山东省实验中学2015届高三第一次诊断性考试数学理试题含解析_图文

山东师大附中 2015 届高三第一次模拟考试试题 数学(理工农医类)2014.9
【试卷综析】试题在重视基础,突出能力,体现课改,着眼稳定,实现了新课标高考数学试 题与老高考试题的尝试性对接. 纵观新课标高考数学试题,体现数学本质,凸显数学思想,强化思维量,控制运算量, 突出综合性,破除了试卷的八股模式,以全新的面貌来诠释新课改的理念,试题图文并茂, 文字阐述清晰,图形设计简明,无论是在试卷的结构安排方面,还是试题背景的设计方面, 都进行了大胆的改革和有益的探索,应当说是一份很有特色的试题. 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 【题文】1.设全集 U ? ??1, ?2, ?3, ?4, 0? ,集合 A ? ??1, ?2, 0? , B ? ??3, ?4, 0? ,则

? CU A? ? B ?
A. ?0? B. ??3, ?4? C. ??1, ?2? D. ?

【知识点】集合.A1 【答案解析】B 解析:解:因为 CU A ? ??3, ?4???CU A? ? B ? ??3, ?4?所以 B 为正确选 项. 【思路点拨】根据交集的概念可以直接求出交集. 【题文】2.已知 f ? x ? ? x , i 是虚数单位,则在复平面中复数
2

f ?1 ? i ? 对应的点在 3?i

A.第一象限 B.第二象限 【知识点】复数的基本概念与运算.L4 【答案解析】A 解析:解:由题可知
2

C.第三象限

D.第四象限

f ?1 ? i ? ?1 ? i ? 1 ? 2i ? i 2 2i ? 3 ? i ? 2 ? 6i 1 3 2i 所以复数表示的点为 ? ? ? ? 2 2 ? ? ? i, 3?i 3?i 3?i 3?i 3 ?i 10 5 5
?1 3? ? , ? ,在第一象限,所以 A 正确. ?5 5?
【思路点拨】根据复数的概念进行运算,分母实数化,然后找到对应点. 【题文】3.设随机变量 ? 服从正态分布 N ? 0,1? ,若 P ?? ? 1? ? p ,则 P ? ?1 ? ? ? 0 ? ? A.

1 ?p 2

B. 1 ? p

C. 1 ? 2 p

D.

1 ?p 2

【知识点】正态分布.I3 【答案解析】D 解 析 : 解 : 由 正 太 分 布 的 概 念 可 知 , 当 P ?? ? 1? ? p 时 ,

1 ?p , 而 正 太 分 布 的 图 像 关 于 2 1 P ? ?1 ? ? ? 0 ? ? P ? 0 ? ? ? 1? ? ? p ,所以 D 为正确选项. 2 P ? 0 ? ? ? 1? ?
【思路点拨】根据正态分布的对称关系可直接求解. 【题文】4.设 0 ? x ?

y

轴 对 称 , 所 以

?
2

,则“ x sin 2 x ? 1 ”是“ x sin x ? 1 ”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【知识点】充分条件;必要条件.A2 【答案解析】B 解析:解:解:因为 0 ? x ?
2 2

?
2

,所以 sinx<1,故 xsin x<xsinx,

2

若“xsinx<1”,则“xsin x<1”若“xsin x<1”,则 x sin x ?

1 不一定小于 1 sin x

由此可知答案必要而不充分条件.故答案为必要而不充分条件 【思路点拨】考查四种条件的判断,关键是合理运用角的范围确定三角函数的范围 【题文】5.已知两个不同的平面 ?、? 和两个不重合的直线 m、n,有下列四个命题: ①若 m / / n, m ? ?,则n ? ? ; ③若 m ? ? , m / / n, n ? ? , 则? ? ? ; 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 ②若 m ? ? , m ? ? , 则? / / ? ; ④若 m / /? , ? ? ? ? n,则m / / n .

D.3

【知识点】直线与平面的位置关系.G4,G5 【答案解析】D 解析:解:由直线与直线,直线与平面,平面与平面位置关系可知,①② ③ 正确,④不正确. 【思路点拨】由空间中的位置关系及判定定理,性质定理可直接得到. 【题文】 6.要得到函数 f ? x ? ? cos ? 2 x ? 象 A.向左平移 C.向左平移

? ?

??

?? ? 只需将函数 g ? x ? ? sin ? 2 x ? ? 的图 ? 的图象, 3? 3? ?
? ?
2 4

?
?
2

个单位长度 个单位长度

B.向右平移 D.向右平移

个单位长度 个单位长度

4

【知识点】三角函数的图像与性质.C3 【答案解析】C 解析:解:因为 g ? x ? ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? 向左平移 个单位可得, 3? 4

?? ? ? ?? ?? ? ?? ?? ? ? ? g ? x ? ? ? sin ?2 ? x ? ? ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? cos ? 2 x ? ? 所以 C 选项正确. 4? 4 ? 3? 3 2? 3? ? ? ? ? ?
【思路点拨】由三角函数的图像与性质可对三角函数进行移动.

【题文】7.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F,若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有 12 4
? ? ? 3 3? , ? 3 3 ? ?

一个交点,则此直线的斜率的取值范围是 A. ? ?

? ?

3 3? , ? 3 3 ?

B. ? ? 3, 3 ? C. ? ?

?

?

D. ? 3, 3

?

?

【知识点】直线与双曲线.H8 【答案解析】A 解析:解: 由题可知满足条件的直线即过右焦点且斜率在两条渐近线之间 的直线,由条件可知渐近线为 y ? ?

b 3 x?? x ,再分析可得,与右支只有一个交点的直 a 3

线斜率应该在 ? ?

? ?

3 3? , ? 范围内,所以 A 正确. 3 3 ?

【思路点拨】由双曲线的渐近线及图像可知只有一个交点的情况. 【题文】8.某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言,要求甲、乙两人至少有 一人参加,当甲乙同时参加时,他们两人的发言不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为 A.360 B.520 C.600 D.720 【知识点】排列组合.J2 【答案解析】C 解析:解:根据题意,分 2 种情况讨论, 1 3 4 若只有甲乙其中一人参加,有 C2 ?C5 ?A4 =480 种情况; 2 2 4 若甲乙两人都参加,有 C2 ?C5 ?A4 =240 种情况, 2 2 3 2 其中甲乙相邻的有 C2 ?C5 ?A3 ?A2 =120 种情况; 则不同的发言顺序种数 480+240-120=600 种, 故选 C. 【思路点拨】根据题意,分 2 种情况讨论,①只有甲乙其中一人参加,②甲乙两人都参加, 由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目,由加法原理计算可得答案. 【题文】9.设函数 f ? x ? ? ?

? x 2 ? bx ? c, x ? 0, ?2, x ? 0.

若 f ? ?4 ? ? f ? 0 ? , f ? ?2 ? ? ?2 ,则关于 x 的

方程 f ? x ? ? x 的解的个数为 A.4 B.3 C.2 D.1 【知识点】分段函数;方程根的个数.B1,B9
2 【答案解析】B 解析:解:因为 f ? ?4 ? ? f ? 0 ? , f ? ?2 ? ? ?2 所以 y ? x ? bx ? c 的对称

轴为 x ? ?

b ? ?2 ? b ? 4 , f ? ?2? ? ?2 ? c ? 2 , 2a

? x 2 ? 4 x ? 2, x ? 0 ? f ? x? ? ? ? f ? x ? ? x ? x ? ?1, x ? ?2, x ? 2 所以方程有 3 个根,所以 2, x ? 0 ?
B 正确. 【思路点拨】根据条件求出函数,然后求方程的根.

【题文】10.已知向量 OA与OB 的夹角为

uur

uu u r

?, OA ? 2, OB ? 1, OP ? tOA, OQ ? ?1 ? t ? OB, PQ 在t0 时取得最小值,当 0 ? t0 ?
时,夹角 ? 的取值范围为 A. ? 0,

uur

uuu r

uuu r

uur uuu r

uuu r uuu r

1 5

? ?

??
? 3?

B. ?

?? ? ? , ? ?3 2?

C. ?

? ? 2? ? ? 2? ? , ? D. ? 0, ? ?2 3 ? ? 3 ?

【知识点】向量.F2,F3 【答案解析】C 解析:解:由题意得

OA ? OB ? 2 ?1? cos? ? 2cos? , PQ ? OQ ? OP ? ?1 ? t ? OB ? tOA
? PQ ? PQ ? ?1 ? t ? OB ? t 2 OA ? 2t ?1 ? t ? OA ? OB =(1-t)2+4t2-4t
2 2 2 2 2

(1-t)cosθ 2 =(5+4cosθ )t +(-2-4cosθ )t+1 由二次函数知当上式取最小值时, t0 ?

1 ? 2 cos ? ,由题意可得 5 ? 4 cos ? 1 ? 2 cos ? 1 1 ? 2? 0? ? 解得 ? ? cos ? ? 0 ? ? ? ? ,所以 C 正确. 5 ? 4 cos ? 5 2 2 3

【思路点拨】根据向量的概念及运算可转化为二次函数问题,再根据三角函数 值求角.

第 II 卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.. 【题文】11.若 x ? 1 ? x ? 3 ? k 对任意的 x ? R 恒成立,则实数 k 的取值范围为_________. 【知识点】绝对值不等式.E2 【答案解析】 ? ??,4? 解析:解: 由绝对值不等式可知

x ?1 ? x ? 3 ? x ?1 ? 3 ? x ? 4?k ? 4 时,不等式对于任意实数恒成立.
【思路点拨】绝对值不等式的解法. 【题文】12.如图给出的是计算

1 1 1 1 的值的程序框图,其中判断框内应填 ? ? ? ??? ? 2 4 6 2014

入的是_______. 【知识点】程序框图.L1 【答案解析】i ≤ 2014 解析:解: 解 : 根 据 流 程 图 , 可 知

1 1 1 ; 第 2 次 循 环 : i=4 , S ? ? ; 2 2 4 1 1 1 第 3 次 循 环 : i=6 , S ? ? ? ; 2 4 6
第 1 次 循 环 : i=2 , S ? … 第 1007 次 循 环 : i=2014 , S ?

1 1 1 ? ? ? 2 4 6

?

1 ; 2014

此时,设置条件退出循环,输出 S 的值. 故 判 断 框 内 可 填 入 i ≤ 2014 . 故 答 案 为 : i ≤ 2014 . 【思路点拨】根 据 流 程 图 写 出 每 次 循 环 i , S 的 值 , 和 可确定退出循环的条件,得到答案. 【题文】13.已知圆 C 过点 ? ?1, 0 ? ,且圆心在 x 轴的负半轴上,直线 l : y ? x ? 1 被该圆所截 得的弦长为 2 2 ,则圆 C 的标准方程为________________.] 【知识点】圆的标准方程.H3
2 【答案解析】 ? x ? 3? ? y ? 4 解析:解:设圆心 C ? x,0? ,则圆的半径 r ? BC ? x ? 1 , 2

1 1 1 ? ? ? 2 4 6

?

1 比较即 2014

所以圆心到直线的距离 CD ?

x ?1 2

,弦长 AB ? 2 2 ,则 r ?

? x ? 1?
2

2

? 2 ? x ?1 整

理得:x=2(不合题意,舍去)或 x=-3, ∴圆心 C(-3,0) ,半径为 2,
2 则圆 C 方程为 ? x ? 3? ? y ? 4 . 2 2 故答案为: ? x ? 3? ? y ? 4 2

【思路点拨】根据题意设圆心 C 坐标为(x,0) ,根据圆 C 过(-1,0) ,利用两点间的距离 公式表示出圆的半径,利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线 l 的距离 d,根据已知的 弦长,利用垂径定理及勾股定理列出关于 x 的方程,求出方程的解得到圆心坐标及半径,写 出圆 C 的标准方程即可. 【题文】14.定义: min ?a, b? ? ?

? a, a ? b ?0 ? x ? 2 ,在区域 ? 内任取一点 ?b, a ? b ?0 ? y ? 6

p ? x, y ?,则x、y满足 min ? x 2 ? x ? 2 y, x ? y ? 4? ? x 2 ? x ? 2 y 的概率为__________.
【知识点】概率.E1

16 4 【答案解析】 P ? 3 ? 解析:解:解 :本 题 是 一 个 几 何 概 型 ,∵ 试 验 包 含 的 所 2? 6 9
有 事 件 对 应 的 集 合 Ω ={ ( x , y ) |0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 6} , ∴ S Ω =1 × 1=1 ∵ 满 足 条 件

的 事 件 A={ ( x , y ) |0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 6 , x +x+2y ≤ x+y+4} , 即 A={ ( x , y ) |0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 6 , y ≤ 4-x } , ? S A ?
2

2

? 4x ? x ? 0 ? 4 ? x ? dx ? ? 3 ?
2

2

1

3

? 2 16 ? | 0 ? ,所以由几 3 ?

16 4 何概型公式得到 P ? 3 ? 2? 6 9

【思路点拨】由题意可作图计算出概率的值. 【题文】 15. 已知 x ? 0, y ? 0,若 _______. 【知识点】基本不等式.E1 【答案解析】-4 < m < 2 解析:解:解 : 根 据 题 意 , x > 0 , y > 0 , 则

2 y 8x ? ? m 2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 x y

2y 8x ? 0, ? 0 , x y

2 y 8x 2 y 8x 2 y 8x ? 的 最 小 值 为 8, ? ?2 ? ? 8即 x y x y x y


2 y 8x ? ? m 2 ? 2m 恒 成 立 , 必 有 m 2 +2m < 8 恒 成 立 , m 2 +2m < 8 ? m 2 +2m-8 < 0 , x y

解 可 得 , -4 < m < 2 , 故 答 案 为 -4 < m < 2 . 【思路点拨】关 键 是 利 用 基 本 不 等 式 求 出

2 y 8x ? 的最小值. x y

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 【题文】16.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,且 a 2 ? c 2 ? b 2 ?

1 ac .. 2

(I)求 sin 2

A?C ? cos 2 B 的值; 2

(II)若 b ? 2,求?ABC 面积的最大值. 【知识点】解三角形.C8 【答案解析】(I) ? sin
2

A?C 1 ? cos 2 B ? ? (II) 2 4
2

15 解析:解:(I)在 ABC 中,由 3
2 2

2 2 2 余弦定理可知, a ? c ? b ? 2ac cos B ,由题意知 a ? c ? b ?

1 1 ac ? cos B ? ,又 2 4



ABC 中

A? B ?C ?? A?C ? ?B B cos B 1 sin 2 ? cos 2 B ? sin 2 ? cos 2 B ? cos 2 ? cos 2 B ? 2 cos 2 B ? ? 又 2 2 2 2 2

cos B ?

1 A?C 1 ? sin 2 ? cos 2 B ? ? 4 2 4

(Ⅱ)∵b=2 ,∴由 a 2 ? c 2 ? b 2 ? 即

1 1 ac 可知, a 2 ? c 2 ? 4 ? ac , 2 2

1 8 ac ? 2ac ? 4 ,∴ ac ? ,……………………8 分 2 3

∵ cos B ? ∴ S ?ABC ?

15 1 ,∴ sin B ? ………………10 分 4 4 1 1 8 15 15 . ac ? sin B ? ? ? ? 2 2 3 4 3
15 .…………………………12 3

∴△ABC 面积的最大值为

【思路点拨】由余弦定理可求出角 B 的值,再计算所求的值,再由公式求出面积. 【题文】17.(本小题满分 12 分) 如图,在七面体 ABCDMN 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形, MD ? 平面 ABCD, NB ? 平面 ABCD,且 MD ? 2,NB ? 1,MB与ND交于P点. (I)在棱 AB 上找一点 Q,使 QP//平面 AMD,并给出证明; (II)求平面 BNC 与平面 MNC 所成锐二面角的余弦值. 【知识点】直线与平面的位置关系;二面角.G3,G10 【答案解析】 (I)略(II) cos ? ?

n1 ? n2 n1 ? n2

?

4 2 解: 证明: ∵MD ? ? 解析: 3? 2 3

平面 ABCD,NB ? 平面 ABCD,∴MD//NB,…………2 分 ∴

QB 1 QB NB BP NB 1 ,…………4 分 ? ,∴ ? ? ? ,又 PM MD 2 QA 2 QA MD

∴在 MAB 中,OP//AM,

又 OP ? 面 AMD,AM ? 面 AMD,∴ OP // 面 AMD.…………6分 (Ⅱ) 解: 以 DA、 DC、 DM 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴, 建立空间直角坐标系, 则D (0,0,0) , B(2,2,0) ,C(0,2,0) ,M(0,0,2)N(2,2,1) ,∴ CM =(0,-2,2) ,CN =(2,0,1) , DC = (0,2,0) ,………………7 分 设平面 CMN 的法向量为 n1 =(x,y,z)则 ? ∴ n1 =(1,-2,-2).………………9 分 又 NB ? 平面 ABCD, ∴NB ? DC, BC ? DC, ∴DC ? 平面 BNC, ∴平面 BNC 的法向量为 n2 = DC = (0,2,0) ,………………11 分 设所求锐二面角为 ? ,则 cos ? ?

? ?n1 ? CM ? 0 ? ?n1 ? CN ? 0

,∴ ?

??2 y ? 2 x ? 0 , ?2 x ? z ? 0

n1 ? n2 n1 ? n2

?

4 2 ? .………………12 分 3? 2 3

【思路点拨】 由已知条件可证明直线与平面的位置关系; 再利用向量法求出二面角的余弦值. 【题文】18.(本小题满分 12 分) 某高校自主招生选拔共有三轮考核, 每轮设有一个问题, 能正确回答问题者进入下一轮考核, 否则即被淘汰.已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 、 、 ,且各轮 问题能否正确回答互不影响。 (I)求该同学被淘汰的概率; (II)该同学在选拔中回答问题的个数记为 ? ,求随机变量 ? 的分布列与数学期望. 【知识点】概率;随机变量的分布列与数学期望.K1,K6 【答案解析】(I)

4 3 2 5 5 5

101 (II) 125

1 8 12 57 E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 5 25 25 25
析:解:(I)记“该同学能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 A ? i ? 1, 2,3? 则



4 3 2 P ? A1 ? ? , P ? A2 ? ? , P ? A3 ? ? ,所以该同学被淘汰的概率 5 5 5 1 4 2 4 3 3 101 P ? P A1 ? A1 A2 ? A1 A2 A3 ? ? ? ? ? ? ? 5 5 5 5 5 5 125

?

?

(II) ? 的可能值为 1,2,3,

1 8 12 P ?? ? 1? ? P A1 ? , P ?? ? 2 ? ? P A1 A2 ? , P ?? ? 3? ? ,所以 ? 的分布列为 5 25 25

? ?

?

?

∴ E? ? 1? ? 2 ?

1 5

8 12 57 ? 3? ? 25 25 25

【思路点拨】根据已知求出事件的概率,再列出随机变量的情况求出分布列及数学期望. 【题文】19.(本小题满分 12 分)
2 设数列 ?an ? 的各项都是正数, 且对任意 n ? N * , 都有 an 其中 S n 为数列. ? 2 S n ? an ,

?an ?

的前 n 项和. (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)设 bn ? 3n ? ? ?1?
n ?1

,试确定 ? 的值,使得对任意 .? ? 2a n ( ? 为非零整数, n ? N * )

n ? N * ;都有 bn ?1 ? bn 成立.
【知识点】数列的通项公式;数列的应用.D1,D5 【 答 案 解 析 】 (I)

an ? n(n ? N* ) (II) 略 解 析 : 解 :( Ⅰ ) ∵ n ? N * 时 ,

2 an ? 2 S n ? an ,……………①
2 当 n ? 2 时, an ?1 ? 2 S n ?1 ? an ?1 ,………………②………………2 分 2 2 由①-②得, an ? an ?1 ? (2 S n ? an ) ? (2 S n ?1 ? an ?1 ) 2 2 即 an ? an ?1 ? an ? an ?1 ,∵ an ? an ?1 ? 0

∴ an ? an?1 ? 1(n ? 2) ,………………4 分

由已知得,当 n ? 1 时, a12 ? 2 S1 ? a1 ,∴ a1 ? 1 .………………5分 故数列 {an } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列.∴ an ? n(n ? N ) . …………6分
*

(Ⅱ)∵ an ? n(n ? N ) ,∴ bn ? 3 ? (?1)
*

n

n ?1

? ? 2 n ,…………7 分

∴ bn ?1 ? bn ? 3

n ?1

? 3n ? (?1) n ? ? 2n ?1 ? (?1) n ?1 ? ? 2n ? 2 ? 3n ? 3? ? (?1) n ?1 ? 2n .

3 2 3 n ?1 3 (1)当 n 为奇数时,即 ? ? ( ) 恒成立.又 ( ) n ?1 的最小值为,∴ ? ? 1 . ……9 分 2 2 3 3 n ?1 3 3 (2)当 n 为偶数时,即 ? ? ?( ) 恒成立.又 ?( ) n ?1 的最大值为 ? ,∴ ? ? ? …10分 2 2 2 2
要使得 bn ?1 ? bn 恒成立,只须 (?1) n ?1 ? ? ? ( ) n ?1 . …………8分

∴由(1),(2)得 ?

3 ? ? ? 1 ,又 ? ? 0 且 ? 为整数,……………………11分 2
………………12分

∴ ? ? ?1 对所有的 n ? N* ,都有 bn ?1 ? bn 成立.

【思路点拨】根据前 n 项与通项的关系求出通项公式,再根据题意分情况讨论证明. 【题文】20.(本小题满分 13 分)

x2 y 2 ? 3? 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 过点 ? 1, ? ,且长轴长等于 4. a b ? 2?
(I)求椭圆 C 的方程; (II) F1,F2 是椭圆 C 的两个焦点, e O 是以 F1,F2 为直径的圆,直线 l : y ? kx ? m与 e O 相切,并与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,若 OA ? OB = ? 【知识点】椭圆的标准方程;直线与椭圆的关系.H5,H8 【答案解析】 (I)

uur uuu r

3 ,求 k 的值. 2

x2 y2 2 解析: 解: (Ⅰ) 由题意, 椭圆的长轴长 2a ? 4 , ? ? 1 (II) ? 4 3 2

得 a ? 2 ,…………2 分 ∵点 ?1, ? 在椭圆上,∴

? 3? ? 2?

1 9 ? 2 ? 1 得 b 2 ? 3 ,…………4分 4 4b

∴椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1 .………………6 分 4 3

(II)由直线 L 与圆 O 相切,得

m 1? k
2

? 1 ,即 m2 ? 1 ? k 2 ,设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 由

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 消去 y,整理得 ? 3 ? 4k ? x ? 8kmx ? 4m ? 12 ? 0 ,由题意可知圆 O 在椭圆 3 ?4 ? y ? kx ? m ?
内,所以直线必与椭圆相交 x1 ? x2 ? ?

8km 4m2 ? 12 , x ? x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

y1 ? y2 ? ?kx1 ? m ??kx2 ? m ? ? k 2 x1 ? x2 ? km? x1 ? x2 ? ? m 2 ? k2 ? 4m 2 ? 12 3m 2 ? 12k 2 ? 8km ? 2 ? km ? ? m ? . ? ? 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ? 3 ? 4k ?
…………10 分

4m 2 ? 12 3m 2 ? 12k 2 7 m 2 ? 12k 2 ? 12 ? ? , ………………11 分 ∴ x1 ? x2 ? y1 y2 ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

∵ m 2 ? 1 ? k 2 ,∴ x1 ? x2 ? y1 y2 ?

? 5 ? 5k 2 .………………12 分 3 ? 4k 2

∵ OA ? OB ? ?

? 5 ? 5k 2 3 2 3 1 ,∴ .…………13 分 ? ? , k 2 ? ,得 k 的值为 ? 2 3 ? 4k 2 2 2 2

【思路点拨】 根据题意可直接求出椭圆的标准方程, 再根据直线与椭圆的位置关系列出关系 式求出 K 的取值. 【题文】21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ?

ax ? b 在点 ? ?1,f ? ?1? ? 的切线方程为 x ? y ? 3 ? 0 . x2 ? 1

(I)求函数 f ? x ? 的解析式; (II)设 g ? x ? ? ln x ,求证: g ? x ? ? f ? x ? 在x ? ?1, ?? ? 上恒成立; (III)已知 0 ? a ? b,求证:

ln b ? ln a 2a . ? 2 b?a a ? b2

【知识点】导数;导数与不等式.B11,B12

2x ? 2 (II)略(III)略解析:解:解: (Ⅰ)将 x ? ?1 代入切线方 x2 ?1 b?a 程得 y ? ?2 , ∴ f (?1) ? ? ?2 ,…………2分 1?1
【答案解析】(I) f ( x) ? 化简得 b ? a ? ?4 . f ?( x) ?

a ( x 2 ? 1) ? (ax ? b) ? 2 x ,……………4分 (1 ? x 2 ) 2

2a ? 2(b ? a ) 2b b ? ? ? ?1 , 4 4 2 2x ? 2 解得: a ? 2, b ? ?2 .∴ f ( x) ? 2 . …………6分 x ?1 2x ? 2 (Ⅱ)由已知得 ln x ? 2 在 [1,??) 上恒成立, x ?1 f ?(?1) ?
化简 ( x ? 1) ln x ? 2 x ? 2 , 即 x 2 ln x ? ln x ? 2 x ? 2 ? 0 在 [1,??) 上恒成立.…………7分
2

设 h( x) ? x ln x ? ln x ? 2 x ? 2 , h ?( x) ? 2 x ln x ? x ?
2

1 ? 2 , …………8分 x

∵ x ?1

∴ 2 x ln x ? 0,

x?

1 ? 2 ,即 h ?( x) ? 0 ,…………9分 x

∴ h( x) 在 [1,??) 上 单 调 递 增 , h( x) ? h(1) ? 0 , ∴ g ( x) ? f ( x) 在 x ? [1,??) 上 恒 成 立 .…………10分 (Ⅲ)∵ 0 ? a ? b ,

b 2 ?2 b b ∴ ? 1 ,由(Ⅱ)知有 ln ? a , ……12 分 a ( b )2 ? 1 a a

整理得

ln b ? ln a 2a ln b ? ln a 2a ,∴当 0 ? a ? b 时, . …………14 分 ? 2 ? 2 2 b?a b?a a ?b a ? b2

【思路点拨】根据导数求出函数的解析式,再构造函数证明不等式.


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