黑龙江省牡丹江市第一高级中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理


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黑龙江省牡丹江市第一高级中学 2015-2016 学年高二数学下学期期中试题 理
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1、演绎推理“①三角函数是周期函数;② y ? tan x 是三角函数;③ y ? tan x 是周期函数”中的 小前提是( ) A ① B ② C ③ D ①和② 2、某学生去书店,发现三本好书,决定至少买其中一本,则该生的购书方案有( A 3 B 5 C 7 D 8 3、函数 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? x 的减区间为( A ) C

)种.

(??,1)

B

(1,??)

1 ( ?? ,? ) 3

D

1 ( ? ,1) 3

4、 正方形四个顶点分别为 O(0,0), A(1,0), B(1,1), C(0,1), 曲线 y ? x 2 ( x ? 0) 与 x 轴, 直线 x ? 1 构成区域 M ,将一个质点随机地投入正方形中,则质点落在区域 M 内的概率是( 1 2 1 4 1 3 ) C. 2 5 )

A

B

C

D

5、设 f ( x) ? x ln x ,若 f '( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? ( A. e
2

B. e

ln 2 2

D. ln 2

2 2 6、 设 f ( n) 是定义在正整数上的函数, 且满足: “当 f (k ) ? k 成立时, 总可推出 f (k ? 1) ? (k ? 1)

成立” ,那么,下列命题总成立的是( A B C D



2 若 f (2) ? 4 成立,则当 k ? 1 时,均有 f (k ) ? k 成立; 2 若 f (3) ? 9 成立,则当 k ? 3 时,均有 f (k ) ? k 成立; 2 若 f (4) ? 16 成立,则当 k ? 4 时,均有 f (k ) ? k 成立;[来源:学科网] 2 若 f (5) ? 25成立,则当 k ? 5 时,均有 f (k ) ? k 成立;

7、六人站成一排,甲,乙之间恰间隔两人,有( )种不同的站法 A 288 w B 144 C 108
3 8、直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ? x ? ax ? b 相切于点 A(1,2) ,则 a ? (
b

D )

72

A

-8
3

B -6

C -1 )[来源:学科网Z-XK]

D 5

9、若函数 f ( x) ? x ? 3bx ? 3b 在 (0,1) 内有极小值,则(

A

0 ? b ?1

B

b ?1

C

b?0

D

b?

1 2

10、要安排 3 名男生、2 名女生和 1 名教师站成一排,且要求所有男生不相邻,女生也不相邻的排 法种数是( ) A 72 B 120 C 144 D 168 11、已知函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 1 ? 2x ,则 y ? f ( x) 的图象大致为( )

A

B

C

D

12、 给出定义: 若函数 f ( x) 在 D 上可导, 即 f ?( x) 存在, 且导函数 f ?( x) 在 D 上也可导, 则称 f ( x) 在 D 上存在二阶导函数,记 f ??( x) ? ( f ?( x))? 。若 f ??( x) ? 0 在 D 上恒成立,则在 D 上为凸函数, 以下四个函数在 (0,

3? ) 上是凸函数的有( 4

)个 ③ f ( x) ? sin x ? cos x ; ④ f ( x) ? xe x D 3

① f ( x) ? ? x 3 ? 2 x ? 1; ② f ( x) ? ln x ? 2 x ; A 0 B 1 C 2

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、函数 f ( x) ? 2 x ? 3x ?12x ? 5 在 [0,3] 上的最小值为
3 2

14、若 f ( x) ? ?

1 2 x ? b ln( x ? 2)在(-2,+?)上是减函数,则 b 的取值范围为 2
ab a ? b2
2

15、在平面几何里,已知直角△SAB 的两边 S A,SB 互相垂直,且

SA ? a ,SB ? b 则 AB 边上的高 h ?

; 拓展到空间, 如图,

三棱锥 S ? ABC 的三条侧棱 SB、SB、SC 两两相互垂直,

且 SA ? a, SB ? b, SC ? c ,则点 S 到面 ABC 的距离 h? ? ______________. 16、若方程 x ? 2ex ? m ?
2

ln x ? 0 有解,则 m 的取值范围为 x

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17、(本小题满分 10 分)

? x 2 ?x ? ?0,1?? ? 已知函数 f ?x ? ? ? 1 ,求 ? ?x ? ?1, e?? ?x
18、(本小题满分 12 分)

? f ?x?dx 的值。
e 0

设 f ( x) ? a( x ? 5) 2 ? 6 ln x ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 y 轴交于点 (0,6) (1)求 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调区间。

19、(本小题满分 12 分)

ex 设函数 f ( x) ? ,若 k ? 0 ,解关于 x 的不等式 f / ( x) ? k (1 ? x) f ( x) ? 0 。 x

20、(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ?x 3 ? x 2 , g ( x) ? a ln x(a ? 0, a ? R). (1)求 f ( x) 的极值; (2)若对任意 x ? [1,??) ,使得 f ( x) ? g ( x) ? ? x ? (a ? 2) x 恒成立,求实数 a 的取值范围;
3

21、(本小题满分 12 分)[来源:学*科网] 已知函数 f ( x) ?

mx (m, n ? R) 在 x ? 1 处取得极值 2 . x ?n
2

(1)求 f ( x ) 的表达式; (2)设 函 数 g ( x) ? ax ? ln x . 若 对 于 任 意 的 x1 ? ? ,2? , 总 存 在 唯 一 的 x2 ? ? 2 , ? , 使 得 2 e e

?1 ? ? ?

? 1 1? ? ?

g ( x2 ) ? f ( x1 ) ,求实数 a 的取值范围.
[来源:学科网]

22. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x 2 ? m ln(x ? 1) , (1)若函数 f ( x) 是定义域上的增函数,求实数 m 的取值范围;
3 (2)若 m ? ?1 ,试比较当 x ? (0,??) 时, f ( x) 与 x 的大小;
2

(3)证明:对任意的正整数 n ,不等式 e ? e
0

?1?4

? e ? 2?9 ? ? ? e (1? n ) n ?

n(n ? 3) 成立。 2

牡一中 2014—2015 学年度下学期期中考试高二学年 数学(理)科答案

17、

4 3
2 C 13 -15 3 D 4 C 5 B 14 6 C 7 B 8 A 15 9 A 10 B 11 A 16 12 D

1 B

(??, ?1]

abc a b ?b c ?c a
2 2 2 2 2 2

1 (??, e 2 ? ] e

18、 (1) a ?

1 2

(2)增区间为 (0, 2)和(3,+?);减区间为 (2,3)

19 、( 1 ) 由

f ' ( x) ?

( x? x1 ) x ? 1 ? k x ? 2 k x x ( x ? 1 )?k ? e e ?0 , 即 k (?1 x ) f ( ?x ) 2 2 x x

( x ? 1)(kx ? 1) ? 0 .
当 0 ? k ? 1 时 , 解 集 为 {x 1? x ?

1 }; 当 k ? 1 时 , 解 集 为 ? ; 当 k ? 1 时 , 解 集 为 k

{x

1 ? x ? 1} . w k 2 2 , f ( x)在( ??, 0) ?, (0, ) ? 3 3 2 4 ? f (0) ? 0,f ( x)极大 ? f ( ) ? 3 27
2

20、 (1) f ?( x) ? ?3x2 ? 2x ? 0 , x ? 0或

2 ( , ??) ? ,? f ( x)极小 3
3

(2) f ( x) ? g ( x) ? ? x ? (a ? 2) x化为a(ln x ? x) ? 2x ? x 又 y ? ln x ? x ( x ? 1)

y/ ?

1 ? 1 ? 0 ? y 在 ?1, ?? ? 上是减函数, ln x ? x ? ln1 ? 1 ? 0 成立 x

?a ?

x2 ? 2 x x2 ? 2x ( x ? 1)( x ? 2 ? 2 ln x) , 设 ? ( x) ? , ? ?( x) ? , 设 h( x) ? x ? 2 ? 2 l nx, x ? ln x x ? ln x ( x ? ln x)2
2 x

h?( x ) ? 1 ?

? h( x)在(1, 2) ?,(2, ??) ? ,?h( x)min ? h(2) ? 4 ? 2ln 2 ? 0
?? ?( x) ? 0 ,?? ( x)在[1, ??) 上是增函数, ? ( x)min ? ? (1) ? ?1? a ? ?1 [来源:学科网]

21、 (1) f ?( x) ?

m( x ? n) ? 2m x ? m x ? m n ? ( x 2 ? n) 2 ( x 2 ? n) 2
2 2 2

? m n? m ?0 2 ? ? ( 1 ? n ) 故 f ?(1) ? 0, f (1) ? 2 ,即 ? ,[来源:学+科网ZXK] ? m ?2 ? ? 1? n

解得: ?

?m ? 4 , ? n ?1

经检验:此时 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,故 f ( x) ?

4x x ?1
2

(2)由( 1)知 f ?( x) ?

1 4(1 ? x)(1 ? x) ,故 f ( x ) 在 ( ,1) 上单调递增,在 (1,2) 上单调递减,由 2 2 2 ( x ? 1)

1 8 ?8 ? f (1) ? 2 , f (2) ? f ( ) ? ,故 f ( x) 的值域为 ? ,2? 2 5 ?5 ? g ?( x) ? a ? 1 ? 1 1? ,记 M ? ? 2 , ? ,? x ? M ,? e ? 1 ? e 2 x ?e e? x

? 1 8 ? g( ) ? 5 3 3 g ( x) 单调递减, g ?( x) ? 0 , ①当 a ? e 时, 依题意有 ? e 得0 ? a ? e , 故此时 0 ? a ? e . 1 5 5 ?g ( 2 ) ? 2 ? e 1 1 1 1 1 1 1 2 ②当 e ? a ? e 时, ? ? 2 ,当 x ? ( 2 , ) 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? ( , ) 时, g ?( x) ? 0 , e a e e a a e
3 1 8 1 8 5 依题意有: g ( ) ? ,得 1 ? ln ? , a ? e ,这与 a ? e 矛盾. a 5 a 5

? 1 ? g( ) ? 2 2 ③当 a ? e 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单增,依题意有 ? e ,无解. 1 8 ?g ( 2 ) ? 5 ? e 3 综上所述: a 的取值范围是 0 ? a ? e . 5
22、解: (Ⅰ)∵ f ?( x ) ? 2 x ? ∴ 立, 得m ?

m 2x2 ? 2x ? m ? 又函数 f ( x ) 在定义域上是单调函数. x ?1 x ?1

1 1 f ?( x ) ? 0 在 ( ?1, ??) 上恒成立,,则 m ? ?2 x 2 ? 2 x ? ?2( x ? ) 2 ? 在 ( ?1, ??) 上恒成 2 2 1 1 ;,实数 m 的取值范围是 [ , ??) . 2 2
令 g ( x) ? f ( x) ? x ? ? x ? x ? ln( x ? 1)
3 3 2

2 (Ⅱ)当 m ? ?1 时,函数 f ( x) ? x ? ln( x ? 1) .

则 g ?( x ) ? ?3x ? 2 x ?
2

1 3x 3 ? ( x ? 1)2 ?? ,当 x ? (0, ??) 时, g ?( x ) ? 0 , x ?1 x ?1

函 数 g ( x ) 在 (0, ??) 上 单 调 递 减 , 又 g (0) ? 0 , 所 以 , 当 x ? ( 0 ,? ? )时 , 恒 有

g ( x) ? g ( 0 ? ) , 0
即 f ( x) ? x ? 0 恒成立.故当 x ? (0, ??) 时,有 f ( x) ? x
3 3

(Ⅲ)证法一: 数学归纳法 证明: :①当 n ? 1 时,左边= e 0 ? 1 ,右边=

1? 4 ? 2 ,原不等式成立。 2

②假设当 n ? k (k ? 1) 时,原不等式成立,
0 ?1?4 ? e ? 2?9 ? ? ? e (1? k )?k ? 即e ? e
2

k (k ? 3) 2
2 2 2 k (k ? 3) ? e ? k ?( k ?1) 2

则当 n ? k ? 1 时,
0 ?1?4 ? e ? 2?9 ? ? ? e (1? k )?k ? e (1? k ?1)?( k ?1) ? 左边= e ? e

由(Ⅱ)可知 x 2 ? x 3 ? ln( x ? 1) ( x ? (0, ??) ) 即得 e
? k ( k ?1)2

∴ e(1? x ) x ? x ? 1

2

?e(1?n) n ? n ? 1 由n ? k ? 1

2

?k ?2 ?

k (k ? 3) ? k ?( k ?1)2 (k ? 1) ? (k ? 4) ?e ? 成立, 2 2

由①②可知,原命题成立 证法二: 由(Ⅱ)可知 x 2 ? x 3 ? ln( x ? 1) ( x ? (0, ??) ) ∴e
(1? x ) x2

? x ?1

( x ? (0, ??) ) ∴ e
2

(1?n ) n2

? n ?1

(n?N )

?

0 ?1?4 ? e ?2?9 ? ? ? e(1?n ) n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ( n ? 1) ? ∴e ? e

n( n ? 3) 2


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