黑龙江省大庆市第十中学2017_2018学年高二数学下学期第一次月考试题理201805041705

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黑龙江省大庆市第十中学 2017-2018 学年高二数学下学期第一次月考 试题 理
(时间:120 分钟 满分:150 分) 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷(选择题) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
' 1.函数 f ( x) ? 1 ? sin x ,其导数是 f ' ( x) ,则 f ( ) 的值为(

?

3



A: ?

1 2

B:

1 2

C: ?

3 2


D:

3 2

2.函数 f ( x) ? x 3 ? x 在 x ? 1 处的切线方程是( A: 4 x ? y ? 2 ? 0
?

B: 4 x ? y ? 2 ? 0
?

C: 4 x ? y ? 2 ? 0
? ?

D: 4 x ? y ? 2 ? 0 )

3.已知 a ? (? ? 1,0,2? ) , b ? (6,2 ? ? 1,2) , a // b ,则 ? 和 ? 的值分别是(

1 1 ,? 5 2 f ( x ? 3?x) ? f ( x) 4.设函数 y ? f ( x) 可导,则 lim =( ?x ? 0 ?x 1 ' ' ' A: f ( x) B:3 f ( x) C: f ( x ) 3
A: , B: 5,2 C: ?
? ? ? ?

1 1 5 2

D: ? 5,?2 ) D:以上答案都不对
? ?

5.直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,若 CA ? a , CB ? b , CC1 ? c ,则 A1 B ? ( A: a ? b ? c
? ? ?

?


? ?

B: a ? b ? c

?

?

?

C: ? a ? b ? c

?

?

?

D: ? a ? b ? c ) D: ? 2018

?

6.已知 f ( x) ? A: 2017 7.函数 f ( x ) ?

1 2 x ? 2 xf ' (2018 ) ? 2018 ln x ,则 f ' (2018 ) =( 2
B: ? 2017 C: 2018

ln x ,则( x

) B: x ? e 是函数 f ( x) 的极小值点

A: x ? e 是函数 f ( x) 的极大值点

-1-

C: x ?

1 是函数 f ( x) 的极大值点 e

D: x ?

1 是函数 f ( x) 的极小值点 e

8.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F 分别是 C1 D1 , CC1 的中点,则异面直线 AE 与 BF 所 成角的余弦值是( A: ) B: -

5 6 18

5 5

C:

6 5

D:

2 5 5


9.函数 y ? f ( x) 的导函数 f ' ( x) 的图象如下图所示,则下列说法正确的是( A :函数 y ? f ( x) 在 (??,0) 上单调递增 C:函数 y ? f ( x) 在 x ? 0 处取得极大值

B : : 函数 y ? f ( x) 的单调递减区间为 (3,5) D:函数 y ? f ( x) 在 x ? 5 处取得极小值

(9 题图)

(11 题图) ) D: b ? 4

10.若函数 f ( x) ? x 3 ? 3bx ? 1在区间 (1,2) 内是减函数, b ? R ,则( A: b ? 4 B: b ? 4 C: b ? 4

11. 如上图,以等腰直角三角形斜边 BC 上的高 AD 为折痕,把 ?ABD 和 ?ACD 折成互相垂 直的两个平面后,某个学生得出 下列四个结论,其中正确的是(
? ?



? ① BD ? AC ? 0 ;② ?BAC ? 60 ;③三棱锥 D ? ABC 是正三棱锥;④平面 ADC 的法向量

与平面 ABC 的法向量 互相垂直; A: ①② B:③④ C:②③ D:①④

12.函数 f ( x) 的定义域为 R, f (?2) ? 2018,对 ?x ? R ,都有 f ' ( x) ? 2 x 成立,则不等式

f ( x) ? x 2 ? 2014的解集为(
A: (??,2)

) C: (?2,2) D: (2,??)

B: (?2,??) 第 II 卷(非选择题)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知向量 a ? (1,1,0) , b ? (?1,0,1) ,且 k a ? b 与 a 互相垂直,则 k ? ______________
-2? ?
? ? ?

14. 在空间直角坐标系中,已知 A(1,0,2), B(1,?3,1) ,若点 M 在 y 上,且 MA ? MB ,则 M 点坐标是_____________ 15.曲线 y ? 2 ln x 上的点到直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的最短距离是____________ 16.函数 f ( x) ? x( x ? c) 2 在 x ? 2 处有极大值,则 c 的值为___________ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17. (10 分)(1 已知函数 f ( x) ? x 2 ? ln x 。 (1)求曲线 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x) 的单调区间。

18.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E, F , G 分别是 DD1 , BD, BB1 的 中点。 (1)求证: EF ? CF ; (2)求 EF与CG 所成角的余弦值; (3)求 C E 的长。

19. (12 分)已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? 4x ? 4 。 3
(3) 求函数 f ( x) 在区间 [0,3]

(1) 求函数 f ( x) 的单调区间; (2) 求函数 f ( x) 的极值; 上的最大值与最小值。

20. (12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD ? 底面 ABCD ,

PD ? DC ,点 E 是 PC 的中点,作 EF ? PB 交 PB 于点 F 。
(1)求证: PA // 平面 EDB ; (2)求证: PB ? 平面 EFD ; (3)求二面角 C ? PB ? D 的大小

-3-

21. (12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD , E 为 AD 的中点, 且 PA ? AD , BE // CD , BE ? AD , PA ? AE ? BE ? 2 , CD ? 1 。 (1)求证:平面 PAD ? 平面 PCD ; (2)求二面角 C ? PB ? E 的余弦值; (3)在线

段 PE 上是否存在点 M ,使得 DM // 平面 PBC ?若存在,求出点 M 的位置;若不存在,请 说明理由。 22. (12 分)已知函数 f ( x) ? ?ax2 ? ln x(a ? R) 。 (1)讨论 f ( x) 的单调性; (2)若 ?x ? (1,??) , f ( x) ? ?a ,求 a 的取值范围。

-4-

答案 1.B 6.B 11.C 13. 2.B 7.A 12.B 14. (0,?1,0) 15. 5
2

3A

4.B

5.D 10.C

8.D 9.D

1 2

16.6

17. 解:(1)因为 f(x)=x -lnx , 所以 f′(x)=2x所以 f'(1)=1. 又因为 f(1)=1,

1 . x

所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y-1=x-1.即 x-y=0.…(5 分) (2)因为函数 f(x)=2x -lnx 的定义域为( 0,+∞), 由 f′(x)=2x2

1 2 1 2 ' <0,得 0<x< ; f ( x) ? 2 x ? ? 0, 得x ? . x 2 x 2
2

所以函数 f(x)=x -lnx 的单调递减区间是(0, (单调区间开、闭均给分).…(10 分) 18.解:

2 2 ),单调递增区间为 [ ,??) 2 2

(ED ? DF ) ? CF ? ED? CF? DF? CF ? 0 ,所以 EF ? CF ;...(4 分) (1)因为 EF? CF ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

(ED ? DF ) ( ? CB? BG) ? (2) EF? CG ?
? ? ? ?

?

?

?

?

?

?

1 , 4

15 EF? CG 15 ,所以)求 EF与CG 所成角的余弦值为 ;...(8 分) cos ? EF , CG ?? ? 15 EF ? CG 15
(3) CE ? 1 ?

1 5 。...(12 分) ? 4 2

(注:本题也可以采用直接证明、求解或建立空间直角坐标系的方法进行证明、求解) 19.解: (1) f ( x) 的单调增区间为 ?? ?,?2?, ?2,??? ;单调减区间为 [?2,2] (单调区间开、闭均给分);...(4 分) (2)当 x ? ?2 时, f ( x) 有极大值,极大值为 f ( ?2) ? 当 x ? 2 时, f ( x) 有极小值,极小值为 f (2) ? ?

28 ; 3

4 ;...(8 分) 3
-5-

(3)由(1)知,函数 f ( x) 在 [0,2] 上单调递减 ,在 [2,3] 区间上单调 递增, 且 f (2) ? ?

4 ; f (0) ? 4 , f (3) ? 1 ; 3
4 ,最大值为 4 。...(12 分) 3

因此,函数 f ( x) 在 [0,3] 上的最小值为 ? 20.解:

如图建立空间直角坐标系,点 D 为坐标原点,设 DC=1。 (1) (注:可采用立体几何与向量两种方法证明。 )下面给出一种使用空间向量的证明方法。 连接 AC,AC 交 BD 于点 G,连接 EG。 依题意得 A(1,0,0) ,P(0,0,1) ,E(0,

1 1 , ) 。 2 2
1 1 , ,0 ) , 2 2

因为底面 ABCD 是正方形,所以点 G 是此正方形的中心,则 G( 且 PA ? (1,0,1) , EG ? ( ,0,? )
?
?

1 2

1 2

所 以 PA ? 2 EG ,即 PA // EG 。而 EG ? 面EDB,且 PA ? 面EDB 因此 PA // 面EBD 。...(4 分) (2) (可采用立体几何与向量两种方法证明。 ) 依题意得 B(1,1,0) , PB ? (1,1,?1) , DE ? (0, 所以 PB ? DE ? 0 。所以 PB ? DE 。 由已知 EF ? PB, 且EF ? DE ? E ,所以 PB ? 平面 EFD 。...(8 分) (3)答: 60 。 已知 PB ? EF ,由(2)可知, PB ? DF ,故 ? EFD 是二面角 C ? PB ? D 的平面角。
?
? ?

?

?

?

?

1 1 , ), 2 2

-6-

设点 F 的坐标为( x, y , z ),则 PF ? ( x, y, z ? 1) 因为 PF ? k PB 所以 ( x, y, z ? 1) ? k (1,1,?1) ? (k , k ,?k ) 即 x ? k, y ? k, z ? 1 ? k 。 因为
? ?

?

PB ? DF ? 0

?

?

,所以 (1,1,?1) ? (k , k ,1 ? k ) ? k ? k ? 1 ? k ? 3k ? 1 ? 0

1 1 1 2 , 且F( , , ) 。 3 3 3 3 ? 1 1 1 1 1 (- , , - ) 又因为 E(0, , ) ,所以 FE ? 2 2 3 6 6
所以 k ? 因为 cos ?EFD ?

FE? FD FE FD
? ?

?

?

?

1 2

所以 ? EFD = 60? ,即二面角 C ? PB ? D 的大小为 60? ...(12 分) 21.解:(1)证明:由已知平面 PAD⊥平面 ABCD,PA⊥AD, 且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 所以 PA⊥平面 ABCD. 所以 PA⊥CD. 又因为 BE⊥AD,BE∥CD,所以 CD⊥AD.所以 CD⊥平面 PAD.因 为 CD? 平面 PCD,所以平面 PAD⊥平面 PCD.…(4 分) (2) 如图所示建立空间直角坐标系 E-xyz, 则点 E (0, 0, 0) ,

P(0,-2,2),A(0,-2,0),B(2,0 ,0),C(1,2,0), D(0,2,0).
所以 , , .

设平面 PBC 的法向量为 =(x,y,z),所以 3). 设平面 PBE 的法向量为 =(a,b,c),所以



令 y=1,解得 =(2,1,



令 b=1,解得 =(0,1,1).所以 cos< 由图可知,二面角 C-PB-E 的余弦值为

>=



.…(8 分)
-7-

(3)“线段 PE 上存在点 M,使得 DM∥平面 PBC”等价于“ 因为 ,设

”.

,λ ∈(0,1 ), .

则 M(0,2λ -2,2-2λ ), 由(2)知平面 PBC 的法向量为 =(2,1,3), 所以 .解得 .

所以线段 PE 上存在点 M,即 PE 中点,使得 D M∥平面 PBC.…(12 分) 22. 解:(1)由 f(x)=-ax +lnx,得 f′(x)=-2ax+ = 当 a≤0 时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上为增函数; 当 a>0 时,由 f′(x)=0,得 ∴当 x∈(0, =<0, = >0, )时,f′(x)<
2

(x>0),

)时,f′(x)>0,f(x)为增函数,当 x∈(

0,f(x)为减函数;…(4 分) (2)当 a≤0 时,若 x∈(1,+∞),则 f(x)+a=-ax +lnx+a=a(1-x )+lnx>0,满足题意; 当 a>0 时,由(1)知,当 < f(1)=-a,此时不满足条件; 当 此时 由 ,即 0<a< 时,f(x)在(1, = ,得 1+ln2a<2a, , )上为增函数,在( , ,+∞)上为减函数, ,即 a 时,f(x)在(1,+∞)上为减函数,此时 f(x)
2 2

令 g(a)=1+ln2a-2a,则 g′(a)= 则 g(a)在(0, )上为增函数, 因为 g(a)<g( )=0,即 1+ln2a<2a 恒成立, 所以此时 0<a< .

综上,若? x∈(1,+∞),使得 f(x)>-a,a 的取值范围为 a

.…(12 分)

-8-


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