的切线,切点分别为 P,Q,则直线 PQ 的方程为 2x+3y﹣4=0. 考点: 圆的切线方程;直线与圆相交的性质. 专题: 直线与圆. 分析: 直线 PQ 可看作已知圆与以 OA 为直径的圆的交线,求出未知圆的方程,运用两圆方 程相减,即可.
2 2

解答: 解:圆心 C(0,0) ,半径为 R=2, ∵过点 A(2,3)作 C 的切线,切点分别为 P,Q, ∴线 PQ 可看作已知圆与以 OA 为直径的圆的交线, 则 OA 的中点为(1, ) ,则 则|OA|= ,则半径为
2


2

即对应圆的方程为(x﹣1) +(y﹣ ) = 即 x +y ﹣2x﹣3y=0, 两式相减得 2x+3y﹣4=0, 即直线 PQ 的方程为 2x+3y﹣4=0, 故答案为:2x+3y﹣4=0
2 2



点评: 本题主要考查 直线和圆的位置关系的应用,结合圆与圆的位置关系是解决本题的关 键. 16. (3 分)如图,在 Rt△ ABC 中,∠A=90°,D 是 AC 上一点,E 是 BC 上一点,若 AB= BD, CE= EB,∠BDE=120°,CD=3,则 BC= .

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 2 分析: 经 E 点作 EF⊥AC 于 F 点,设 AB=x,则由题意可求得 BD,AD,AC,BC ,EF, ED,△ EDB 中,由余弦定理知: x +4x ﹣2× 理可得:3x ﹣2
2 2 2

×4x ×(﹣ )= BC = x +(3+

2

2

2

x)2,整

x﹣3=9,可解得 x,从而可求 BC.

解答: 解:如图,经 E 点作 EF⊥AC 于 F 点,设 AB=x,则由题意可得, BD=2x,AD= x,AC=3+ = x,BC =x +(3+ = ,即有 EF= x,
2 2

x)2,

∵△CEF∽△ABC,∴

∵∠BDE=120°,AB= BD, ∴∠EDF=30°,∴ED=2EF= x, ∴△EDB 中,由余弦定理知:BE =DE +BD ﹣2ED×BD×cos120°= x +4x ﹣2× = BC = , 整理可得:3x ﹣2 ∴可解得:x=
2 2 2 2 2 2 2 2 2

×4x ×(﹣ )

2

x﹣3=9, (舍去) ,

或﹣

∴BC =x +(3+ x)2=39,可解得:BC= . 故答案为: . 点评: 本题主要考察了余弦定理的应用,属于基本知识的考查. 三.解答题 17. (10 分)等差数列{an}中,a1=﹣1,公差 d≠0 且 a2,a3,a6 成等比数列,前 n 项的和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; (2)设 bn= ,Tn=b1+b2+…+bn,求 Tn.

考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由 a2,a3,a6 成等比数列可得(﹣1+d)?(﹣1+5d)=(﹣1+2d) ,求出 d 后 代入等差数列的通项公式可得 an=﹣1+2(n﹣1)=2n﹣ 3.代入等差数列的前 n 项和求得 Sn; (2)把 an 代入 bn= ,然后由裂项相消法求得 Tn. ,
2 2

解答: 解: (1)由题意可得

又∵a1=﹣1,∴(﹣1+d)?(﹣1+5d)=(﹣1+2d) , 解得:d=2. ∴an=﹣1+2(n﹣1)=2n﹣3.

; (2) ∴ = . ,

点评: 本题考查了等比数列的性质,考查了裂项相消法求数列的和,是中档题.

18. (12 分)已知函数 f(x)= (I)求函数 f(x)的最小正周期及在区间

. 的最大值

(Ⅱ)在△ ABC 中,∠A、∠B、∠C 所对的边分别是 a,b,c,a=2,f(A)=﹣ ,求△ ABC 周长 L 的最大值. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质;解三角形. 分析: (Ⅰ)首先根据三角函数的恒等变换,变换成正弦型函数,然后求出函数的最小正 周期和最值. (Ⅱ)先根据上面的结论,求出 A 的值,再利用正弦定理求出三角形的周长,最后根据取值 范围确定最值. 解答: 解: (Ⅰ) ∵ 所以 f(x)最小正周期 ∵ ∴f(x)最大值为 0. (Ⅱ) 由 又∵ 由正弦定理得 得 ∴ ,即 ∴ , ∴ = =

所以 =





(当且仅当

时取最大

值) ∴b+c≤4,∴a+b+c≤6 所以 L=6 点评: 本题考查的知识要点:卅年函数关系式的恒等变换,正弦型函数的最小正周期,由 函数的定义域确定函数的值域或最值,利用正弦定理求三角形的周长. 19. (12 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,O 为 AC 的中点,PO⊥ 平面 ABCD,M 为 PD 的中点,∠ADC=45°,AD=AC=1,PO=a (1)证明:DA⊥平面 PAC; (2)如果二面角 M﹣AC﹣D 的正切值为 2,求 a 的值.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)根据已知条件即知 DA⊥AC,而 PO⊥平面 ABCD,从而 DA⊥PO,从而由线 面垂直的判定定理得到 DA ⊥平面 PAC; (2)分别取 DO,AO 中点为 G,H,并连接 MG,GH,MH,从而可说明∠MHG 即为二面 角 M﹣AC﹣D 的平面角,根据该平面角的正切值为 2 即可求出 a. 解答: 解: (1)证明:由题意,∠ADC=45°,AD=AC=1,故∠DAC=90°; 即 DA⊥AC; 又因 PO⊥平面 ABCD,DA?平面 ABCD; 所以,DA⊥PO,PO∩AC=O; ∴DA⊥平面 PAC; (2)如图,连结 DO,取 DO 中点 G,连接 MG,∵M 为 PD 中点,∴MG∥PO; ∴MG⊥底面 ABCD,∴MG⊥AC; 同样取 AO 中点 H,连接 GH,则 GH⊥AC,连接 MH; 则 AC⊥MG,AC⊥GH,MG∩GH=G; ∴AC⊥平面 MGH; ∴∠MHG 即为二面角 M﹣AC﹣D 的平面角; 而 ,MG= ;





故 a=2.

点评: 考查线面垂直的性质,等腰三角形两底角相等,线面垂直的判定定理,以及三角形 中位线的性质,二面角平面角的定义,正切函数的定义. 20. (12 分)从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在 50 度至 350 度 之间,频率分布直方图如图所示.

(1)根据直方图求 x 的值,并估计该小区 100 户居民的月均用电量(同一组中的数据用该组 区间的中点值作代表) ; (2)从该小区已抽取的 100 户居民中,随机抽取月用电量超过 250 度的 3 户,参加节约用电 知识普及讲座,其中恰有 ξ 户月用电量超过 300 度,求 ξ 的分布列及期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (1)由已知得 50×(0.0012+0.0024×2+0.0036+x+0.0060)=1,由此能求出 x,由频率 分布直方图能求出该小区 100 户居民的月均用电量. (2)由已知得 ξ 的可能取值为 0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出 ξ 的分布列及 期望. 解答: (1)解:由已知得 50×(0.0012+0.0024×2+0.0036+x+0.0060)=1, 解得 x=0.0044…(2 分) 设该小区 100 户居民的月均用电量为 S, 则 S=0.0024×50×75+0.0036×50×125+0.0060×50×175+0.0044×50×225+0.0024×50×275+0.0012×50×32 5=9+22.5+52.5+49.5+33+19.5=186…(6 分) (2)该小区用电量在(250,300]的用户数为 0.0024×50×100=12,

用电量在(300,350]的用户数为 0.0012×50×100=6, 由已知得 ξ 的可能取值为 0,1,2,3, ξ=0 时, ,

ξ=1 时,



ξ=2 时,



ξ=3 时, 所以 ξ 的分布列是 ξ 0 p

…(10 分)

1

2

3

E(ξ)=0×p(ξ=0)+1×p(ξ=1)+2×p(ξ=2)+3×p(ξ=3)=1.…(12 分) 点评: 本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题, 解题时要认真审题,在历年 2015 届高考中都是必考题型之一.

21. (12 分)已知椭圆 C: F2 分别为其左右焦点. (1)求椭圆 C 的标准方程;

+

=1(a>b>0)过点 A(﹣



) ,离心率为

,点 F1,

(2)若 y =4x 上存在两个点 M,N,椭圆上有两个点 P,Q 满足,M,N,F2 三点共线,P, Q,F2 三点共线,且 PQ⊥MN.求四边形 PMQN 面积的最小值. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程及 a,b,c 的关系,解方程,即可得到 椭圆方程; (2)讨论直线 MN 的斜率不存在,求得弦长,求得四边形的面积;当直线 MN 斜率存在时, 设直线方程为:y=k(x﹣1) (k≠0)联立抛物线方程和椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式, 以及四边形的面积公式,计算即可得到最小值. 解答: 解: (1)由题意得: 因为椭圆过点 A(﹣ 则 + =1,
2

2

,a ﹣b =c ,得 b=c,

2

2

2



) ,

解得 c=1,所以 a =2,

所以椭圆 C 方程为



(2)当直线 MN 斜率不存在时,直线 PQ 的斜率为 0, 易得 , . 当直线 MN 斜率存在时,设直线方程为:y=k(x﹣1) (k≠0) 2 2 2 2 2 与 y =4x 联立得 k x ﹣(2k +4)x+k =0, 令 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则 |MN|= .即有 ,x1x2=1, ,

?

∵PQ⊥MN,∴直线 PQ 的方程为:y=﹣ (x﹣1) , 将直线与椭圆联立得, (k +2)x ﹣4x+2﹣2k =0, 令 P(x3,y3) ,Q(x4,y4) ,x3+x4= ,x3x4= ,
2 2 2

由弦长公式|PQ|=

?



代入计算可得



∴四边形 PMQN 的面积 S= |MN|?|PQ|= 令 1+k =t, ( t>1) , 上式 =
2





所以 .最小值为 . 点评: 本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率和方程的运用,同时考查直线 和椭圆联立,运用韦达定理和弦长公式,以及四边形的面积的最小值的求法,考查运算求解能 力,属于中档题. 22. (12 分)已知函数 f(x)=(2x+2)lnx+2ax +5. (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)设 a<﹣1,若对任意不相等的正数 x1,x2,恒有| 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用;导数的综合应用. |≥8,求实数 a
2

分析: (1)先求函数 f(x)的定义域,再求导 f′ (x)=

+4ax=

,从

而讨论 a 以确定导数的正负,从而确定函数的单调性; (2)不妨设 x1<x2,而 a<﹣1,由(1)知 f(x)在(0,+∞)单调递减,从而化恒成立为 f (x1)+8x1≥f(x2)+8x2,再令 g(x)=f(x)+8x,求导 g′(x)= 立为 g(x)在(0,+∞)单调递减,即 +4ax+8,从而化恒成

+2ax+4≤0,从而化为最值问题即可.

解答: 解: (1)f(x)的定义域为(0,+∞) , f′(x)= +4ax= ,

当 a≥0 时,f′(x)>0, 故 f(x)在(0,+∞)单调递增, 当 a≤﹣1 时,f′(x)<0, 故 f(x)在(0,+∞)单调递减; 当﹣1<a<0 时,令 f′(x)=0,解得 x= 即 x∈(0, 故 f(x)在(0, )时,f′(x)>0;x∈( )单调递增,在( . ,+∞)时,f′(x)<0; ,+∞)单调递减;

(2)不妨设 x1<x2,而 a<﹣1, 由(1)知 f(x)在(0,+∞)单调递减, 从而对任意 x1、x2∈(0,+∞) , 恒有| |≥8,

即|f(x1)﹣fx2|≥8|x1﹣x2| f(x1)﹣f(x2)≥8(x2﹣x1) f(x1)+8x1≥f(x2)+8x2 令 g(x)=f(x)+8x, 则 g′(x)= +4ax+8

原不等式等价于 g(x)在(0,+∞)单调递减, 即 +2ax+4≤0,

从而 a≤

=

﹣2,

故 a 的取值范围为(﹣∞,﹣2]. 点评: 本题考查了导数的综合应用,同时考查了恒成立问题及分类讨论的数学思想的应用, 属于难题.


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