郑州外国语学校2010—2011学年高二上学期期中考试--数学

郑州外国语学校 2010—2011 学年高二上学期期中考试

数学试题
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知数列 3 ,3, 15 ,?, 3(2n ?1) ,那么 9 是数列的 A.第 12 项 B.第 13 项
2

( D.第 15 项

)

C.第 14 项
2

2.下列四个命题:①若 a ? b,则 ac ? bc ;②若 a ? b ,且 ab ? 0,则 a
3 3

?1

? b?1 ;

③若 a ? b ? 0,c ? d ? 0,则 ac ? bd ;④ 若 a ? b,c ? d,则 a ? c ? b ? d . 其中正确命题的个数为 A.1 个 B.2 个 C.3 个
2

( D.4 个.

)

3.已知 a,b,c,d 成等比数列且曲线 y ? x ? 2x ? 3 的顶点是 (b,c) , 则 ad 等于 ( ) A.3 B.2 C.1 D. ?2

4.二次方程 x 2 ? (a 2 ? 1) x ? a ? 2 ? 0 ,有一个根比 1 大,另一个根比-1 小,则 a 的取值 范围 A.-3<a<1 B.-2<a<0 C.-1<a<0 D.0<a<2 ( D.不能确定 ) ( )

5.在△ABC 中∠A=60°,a= 6 ,b=4,满足条件的△ABC A.无解 B.有解 C.有两解

6.已知命题 P:若 a ? b ,则 c>d ,命题 Q:若 e ? f ,则 a ? b .若 P 为真且 Q 的否命题 为真, 则 “c ? d ” 是 “e ? f ”的 A.充分条件 C.充要条件 7.设函数 f ( x) ? ? B.必要条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是 ? x ? 6, x ? 0
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( )

A

(?3,1) ? (3,??)

B (?3,1) ? (2,??) D (??,?3) ? (1,3)

C (?1,1) ? (3,??)

8.命题 p ::若 a, b ? R ,则 a ? b ? 1 是 a ? b ? 1的充分不必要条件,命题 q :不等 式 x ? 1 ? 2 的解集是 (??,?1] ? [3,??) ,则 A. p 或 q 为假 C. p 真 q 假 B. p 且 q 为真 D. p 假 q 真 ( )

9.已知 {an } 是等差数列, a1 ? a2 ? 4 , a7 ? a8 ? 28 ,则该数列前 10 项和 S10 等于( ) A.64 B.100 C.110 D.120 )

10. 锐角三角形的两个内角 A 和 B 满足 tan A ?

1 ? tan B ,则有 ( sin 2 A

A. sin 2 A ? cos B ? 0     B. sin 2 A ? cos B ? 0 C. sin 2 A ? sin B ? 0     D. sin 2 A ? sin B ? 0

? 2 x ? y ? 4, ? 11(文)设 x, y 满足 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? y ? x ? 2 y ? 2, ?
A.有最小值 2,最大值 3 C.有最大值 3,无最小值 B.有最小值 2,无最大值 D.既无最小值,也无最大值

(

)

?3x ? y ? 6 ? 0 ? (理)设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的值 ? x ? 0, y ? 0 ?
是最大值为 12,则 A.

25 6

2 3 ? 的最小值为 a b 8 B. 3

( C.

)

11 3

D. 4 ( )

12. O 是△ABC 的外心,且 3OA ? 4OB ? 5OC ? 0 ,则△ABC 的内角 C = A

? 2

B.

? 3
高二数学

C.

? 4
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D.

? 6

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二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) ? 1 1? 13. 若不等式ax2 ? bx ? 2 ? 0的解集为 ___ ? x ? ? x ?, 则a ? b ? __________ 2 3? ? 14(文)有下列四个命题:(1) “若 X+Y=0,则 X,Y 互为相反数”的逆命题; 2 (2) “全等三角形的面积相等”的否命题。 (3) “若 q≤1,则 x +2x+q=0 有实根”的逆否 命题; (4) “不等边的三角形的三个内角相等”的逆命题. 其中真命题的是 .

1 1 当 x ? 0时, x ? 1 ? 2 ;○ 2 0 ? x ? 2时,x ? 无最大值; (理)下列四个命题:○ x x
③x?
2 5 5 时, x ? 4 x ? 5 有最小值 ;④ 当a ? 0,b ? 0时,不等式 | a ? b | ? a ? b 恒成 2x ? 4 2 4

立.其中正确命题的序号有 . 15.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:

则第 n 个图案中有白色地面砖 块. 16. 已知钝角△ABC 的三边 a=k,b=k+2,c=k+4,求 k 的取值范围 . 三.解答题(17 题 10 分,18-22 每题 12 分,共 70 分) 17(10 分)已知 A 、 B 、 C 为 ?ABC 的三内角,且其对边分别为 a 、 b 、 c ,若
cos B cos C ? sin B sin C ? 1. (Ⅰ)求 2

A ; (Ⅱ)若 a ? 2 3, b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积.

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2 2 18(12 分)已知命题 p :方程 a x ? ax ? 2 ? 0 在[-1,1]上有解;命题 q :只有一个

实数 x 满足不等式 x ? 2ax ? 2a ? 0 , 若命题“p 或 q”是假命题, 求实数 a 的取值范围.
2

19 设 ?an ? 是公差不为零的等差数列, Sn 为其前 n 项和,满足 a22 ? a32 ? a42 ? a52 , S7 ? 7 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 Sn ; (2)若

a m a m ?3 为数列 ?an ? 中的项,试求所有的正整数 m . am? 2

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20(12 分)某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位 的碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的 碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外,该儿童这两餐需要的营状 中至少含 64 个单位的碳水化合物和 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求, 并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?

21(本小题满分 12 分)已知 m ? 0且m ? 1 ,解关于 x 的不等式

mx ? 1. x?3

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22 (12 分) 已知数列 {an } 的首项是 a1 ? 1, 前n项和为S n , 且S n?1 ? 2S n ? 3n ? 1(n ? N* ). (I)设 bn ? an ? 3(n ? N* ),求数列 {bn }的通项公式;学科网 (II)设 cn ? log2 bn , 若存在常数k , 使不等式k ?

cn ? 1 (n ? N * )恒成立, 求k 的最小值. (n ? 25)cn

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2010-2011 学年上期期中考试高二年级数学试题答案
一、选择题 1-5CABCA 6-10ADDBA 11(文)B(理)A12.C 13.-14, 14.(文)①③(理)①④ 15. 4n+2 17. 解: (Ⅰ)? cos B cos C ? sin B sin C ?

16. (2,6)

1 2

? cos( B ? C ) ?

1 2

又? 0 ? B ? C ? ? ,? B ? C ?

?

3 2? ? A ? B ? C ? ? ,? A ? . 3
2 2 2

(Ⅱ)由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc ? cos A 得 (2 3 ) ? (b ? c) ? 2bc ? 2bc ? cos
2 2

2? 3

即: 12 ? 16 ? 2bc ? 2bc ? (? ) ,? bc ? 4

1 2

? S ?ABC ?

1 1 3 bc ? sin A ? ? 4 ? ? 3. 2 2 2

2 2 18 解:若命题 p 正确则: a ? 0 时方程 a x ? ax ? 2 ? 0 显然无解,故 a ? 0 ,

a ? 0 时 a 2 x 2 ? ax ? 2 ? 0 的两个根为 x1 ?
由题意得: ? 1 ?
2

1 2 , x2 ? a a

1 2 ? 1或 ? 1 ? ? 1 ,解得 a ? ?1或a ? 1 。 a a
2

若命题 q 正确则:方程 x ? 2ax ? 2a ? 0 的 ? ? 4a ? 8a ? 0 ,得 a ? 0或a ? 2 。 由已知得命题 p , q 为假命题,故 ? 1 ? a ? 1且a ? 0且a ? 2 所以实数 a 的取值范围是 a ? (?1,0) ? (0,1) 19. (1) 设公差为 d , 则 a2 因为 d
2 2 2 2 ?a5 ? a4 a ? 3

, 由性质得 ?3d (a4 , 又由 S7

? a3 ) ? d (a4 ? a3 ) ,
7?6 d ? 7, 2

? 0, 所以 a4 ? a3 ? 0 , 即 2a1 ? 5d? 0
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? 7 得 7a1 ?

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解得, a1

? ?5 , d ? 2 ,

(2) 方法一

am am?3 (2m ? 7)( 2m ? 1) = ,设 2 m ? 3 ? t , 2m ? 3 am? 2
所以 t 为 8 的约数因为 t 是奇数, 所以 t 可取的



a m a m ?3 (t ? 4)(t ? 2) 8 =t ?t ? ?2, t am? 2

值为 ? 1 当t ? 1, m ? 2时, t ?

8 ? 2 ? ?9, 数列?a n ? 中的最小项是 - 5,不符合; t

8 当t ? ?1, m ? 1时, t ? ? 2 ? 5,2 ? 6 ? 7 ? 5, 是数列?a n ? 中的项 . t
∴满足条件的 m 的取值为 1

a a (a ? 4)(am?2 ? 2) 8 方法二:因为 m m?3 ? m?2 ? a m? 2 ? ? 2为数列?an ? 中的项 am? 2 a m? 2 a m? 2


8 a m+2

为整数,又由(1)知: am?2 为奇数,所以 am?2 ? 2m ? 3 ? ?1,即m ? 1, 2

经检验,符合题意的正整数只有 m ? 1

.

20 解:设为该儿童分别预订 x 个单位的午餐和 y 个单位的晚餐,设费用为 F ,则 F ? 2.5 x ? 4 y ,由题意知:

12x ? 8 y ? 64 6 x ? 6 y ? 42 6 x ? 10y ? 54 x ? 0, y ? 0
画出可行域: 变换目标函数: y ? ?

5 F x? 8 4

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21.解:原不等式可化为:[x(m-1)+3](x-3)>0

时,-1 ? m ? 1 ? 0, ∴ ① 当 0 ? m ?1
∴ 不等式的解集是 ? x | 3 ? x ?

?

3 3 ? ? 3; m ?1 1 ? m

? ?

3 ? ?. 1? m?

3 ? 3; 1? m 3 ? ? ∴ 不等式的解集是 ? x | x ? 或x ? 3? . 1? m ? ?

时,1 ? m ? 0, ∴ ②当 m ? 1

时, 不等式的解集是 ? x | 3 ? x ? 综上①当 0 ? m ? 1
②当 m ? 1时, 不等式的解集是 ? x | x ?

? ?

3 ? ?. 1? m?

3 ? ? 或x ? 3? 1? m ? ? 22 解: (Ⅰ)? Sn?1 ? 2Sn ? 3n ? 1, ?当n ? 2时,Sn ? 2Sn?1 ? 3(n ?1) ? 1, 两式相减得

an?1 ? 2an ? 3, 从而 bn?1 ? an?1 ? 3 ? 2(an ? 3) ? 2bn (n ? 2) ,

? S2 ? 2S1 ? 3 ? 1, ? a2 ? a1 ? 4 ? 5 ,可知 b2 ? 0 .?bn ? 0
? bn ?1 b a ?3 8 ? 2(n ? 2), 又 2 ? 2 ? ? 2. b1 a1 ? 3 4 bn

(n ? 2) .

? 数列 ?bn ? 是公比为 2,首项为 4 的等比数列,
因此 bn ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 ( n?N )
*

(Ⅱ)据(Ⅰ) cn ? log2 bn ? log2 4 ? 2n?1 ? log2 2n?1 ? n ? 1

cn ? 1 n ? 1 ?1 n ? ? ? (n ? 25)cn (n ? 25)(n ? 1) (n ? 25)(n ? 1)
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1 1 1 ? ? , 25 2 ? 5 ? 26 36 n ? ? 26 n

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(当且仅当 n=5 时取等号).

故不等式k ?

1 cn ? 1 (n ? N * ) 恒成立, ? k ? , 36 (n ? 25)cn 1 36
.

因此 k 的最小值是

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