02.2014年高考理科数学分类汇编:不等式


不等式
E1 不等式的概念与性质 5. , ,[2014· 山东卷] 已知实数 x,y 满足 ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是( A. 1 1 > B. ln(x2+1)>ln(y2+1) x2+1 y2+1 1 1 [解析] 因为 ax<ay(0<a<1),所以 x>y,所以 sin x>sin y,ln(x2+1)>ln(y2+1), 2 > 2 都不 x +1 y +1 ) )

≤5}={x|0≤x<4}. 12. 、[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设函数 f(x)= 3sin 取值范围是( ) A.(-∞,-6)∪(6,+∞) B.(-∞,-4)∪(4,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) πx π 1? [解析] 函数 f(x)的极值点满足 = +kπ ,即 x=m? ?k+2?,k∈Z,且极值为± 3,问题等价于存 m 2 1 2 1 2 1 1 k0+ ? +3<m2.因为?k+ ? 的最小值为 ,所以只要 m2+3<m2 成立即可,即 m2>4,解得 在 k0 使之满足不等式 m2? 2? ? ? 2? 4 4 m>2 或 m<-2,故 m 的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞). 12.C E4 E5 简单的一元高次不等式的解法 简单的线性规划问题 πx 2 ,若存在 f(x)的极值点 x0 满足 x0 +[f(x0)]2<m2,则 m 的 m

C. sin x>sin y D. x3>y3 5.D

一定正确,故选 D. 4.[2014· 四川卷] 若 a>b>0,c<d<0,则一定有( a b A. > c d a b B. < c d

a b a b C. > D. < d c d c 1 1 1 1 a b a b 4.D [解析] 因为 c<d<0,所以 < <0,即- >- >0,与 a>b>0 对应相乘得,- >- >0,所以 < . d c d c d c d c 故选 D. E2 绝对值不等式的解法 9. 、[2014· 安徽卷] 若函数 f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为 3,则实数 a 的值为( A.5 或 8 B.-1 或 5 C.-1 或-4 D.-4 或 8 9.D [解析] 当 a≥2 时,

x+y-2≤0, ? ? 5.[2014· 安徽卷] x,y 满足约束条件?x-2y-2≤0,若 z=y-ax 取得 ? ?2x-y+2≥0. 最大值的最优解不唯一 ,则实数 a 的值为( ... )

)

1 1 A. 或-1 B.2 或 2 2 C.2 或 1 D.2 或-1 5.D [解析] 方法一:画出可行域,如图中阴影部分所示,可知点 A(0,2),B(2,0),C(-2,-2), 则 zA=2,zB=-2a, zc=2a-2. 要使对应最大值的最优解有无数组, 只要 zA=zB>zC 或 zA=zC>zB 或 zB=zC>zA, 解得 a=-1 或 a=2. 方法二:画出可行域,如图中阴影部分所示,z=y-ax 可变为 y=ax+z,令 l0:y=ax,则由题意知 l0∥AB 或 l0∥AC,故 a=-1 或 a=2. x+y-2≥0, ? ? 6.[2014· 北京卷] 若 x,y 满足?kx-y+2≥0, ? ?y≥0, 且 z=y-x 的最小值为-4,则 k 的值为( 1 A.2 B.-2 C. 2 综上可知, a 6.D D.- 1 2 )

? ?x+a-1?-a≤x≤-1?, ? 2 ? f(x)=? a? ? ?-3x-a-1? ?x<-2?.
a? a a 由图可知,当 x=- 时,fmin(x)=f? ?-2?=2-1=3,可得 a=8. 2 x>- ?, 3x+a+1? ? 2? ? ? a? 当 a<2 时,f(x)? -x-a+1? ?-1≤x≤-2?, ? ?-3x-a-1(x<-1). a? a a 由图可知,当 x=- 时,fmin(x)=f? ?-2?=-2+1=3,可得 a=-4. 2 a

3x+a+1(x>-1),

[解析] 可行域如图所示,当 k>0 时,知 z=y-x 无最小值,当 k<0 时,目标函数线过可行域内 A 点

的值为-4 或 8. E3 一元二次不等式的解法 2. 、[2014· 全国卷] 设集合 M={x|x2-3x-4<0},N={x|0≤x≤5},则 M∩N=( ) A.(0,4] B.[0,4) C.[-1,0) D.(-1,0] 2.B [解析] 因为 M={x|x2-3x-4<0}={x|-1<x<4},N={x|0≤x≤5},所以 M∩N={x|-1<x<4}∩{0≤x
1

? ?y=0, 2 2 1 - ,0?,故 zmin=0+ =-4,即 k=- . 时 z 有最小值.联立? 解得 A? k ? ? k 2 ?kx-y+2=0, ?

11.[2014· 福建卷] 若变量 x,y 满

x-y+1≤0, ? ? 足约束条件?x+2y-8≤0,则 z= ? ?x≥0,

x-y≥0, ? ? 14.[2014· 全国卷] 设 x,y 满足约束条件?x+2y≤3,则 z=x+4y 的最大值为________. ? ?x-2y≤1,

3x+y 的最小值为________. 11.1 [解析] 作出不等式组表示的平面区域(如图所示), 14.5 [解析] 如图所示,满足约束条件的可行域为△ABC 的内部(包括边界), z=x+4y 的最大值即为直线 y 1 1 1 1 =- x+ z 的纵截距最大时 z 的值.结合题意,当 y=- x+ z 经过点 A 时,z 取得最大值. 4 4 4 4
? ?x-y=0, 由? 可得点 A 的坐标为(1,1), ?x+2y=3, ?

把 z=3x+y 变形为 y=-3x+z,则当直线 y=3x+z 经过点(0,1)时,z 最小,将点(0,1)代入 z=3x+y,得 zmin=1,即 z=3x+y 的最小值为 1. y≤x, ? ? 3.[2014· 广东卷] 若变量 x,y 满足约束条件?x+y≤1,且 z=2x+y 的最大值和最小值分别为 m 和 n,则 m ? ?y≥-1, -n=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 3.B [解析] 本题考查运用线性规划知识求目标函数的最值,注意利用数形结合思想求解.画出不等式组 表示的平面区域,如图所示.

所以 zmax=1+4=5.
?x+y≥1, ? 9. 、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 不等式组? 的解集记为 D,有下面四个命题: ? ?x-2y≤4

p1:?(x,y)∈D,x+2y≥-2, p2:?(x,y)∈D,x+2y≥2, p3:?(x,y)∈D,x+2y≤3, p4:?(x,y)∈D,x+2y≤-1. 其中的真命题是( ) A.p2,p3 B.p1,p2 C.p1,p4 D.p1,p3 9.B [解析] 不等式组表示的区域 D 如图中的阴影部分所示,设目标函数 z=x+2y,根据目标函数的几何 意义可知,目标函数在点 A(2,-1)处取得最小值,且 zmin=2-2=0,即 x+2y 的取值范围是[0,+∞),故命题 p1,p2 为真,命题 p3,p4 为假. x+y-7≤0, ? ? 9.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设 x,y 满足约束条件?x-3y+1≤0,则 z=2x-y 的最大值为( ? ?3x-y-5≥0, A.10 B.8 C.3 D.2 9.B [解析] 已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示,根据目标函数的几何意义可知,目标 函数在点 A(5,2)处取得最大值,故目标函数的最大值为 2×5-2=8.

当目标函数线经过点 A(-1,-1)时,z 取得最小值;当目标函数线经过点 B(2,-1)时,z 取得最大值.故 m =3,n=-3,所以 m-n=6. ?y≤x, 14.[2014· 湖南卷] 若变量 x,y 满足约束条件?x+y≤4,且 z=2x+y 的最小值为-6,则 k=________.

)

?

? ?y≥k,

14.-2 [解析] 画出可行域,如图中阴影部分所示,不难得出 z=2x+y 在点 A(k,k)处取最小值,即 3k= -6,解得 k=-2.
2

?x-y-1≤0, ? 9.[2014· 山东卷] 已知 x,y 满足约束条件? 当目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件 ? ?2x-y-3≥0,

下取到最小值 2

5时,a2+b2 的最小值为(

)

3

A. 5 B. 4 C. 5 D. 2 9.B [解析] 画出约束条件表示的可行域(如图所示). 显然,当目标函数 z=ax+by 过点 A(2,1)时,z 取得最小值,即 2 a +b2=a2+(2 5-2a)2=5a2-8 5a+20,构造函数 m(a)=5a2-8
2

5=2a+b,所以 2 5-2a=b,所以 5a+20( 5>a>0),利用二次函数求最 =4,即 a2+b2 的最小值为 4.故选 B. 两式相减得,m-n=y-x, 令 y-x=t,由图知,当直线 y=x+t 过点 B(2,3)时,t 取得最大值 1,故 m-n 的最大值为 1. 5. ,[2014· 四川卷] 执行如图 11 所示的程序框图,如果输入的 x,y∈R,那么输出的 S 的最大值为(

4×5×20-(8 值,显然函数 m(a)=5a2-8 5a+20 的最小值是 4×5

5) 2

)

18. ,[2014· 陕西卷] 在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,1),B(2,3),C(3,2),点 P(x,y)在△ABC 三边围 成的区域(含边界)上. → → → → (1)若PA+PB+PC=0,求|OP|; → → → (2)设OP=mAB+nAC(m,n∈R),用 x,y 表示 m-n,并求 m-n 的最大值. → → → 18.解:(1)方法一:∵PA+PB+PC=0, → → → 又PA+PB+PC=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),
?6-3x=0, ?x=2, ? ? ∴? 解得? ?6-3y=0, ?y=2, ? ?

图 11 A.0 B.1 C.2 D.3 x+y≤1, ? ? 5. C [解析] 题中程序输出的是在?x≥0, 的条件下 S=2x+y 的最大值与 1 中较大的数. 结合图像可得, ? ?y≥0 当 x=1,y=0 时,S=2x+y 取得最大值 2,2>1,故选 C.

→ → 即OP=(2,2),故|OP|=2 2. → → → 方法二:∵PA+PB+PC=0, → → → → → → 则(OA-OP)+(OB-OP)+(OC-OP)=0, → 1 → → → ∴OP= (OA+OB+OC)=(2,2), 3 → ∴|OP|=2 2. → → → (2)∵OP=mAB+nAC, ∴(x,y)=(m+2n,2m+n),
? ?x=m+2n, ∴? ?y=2m+n, ?

x+y-2≥0, ? ? 2.[2014· 天津卷] 设变量 x,y 满足约束条件?x-y-2≤0,则目标函数 z=x+2y 的最小值为( ? ?y≥1, A.2 B.3 C.4 D.5
? ?x+y-2=0, ? ?x=1, 2.B [解析] 画出可行域,如图所示.解方程组? 得? 即点 A(1,1). ?y=1, ?y=1, ? ?

)

4

r - 2 6-r ?b? 6-r 6-3 3 14.2 [解析] Tr+1=Cr ·?x? =Cr ·brx12 3r,令 12-3r=3,得 r=3,所以 C3 b =20,即 a3b3 6(ax ) 6a 6a

=1,所以 ab=1,所以 a2+b2≥2ab=2,当且仅当 a=b,且 ab=1 时,等号成立.故 a2+b2 的最小值是 2. → → 10. , [2014· 四川卷] 已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点, 点 A, B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧, OA· OB=2(其 中 O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( 17 2 A.2 B.3 C. 8 当目标函数线过可行域内 A 点时,目标函数有最小值,即 zmin=1×1+2×1=3. ?x+2y-4≤0, 13. [2014· 浙江卷] 当实数 x,y 满足?x-y-1≤0, 时,1≤ax+y≤4 恒成立,则实数 a 的取值范围是 D. 10 )

?

10.B

1 ? → → 2 2 2 2 [解析] 由题意可知,F? ?4,0?.设 A(y1,y1),B(y2,y2),∴OA·OB=y1y2+y1y2=2,

? ?x≥1

解得 y1y2=1 或 y1y2=-2.又因为 A,B 两点位于 x 轴两侧,所以 y1y2<0,即 y1y2=-2. y1-y2 1 2 当 y2 (x-y2 (x-y2 1≠y2时,AB 所在直线方程为 y-y1= 2 1)= 1), y1-y2 y1+y2 2 令 y=0,得 x=-y1y2=2,即直线 AB 过定点 C(2,0). 1 1 1 1 1 1 于是 S△ABO+S△AFO=S△ACO+S△BCO+S△AFO= ×2|y1|+ ×2|y2|+ × |y1|= (9|y1|+8|y2|)≥ ×2 9|y1|×8|y2|= 2 2 2 4 8 8
2 3,当且仅当 9|y1|=8|y2|且 y1y2=-2 时,等号成立.当 y2 1=y2时,取 y1= 2,y2=- 2,则 AB 所在直线的方程

________. 3? 13.? ?1,2? 3? [解析] 实数 x,y 满足的可行域如图中阴影部分所示,图中 A(1,0),B(2,1),C? ?1,2?.当 a≤0 3 时,0≤y≤ ,1≤x≤2,所以 1≤ax+y≤4 不可能恒成立;当 a>0 时,借助图像得,当直线 z=ax+y 过点 A 时 z 2 1≤a≤4, 取得最小值,当直线 z=ax+y 过点 B 或 C 时 z 取得最大值,故

? ?1≤2a+1≤4, 3 3 1, ?. 解得 1≤a≤ .故 a∈? ? 2? ? 2 3 1 ≤ a + ≤ 4 , ? ? 2

1 1 1 17 2 17 2 为 x=2,此时求得 S△ABO+S△AFO=2× ×2× 2+ × × 2= ,而 >3,故选 B. 2 2 4 8 8 14. ,[2014· 四川卷] 设 m∈R,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx-y-m+3=0 交于点 P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是________. 14.5 [解析] 由题意可知,定点 A(0,0),B(1,3),且两条直线互相垂直,则其交点 P(x,y)落在以 AB 为 直径的圆周上, 所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10. ∴|PA||PB|≤ |PA|2+|PB|2 =5, 2

当且仅当|PA|=|PB|时等号成立. E6 基本不等式 ab ?

a?b 2

3 4 5 16. 、[2014· 辽宁卷] 对于 c>0,当非零实数 a,b 满足 4a2-2ab+4b2-c=0 且使|2a+b|最大时, - + 的最 a b c 小值为________. 16.-2 [解析] 由题知 2c=-(2a+b)2+3(4a2+3b2). 1? 5 2 2 2 3 2 2 (4a2+3b2)? ?1+3?≥(2a+b) ?4a +3b ≥4(2a+b) ,即 2c≥4(2a+b) , 4a2 3b2 当且仅当 = ,即 2a=3b=6λ(同号)时, 1 1 3 8 |2a+b|取得最大值 c,此时 c=40λ2. 5 2 3 4 5 1 1 1? 1 -4? -2≥-2, - + = 2- = a b c 8λ 8?λ ? λ 3 1 5 3 4 5 当且仅当 a= ,b= ,c= 时, - + 取最小值-2. 4 2 2 a b c b 6 ax2+ ? 的展开式中 x3 项的系数为 20,则 a2+b2 的最小值为________. 14. ,[2014· 山东卷] 若? x? ?
5

E7 不等式的证明方法 20.[2014· 北京卷] 对于数对序列 P:(a1,b1),(a2,b2),…,(an,bn),记 T1(P)=a1+b1,Tk(P)=bk+max{Tk-1(P),a1+a2+…+ak}(2≤k≤n), 其中 max{Tk-1(P),a1+a2+…+ak}表示 Tk-1(P)和 a1+a2+…+ak 两个数中最大的数. (1)对于数对序列 P:(2,5),(4,1),求 T1(P),T2(P)的值; (2)记 m 为 a,b,c,d 四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列 P:(a,b),(c, d)和 P′:(c,d),(a,b),试分别对 m=a 和 m=d 两种情况比较 T2(P)和 T2(P′)的大小; (3)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列 P 使 T5(P)最小,并写出 T5(P)的值.(只需写出结论) 20.解:(1)T1(P)=2+5=7, T2(P)=1+max{T1(P),2+4}=1+max{7,6}=8. (2)T2(P)=max{a+b+d,a+c+d}, T2(P′)=max{c+d+b,c+a+b}. 当 m=a 时,T2(P′)=max{c+d+b,c+a+b}=c+d+b. 因为 a+b+d≤c+b+d,且 a+c+d≤c+b+d,所以 T2(P)≤T2(P′). 当 m=d 时,T2(P′)=max{c+d+b,c+a+b}=c+a+b. 因为 a+b+d≤c+a+b,且 a+c+d≤c+a+b,所以 T2(P)≤T2(P′).

所以无论 m=a 还是 m=d,T2(P)≤T2(P′)都成立. (3)数对序列 P:(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的 T5(P)值最小, T1(P)=10,T2(P)=26,T3(P)=42,T4(P)=50,T5(P)=52. 19. 、 、[2014· 天津卷] 已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数.设集合 M={0,1,2,…,q-1}, - 集合 A={x|x=x1+x2q+…+xnqn 1,xi∈M,i=1,2,…,n}. (1)当 q=2,n=3 时,用列举法表示集合 A. - - (2)设 s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn 1,t=b1+b2q+…+bnqn 1,其中 ai,bi∈M,i=1,2,…,n.证明: 若 an<bn,则 s<t. 19.解:(1)当 q=2,n=3 时,M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·22,xi∈M,i=1,2,3},可得 A={0, 1,2,3,4,5,6,7}. - - (2)证明:由 s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn 1,t=b1+b2q+…+bnqn 1,ai,bi∈M,i=1,2,…,n 及 an<bn, 可得 - - s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+(an-1-bn-1)qn 2+(an-bn)qn 1 - - ≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)qn 2-qn 1 = (q-1)(1-q 1-q
n-1

a? a a 由图可知,当 x=- 时,fmin(x)=f? ?-2?=-2+1=3,可得 a=-4.综上可知,a 的值为-4 或 8. 2 13.[2014· 福建卷] 要制作一个容积为 4 m3,高为 1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方 米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是________(单位:元). 13.160 4 [解析] 设底面矩形的一边长为 x,由容器的容积为 4 m3,高为 1 m 得,另一边长为 m. x

记容器的总造价为 y 元,则 4? y=4×20+2? ?x+x?×1×10 4? =80+20? ?x+x? ≥80+20×2 x· 4 x

) n-1 -q

=-1<0, 所以 s<t. E8 不等式的综合应用 9. 、[2014· 安徽卷] 若函数 f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为 3,则实数 a 的值为( A.5 或 8 B.-1 或 5 C.-1 或-4 D.-4 或 8 9.D [解析] 当 a≥2 时,

)

=160(元), 4 当且仅当 x= ,即 x=2 时,等号成立. x 因此,当 x=2 时,y 取得最小值 160 元, 即容器的最低总造价为 160 元. 21. , , ,[2014· 陕西卷] 设函数 f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中 f′(x)是 f(x)的导函数. (1)令 g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求 gn(x)的表达式; (2)若 f(x)≥ag(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)设 n∈N+,比较 g(1)+g(2)+…+g(n)与 n-f(n)的大小,并加以证明. x 21.解:由题设得,g(x)= (x≥0). 1+x (1)由已知,g1(x)= x , 1+x

? ?x+a-1?-a≤x≤-1?, ? 2 ? f(x)=? a? ? ?-3x-a-1? ?x<-2?.

3x+a+1(x>-1),

a? a a 由图可知,当 x=- 时,fmin(x)=f? ?-2?=2-1=3,可得 a=8. 2

x 1+x x g2(x)=g(g1(x))= = , x 1+2x 1+ 1+x g3(x)= x x ,…,可得 gn(x)= . 1+3x 1+nx

? ?3x+a+1? ?x>-2?, ? a? 当 a<2 时,f(x)? -x-a+1? ?-1≤x≤-2?, ? ?-3x-a-1(x<-1).

a

下面用数学归纳法证明. x ①当 n=1 时,g1(x)= ,结论成立. 1+x x ②假设 n=k 时结论成立,即 gk(x)= . 1+kx

6

x 1+kx gk(x) x 那么,当 n=k+1 时,gk+1(x)=g(gk(x))= = = ,即结论成立. x 1+gk(x) 1+(k+1)x 1+ 1+kx 由①②可知,结论对 n∈N+成立. (2)已知 f(x)≥ag(x)恒成立,即 ln(1+x)≥ ax 设 φ(x)=ln(1+x)- (x≥0), 1+x 则 φ′(x)= x+1-a 1 a - = , 1+x (1+x)2 (1+x)2 ax 恒成立. 1+x

在(2)中取 a=1,可得 ln(1+x)>

x ,x>0. 1+x

n+1 1 1 令 x= ,n∈N+,则 ln > . n n n+1 1 故有 ln 2-ln 1> , 2 1 ln 3-ln 2> , 3 …… 1 ln(n+1)-ln n> , n+1 1 1 1 上述各式相加可得 ln(n+1)> + +…+ , 2 3 n+1 结论得证. x x 1 2 n 方法三:如图,?n dx 是由曲线 y= ,x=n 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积,而 + +…+ 是 2 3 x+1 n+1 ? x+1
0

当 a≤1 时,φ′(x)≥0(仅当 x=0,a=1 时等号成立), ∴φ (x)在[0,+∞)上单调递增,又 φ(0)=0, ∴φ (x)≥0 在[0,+∞)上恒成立, ax ∴a≤1 时,ln(1+x)≥ 恒成立(仅当 x=0 时等号成立). 1+x 当 a>1 时,对 x∈(0,a-1]有 φ′(x)<0, ∴φ (x)在(0,a-1]上单调递减, ∴φ (a-1)<φ(0)=0. 即 a>1 时,存在 x>0,使 φ(x)<0, 故知 ln(1+x)≥ ax 不恒成立. 1+x

图中所示各矩形的面积和,

综上可知,a 的取值范围是(-∞,1]. 1 2 n (3)由题设知 g(1)+g(2)+…+g(n)= + +…+ , 2 3 n+1 比较结果为 g(1)+g(2)+…+g(n)>n-ln(n+1). 证明如下: 1 1 1 方法一:上述不等式等价于 + +…+ <ln(n+1), 2 3 n+1 在(2)中取 a=1,可得 ln(1+x)> x ,x>0. 1+x

1 2 n x ∴ + +…+ > n dx= 2 3 n+1 ? x + 1 ?
0

1 ? n?1- ? x + 1?dx=n-ln(n+1), ? ?0 结论得证. E9 单元综合

n+1 1 1 令 x= ,n∈N+,则 <ln . n n n+1 下面用数学归纳法证明. 1 ①当 n=1 时, <ln 2,结论成立. 2 1 1 1 ②假设当 n=k 时结论成立,即 + +…+ <ln(k+1). 2 3 k+1 k+2 1 1 1 1 1 那么,当 n=k+1 时, + +…+ + <ln(k+1)+ <ln(k+1)+ln =ln(k+2), 2 3 k+1 k+2 k+2 k+1 即结论成立. 由①②可知,结论对 n∈N+成立. 1 1 1 方法二:上述不等式等价于 + +…+ <ln(n+1), 2 3 n+1

3 4 5 16. 、[2014· 辽宁卷] 对于 c>0,当非零实数 a,b 满足 4a2-2ab+4b2-c=0 且使|2a+b|最大时, - + 的最 a b c 小值为________. 16.-2 [解析] 由题知 2c=-(2a+b)2+3(4a2+3b2). 1? 5 2 2 2 3 2 2 (4a2+3b2)? ?1+3?≥(2a+b) ?4a +3b ≥4(2a+b) ,即 2c≥4(2a+b) , 4a2 3b2 当且仅当 = ,即 2a=3b=6λ(同号)时, 1 1 3 8 |2a+b|取得最大值 c,此时 c=40λ2. 5 2 3 4 5 1 1 1? 1 - + = = λ -4? -2≥-2, 2- a b c 8λ 8? ? λ 3 1 5 3 4 5 当且仅当 a= ,b= ,c= 时, - + 取最小值-2. 4 2 2 a b c 12. 、[2014· 辽宁卷] 已知定义在[0,1]上的函数 f(x)满足:
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①f(0)=f(1)=0; 1 ②对所有 x,y∈[0,1],且 x≠y,有|f(x)-f(y)|< |x-y|. 2 若对所有 x,y∈[0,1],|f(x)-f(y)|<k 恒成立,则 k 的最小值为( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 4 8 2π 12.B [解析] 不妨设 0≤y<x≤1. 1 1 1 1 当 x-y≤ 时,|f(x)-f(y)|< |x-y|= (x-y)≤ . 2 2 2 4 1 1 当 x-y> 时,|f(x)-f(y)|=|f(x)-f(1)-(f(y)-f(0))|≤|f(x)-f(1)|+|f(y)-f(0)|< 2 2 1 1 1 1 1 |x-1|+ |y-0|=- (x-y)+ < .故 kmin= . 2 2 2 4 4

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