教育部课题2011入学高一(3、4)班必修5教学随笔

全国教育科学规划“十一五”教育部重点课题

《新教育实验与素质教育行动策略的研究》

子课题申报表









在高中数学教学中如何达到理想课堂

的实践

课 题 负 责 人 负责人所在单位 填 表 日 期

张 明 温州市瓯海区三溪中学 2009 年 5 月 11 号

新教育研究院课题管理中心
二○○九年二月

《1.1.1 正弦定理》
一、我们知道在三角形中知道大角对大边,大边对大角,小角对小边,小边对小角。这 是从宏观定性角度描述的一个有关三角形的性质。 如果从微观定量角度 (即要大大多少要小 小多少)来分析有什么结论? 答:这就是正弦定理,那正弦定理到底是个什么东西? 二、大自然是和谐美的有秩序的不是杂乱无章的。所以推测对任意三角形都成立。 三、1、问题:正弦定理是很美很漂亮的。正弦定理是三角形大角对大边,大边对大角, 小角对小边,小边对小角的一个非常漂亮的精确的描述与认识但还有个担心就是 sinA>sinB 就能 A>B 吗?如果不是那这个美好的大自然就是不完美了,被破坏了。 2、幸亏我们发现当 A、B 是三角形的两个内角时,sinA>sinB 推出 A>B,我们松了口 气 3、我上课总告诉你们,世界是美好的,我想纠正一下,大自然是美好的,人类不美好。 这个世界有战争、瘟疫、贫穷、疾病。有强者欺负弱者,有政府欺负百姓。我还是更喜欢大 自然对社会一般般。我希望的社会也像大自然一样美好、和谐、漂亮,有正弦定理与余弦定 理的美。

1.1.2 余弦定理
一、问如果三角形的两条边及其夹角已知,那这个三角形能不能确定?为什么? 答:能,根据三角形全等的判定方法即边角边(SAS)这个三角形大小形状是完全确定 的。但这是从宏观定性角度来分析,如果从微观定量(大小到底有多大,形状到底有多形) 我们是不知道的。为了解决这个问题,我们必须学习如下知识即余弦定理,余弦定理到底是 个什么东西?也就是从微观定量角度对边角边(SAS)做出精确的描述。 二、用向量推导余弦定理 分析:几何法技巧性高,思维不容易发生发展。向量法思维容易发生发展。 1、余弦定理给人一种什么感觉? 答:和谐对称美。 三、问如果三角形的三边确定,那这个三角形能不能确定? 答:能,根据三角形全等的判定方法即边边边(SSS)这个三角形大小形状都能确定。 但这是从宏观定性角度来分析, 如果从微观定量角度来分析只剩下三个角的大小是多少不能 确定,那如何办? 答: 余弦定理的变形就是对这种宏观定性的角度做出精确性的描述, 知道三个角到底有 多少。余弦定理的变形到底是什么东西? 答:余弦定理的变形就是从微观定量角度对边边边(SSS)这个三角形全等的判定方法 做出精确性的描述。 三、大家知道勾股定理吗?在直角三角形是这个结论,那如果是锐角三角形、钝角三角 形会是怎样的结论? 这个结论要结合图形,图形如右: 注:1、当 Rt⊿ABC 变为锐角⊿ABC 时,b 变长, c 变短。当 Rt⊿ABC 变为钝角三角形时, b 变长,c 也变长,但 c 比 b 多长一点。 2、让直角三角形的直角变大变小,则斜边也变大 变小,所以就可以得到结论。

答:余弦定理可以看做勾股定理的推广。 四、例 3 在⊿ABC 中,已知 b=60cm,c=34cm,A=41°,解三角形 例 4 在⊿ABC 中,已知 a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm,解三角形。 注:目的是熟悉公式。 例 5⊿ABC 中,如果有性质 acosA=bcosB,试问这个三角形的形状具有什么特点? 分析:解题就是思维如何发生发展,思维为什么要这样发生发展。所以一题二解,第一 解把边的关系转化为角的关系即 a/b=sinA/sinB。第二解把角的关系转化为边的关系,即利 用余弦定理的变形。 总结: sin2A=sin2B 时, 为什么有两答案, 可以用具体例子套一下就是 sin30°=sin150° 比如 2A=30°则 2B=30°或 150°。 总结:余弦定理到底是个什么东西?1、是对三角形全等判定方法边角边即 SAS 从微观 定量角度作出精确性的描述。余弦定理专干这种事。2、它是勾股定理在三角形中的推广。 余弦定理的变形到底是什么东西?1、它是三角形全等判定方法边边边即 SSS 从微观定 理角度作出精确性的分析。

1.2 应用举例
S? 1 1 1 ab sin C , S ? bc sin A, S ? ac sin B. 2 2 2

为什么有这个角度的三角形面积公式? 答:已知两边和夹角三角形就可以确定了。 例 10 在⊿ABC 中,求证: a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC c=acosB+bcosA 分析:几何法与代数法。几何法做高,代数法余弦定理的变形。 例 11 求半径是 R 的圆内接正 n 边形的面积。 例 12⊿ABC 的三边分别为 a、 c, BC、 b、 边 CA、 上的中线分别记为 ma、mb、mc , AB 应用余弦定理证明:

ma ?

1 1 1 2(b 2 ? c 2 ) ? a 2 , mb ? 2(a 2 ? c 2 ) ? b 2 , mc ? 2(a 2 ? b 2 ) ? c 2 . 2 2 2
2 2

例 13 在⊿ABC 中,求证 c(a cosB ? b cos A) ? a ? b . 分析:几何法:做边 AB 上的高。代数法:余弦定理的变形。 例 14 证明三角形的面积公式

S?

1 2 sin B sin C a 2 sin A

注:为什么有这个角度的三角形面积公式? 答:因为已知三个角与一条边这个三角形就能确定。 例 15 已知三角形的三边为 a、b、c 设 p ? ⑴三角形的面积 S ?

1 (a ? b ? c) ,求证: 2

p( p ? a)( p ? b)( p ? c)

⑵r 为三角形的内切圆半径,则

r?

( p ? a)( p ? b)( p ? c) p

⑶把 BC、CA、AB 上的高分别记为 ha、hb、hc , 则

ha ?

2 a

p( p ? a)( p ? b)( p ? c) , hb ?

2 2 p( p ? a)( p ? b)( p ? c) , hc ? p( p ? a)( p ? b)( p ? c) b c

反思:1、教材讲了三角行的许多面积公式。为什么?这符合我们人类的善良一面的本 性。人类善良一面的本性是什么?我们用世界级的大人物伯特兰?罗素来代表人类善良一面 的本性。罗素在《我为何而生》一文中说过,在这个世界上支撑我活下去的动力,便是三种极 其单纯然而又强烈的激情: 对爱情的渴望、 对知识的渴求以及对人类苦难痛彻肺腑的怜悯”。 这里罗素具有的优点人类也具有。 在这里对知识的渴求, 说明对探询到一个结论是远远满足 不了人类好奇心的,人类会继续探询其他结论,有没有结论更简洁、漂亮。三角形面积公式 有初中里学习过的 1/2 底乘高、有高中现在刚学的 1/2 边乘边乘 SIN 夹角。还有海伦公式。 并且在复习参考题 B 组第二题:就三角形的面积公式作进一步探讨,你现在已经学习了哪 些计算公式, 还可发现和证明一些新的计算公式吗?教材为什么要这么安排?原因就是让我 们与人类的善良一面的本性产生深刻共鸣。这种本性是隐藏在每个人心底的一种强烈的情 感。人类的好奇心是无止境的。 2、 在讲海伦公式时, 我说, 解题要注意宏观把握方向即相当于走路知道该往哪个方向, 微观操作细节即路上有没有老虎、大坑、绊脚石。什么意思?我也通过对海伦公式的推导, 同学们都理解了。推导海轮公式,思维的发展方向是很明确的即知道该向哪个方向前进,繁 就繁在推导细节,运算量很大即路上有老虎、大坑、绊脚石。 当我说治理一所学校、管理一个国家也是这样子时,你们不理解。现在我把它解释的 更详细一些。同学们管理一所学校首先是思想上的领导,其次是行政上的领导。什么意思? 就是校长有一套治校思想, 这种治校思想就是宏观把握学校发展方向, 然后把这套治校思想 转换成一套操作程序,通过行政领导交给他的手下来执行。手下就是微观操作细节。管理一 个国家也一样,国家主席要有一套治国思想,然后在这种治国思想下有一套操作程序,根据 这个操作程序总理干什么、副总理干什么、部长干什么。国家主席让手下去做事情。就是微 观操作细节是手下在做。头头是宏观把握国家发展方向。但要注意啊,提出一套治校思想与 提出一套治国思想能力不在同一个层次。一些资料同学们可以:百度百科:伯特兰?罗素、我 为何而生。通过网络,我们可以知道:爱因斯坦说:阅读罗素的作品,是我一生中最快乐的时 光。 3、应用题有四难。今天继续讲应用题,同学们对照一下是第几难? 先不严格的定义什么是应用题。 就是用数学知识、 方法、 思想、 数学思维方式解决生产、 生活问题。 所以应用题可以分成两部分:背景知识,数学问题。背景知识分社会背景知识、自然背 景知识。 应用题第一难:实践操作难,即设计一种测量方法难 应用题第二难:难在我们对背景知识知道太少。背景是有关企业、医学、物理、汽车、 建筑物、地理、经济等等。我们在做应用题前要先熟悉这些知识。所以这里有个高原现象, 就是熟悉背景知识,我们不熟悉。

应用题第三难:就是把现实生活生产问题抽象为数学模型,能够提炼出数学模型,这种 抽象、提炼能力我们不会。 应用题第四难:难在我们对有关的数学知识、方法、思想、数学思维方式不熟练。有关 的数学知识、方法、思想、数学思维方式是我们解答出应用题的基础知识。所以这里有个高 原现象我们迈不上去,就是对有关的数学知识、方法、思想、数学思维方式的熟练,但我们 不熟练。即抽象出的数学问题难。 1.2 举例应用反思 1、求三角形有正弦符号的面积公式,先设计问学生三角形底确定,高确定,三角形能 不能确定? 答:三角形不能确定,但面积确定,这顶点在与过顶点与底边平行的直线上运动,这无 穷多个三角形面积都一样,是 1/2 底乘高。 2、这推导出来的第一条三角形有正弦符号的面积公式应当让人觉得有美感,是秩序美 和谐美对称美,因为根据这美感可以写出另外两条三角形有正弦符号的面积公式。

对于复习参考题 B 组第三题的设计
B 组第三题:研究一下,是否存在一个三角形具有以下性质: ⑴、三边是连续的三个自然数 ⑵、最大角是最小角的 2 倍 教学设计:其实有时候成长是一种烦恼,你越成长,抽象思维能力越强,你抽象思维能 力越强,你越有可能会设三边是 a=n,b=n+1,c=n+2。学生也这么反应。 假如你是小学生,还可能不可能设 a=n,b=n+1,c=n+2?学生回答不可能。那小学生是 如何研究的?学生回答:先研究三边是 1、2、3;再研究三边是 2、3、4,再研究三边是 3、 4、5,再研究三边是 4、5、6,一直下去。研究具体、数字的例子多了就发现只有一种情况 4、5、6 满足。接下去就是一般证明,比较难。 学生回答,平时不这样做题的。所以平时的数学教学歪曲了数学的本来面目。我接下去 举了歌德巴赫猜想、费尔马大定理,讲了陈景润、怀尔斯。说数学本来就这样。 三边设错,应当设为 a-1,a,a+1。因为给人对称美,减少运算量。 1、例 14 证明三角形的面积公式

S?

1 2 sin B sin C a 2 sin A

给人什么感觉? 答:和谐美对称美秩序美,所以可以写出另外两条同形式的面积公式。

《§2.1 数列的概念与简单表示法》(第 1 课时)
一、为什么要学习数列? 答:因为现实生活生产实践中我们经常碰到一组按顺序排成一列的数。 二、有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、常数列、摆动数列这些概念难吗? 答:顾名思义就可以了。 三、如果用符号表示数列,你会采取什么符号?既形象又直观。 四、 进一步山穷水尽疑无路, 退一步海阔天空。 说明换个角度看问题, 问题会迎刃而解。 我们换个角度看是数列,数列是什么? 五、求数列的通项公式在我们小学生时代打过基础是什么? 答:看图找规律。 六、数列通项公式不唯一相当于人的名字可以有好几个,但指的是同一个人。

七、为什么要学习递推公式: 答:有时候数列的通项公式求不出来,于是退一步求其次求递推公式,因为进一步山穷 水尽疑无路,退一步是海阔天空。 八、 根据通项公式可以确定数列, 数列的通项公式一定可以求出来吗?书上还讲了可以 根据什么可以确定数列?为什么确定数列有多种方式? 答:不一定,相当于有时侯函数的解析式是求不出来的,确定函数也有多种形式。原因 是有时候数列的通项公式是求不出来的。

《等差数列》
一、数列不一定有规律,但有规律的数列我们要好好研究。 二、1、注:等差数列定义有文字语言和符号语言。 2、等差数列这个名字取的形象不形象? 三、换个角度从函数角度看通项公式是什么?反过来成立吗?如何证明? 答: 根据等差数列定义来证明。 要证明一个东西是不是人看这个东西是不是符合人的定 义。 补充一点, 有时候判断一个东西是不是人我们是判断这个东西有没有人的性质?比如两 只耳朵、一双眼睛等等。等差数列有什么性质我们接下去学习。 四、同学们,请任举一等差数列验证?

a1 ? a7与a2 ? a6与a4 ? a4的关系 】
你能得到什么结论? 五、举例发现:如果对于一个等差数列,选取一个子数列,下标成等差数列,那这个子 数列是什么数列?

《等差数列》反思
一、反思 1、等差数列、公差要顾名思义,等差就是差相等,公是公共的意思。 2、例 3. 在等差数列{an}中,已知 a5=10,a12=31,求首项 a1 与公差 d. 注:初中方程思想,只有几个概念是高中知识。 3、例 :在等差数列{an}中 (1) 若 a59=70,a80=112,求 a101; (2) 若 ap=q,aq=p (p≠q),求 ap+q; (3) 若 a12=23,a42=143, an=263,求 n. 分析:数列这一章会考查同学们的运算能力,这涉及到运算途径的选择,运算途径恰当 运算量就小,运算途径不恰当运算量就大。这三题不必求出 a1,而用 an,ak 相差多少个 d。 4、等差中项的另一种说法就是中间的是前后两项的平均数。 二、总结: 1、定义:对于数列{an},若 an+1- an=d 2、性质:①、an=kn+b ②、2an+1=an+ an+2 ③、an=ak+(n-k)d ④、若 m+n=p+q, 则 am+an=ap+aq ⑤、对于数列{an},下标 k1 ,k2,……,kn,…..成等差数列,则 ak1,ak 2, ,ak n, 。 ...... ......

成等差数列。 三、 三个数成等差数列, 设为 a-d ,a, a+d。 四个数成等差数列设为 a-3d, a+d, a-d, a+3d, 这是为什么?因为具有对称美,而美是简单的。

等差数列反思 2
在这一章是培养同学们的运算能力, 既然涉及到运算能力就有运算途径的选择, 途径好 运算量小,途径不好运算量大。 我们把运算方法分成两类死办法,活办法。死办法就是记住结论然后去套,活办法需要 同学们思维的灵活性。如果没有活办法同学们要退回到死办法。 《心痛》 作者:张明老师 还要休息多久? 才能达到上楼。 知否?知否? 高考在后头 君不见长江之水绿悠悠 唯有数学让我愁 都说克服高原后有优 只想一次休个够 什么时候? 什么时候? 数学不再是我的爱恨情仇 注:上到目前一些学生想放弃数学了,故写打油诗鼓励。

《等差数列及前 n 项和(1)》
一、1、你能把它推广位 1 一直加到 n 吗?跟 n 是偶数、奇数有没有关系? 答:用不着对 n 是偶数、奇数区别对待,分偶数、奇数分析是为了认识事物更加深刻。 当 n 奇数,多出来的半个是中间那个数。 2、里面隐藏着等差数列的一个什么性质? ⑴任意的第 k 项与倒数第 k 项的和都等于首项与末项的和。 ⑵你能把上述文字语言转化为符号语言吗? ⑶你能证明吗?你能推广吗?跟我们前一节课学习的数列什么性质有关? 二 、

Sn ?

n( a1 ? an ) 有其他形式吗? 2

答:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=??.。问跟 n 是偶数、奇数有关系吗? 答:答案如上 三、还可以另外个角度计算 a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+……+(a1+(n-1)d) 四、1、进一步是死路,退一步海阔天空,换个角度看问题,Sn 是什么?有什么特点? 答:关于 n 的一元二次函数,没有常数项。反过来成立吗?既把等差数列前 n 项和看 成等差数列一个性质,性质与定义等价吗? 2、例 3、已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=n2+0.5n,求这个数列的通项公式。这个数

列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差是多少? 你能得到一般结论吗? 等差数列的前 n 项和公式是关于 n 的一元二次函数给我们什么启发? 3、 a1 要区别对待, 注: 因为当前 n 项和有常数项时 a1 是不一样的。 举例让 Sn=n2+0.5n+1 五、1、问:10、8、6、4、??,前 n 项和有最大值还是最小值?为什么? -10、-8、-6、-4、??,前 n 项和有最大值还是最小值?为什么? 你能得到什么结论?这个结论需要记忆吗? 你能有其他方法求最值吗? 2、答:利用前 n 项和是一元二次函数,利用一元二次函数的知识。 注:1、教材上例子不好,数据太复杂。 2、这两个具体例子只需列出 5、6 项就知道了最值,如果要列 100 多项或数列很复杂, 则要用 Sn 公式,利用一元二次函数的知识。 六、1、例 2 已知一个等差数列{an}前 10 项的和是 310,前 20 项的和是 1220。由这 些条件能确定这个等差数列的前 n 项和的公式吗? 问:为什么题目告诉你 S10=310,S20=1220 就可以确定这个数列? 答:确定一个数列只需要两个量,比如 a1、d,所以只需要两条方程。 问求 S30 如何求? 问如果 S100,S200,求 S300,上述办法运算量大不大?有别的方法吗? 同学们看习题 2.3B 组第二题。 你能证明吗?你能把这个结论推广吗?这个结论在我们做课外题的时候经常用到,它 是等差数列的一个性质。 答:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等差数列。知识要网络化。 注:一个是死办法记住公式然后去套,运算量大,一个是活办法,运算量大大缩小。

《等比数列》
一、同学们知不知道有一种伟大的研究方法: 你们想想看两个东西可以类比是因为这两个东西是全等呢还是相似? 正因为两个东西相似, 而其中一种东西我们是清楚的了解的, 所以我们可以通过类比知 道另一种东西是什么东西。 语文中有一种修辞方法也是类比,是什么? 答:比喻,通过比喻可以把深刻难懂的道理用浅显的语言表达出来。如果同学们还想知 道类比更多的东西请百度百科:类比、类比修辞。 等比数列与什么数列类比? 答:等差数列 怎样类比? 二、类比:1、原型、 2、定义(文字定义、符号定义) 、 3、等(差、比)中项、 4、通项公式、 5、通项公式的推导方法、 6、换个角度看等(差、比)数列、 7、性质。 8、例题、练习、习题的类比 三、1、有什么办法使例 1 理解起来更容易?

答:把数列列出来。 2、例 3 与什么类比? 3、例 4 与什么类比?

完美教室的诠释和实践
如何才是完美的教室? 那就是在教室里,学生与老师共同认识自己,然后是发现自己,觉得这个自己不好, 于是突破自己,让自己成为那个自己,因为那个自己是最优的,然后就做最好的那个自己。 我举个例子: 在数学课堂上每个学生学习数学要认识自己,在我们学校学生学习数学的自己是记住 公式然后去套。 高考命题组长说如果记住公式然后去套只能考个专科或高职。 我们学校大部 分学生是考高职或专科的。 于是发现了学习数学记住公式去套的自己, 但这个自己是不好的, 于是突破自己, 让自己成为那个像数学家学习数学的自己, 过一段时间磨练于是达到了像数 学家学习数学的方式, 当学习数学像数学家学习数学达到自动化时就做那个像数学家学习数 学的最好的自己。 老师也是认识自己,知道自己数学在哪个层次,于是发现自己学习数学是哪个层次,但 这个层次教好书还远远不够, 于是就是突破自己达到数学家学习数学的层次, 经过磨练就是 成为那个数学家学习数学的那个自己, 当学习数学像数学家一样达到自动化时就做那个像数 学家学习数学的那个最好的自己。 朱老师说,其实,教育的使命在于塑造美好的人性,进而建设美好的社会。人的完整 性首先是建立在善的基础之上的。人应该是完整的,包括他(她)自己个性的完整性。让人 成为他(她)自己,一个完整的自己,这才是教育的最高境界。当然,这也是我们新教育人 追求的最高境界。 但最难的是学生和老师很难突破自己,都是在原地徘徊不前。但有点应当是正确的, 要想学生突破自己首先老师要突破自己,老师没有突破自己,学生就不会突破自己。 我们知道人只有站在较高层次才能看清较低层次的事情,所以人很难自己发现自己, 因为自己只不过在某一层次内的自我反思。 人要想发现自己最好找外人, 那外人站的层次比 自己起码高一层次。学生的自己通常是老师帮他发现的,老师要想发现自己最好找大师。比 如我是数学老师,最好找数学大师。

《等比数列》反思 1
这道题可以复习上学期学过的对数知识,同学们已经忘的差不多了,今天复习下。 例 1: 某种放射性物质不断变化为其他物质, 每经过一年剩留的这种物质是原来的 84%, 这种物质的半衰期为多长(精确到 1 年)? 反思:得到式子 0.84x=

1 2

我们知道 2x=8,x 可以求出来,那 3x=8,x 是求不出来的,求不出来就不要求,我们用 这个符号 log38 表示那个数。 0.84x=

1 1 ,x 是求不出来的,那我们就不要求,用这个符号 log 0.84 表示那个数。但最 2 2

1 1 2 ,于是数学家想 后还是要求出来,于是数学家想办法了,利用换底公式 log 0.84 ? 2 lg 0.84 lg

尽一切办法打破脑袋去想,那就是把底数是 10 的都求出来,比如 lg

1 ? lg1 ? lg 2 ,想尽一 2

切办法求出 lg2。然后制成对数表就可以查任意对数了,但科技改变世界,现在对数表已经 放弃用计算器求了。我 20 年前读高中一年级时还要求查对数表的。

等比数列反思 2
不包括等比数列前 n 项和。 这一节难在哪里?试举例说明 例 1 : 已 知 等 差 数 列 {an} 的 公 差 和 等 比 数 列 {bn} 的 公 比 都 是 q , 且 q ≠ 1 。 又 a1=b1,a4=b4,a10=b10.求(1)a1 和 q 的值 反思:两个未知数两条方程,属于初中知识。里面碰到解高次方程,但通过换元可以转 化为一元二次方程, 再利用立方差公式和立方和公式。 我们在初中许多同学没学过十字相乘, 没学过立方差公式和立方和公式,解题比喻为打战,知识属于士兵,方法属于兵器,我们是 缺少士兵,所以打败战。这些知识在初中属于难点难题,到高中变成基础题。我们解不出来 是因为初中知识不扎实。 属于高中的知识是记住结论或公式去套一下, 套出来的都是初中知 识。 再举两列也是反应上述问题。 例 2:已知 a、b、c 成等差数列,a+1、b+1、c+4 成等比数列,且 a+b+c=15,求 a、b、 c。 例 3:在公比为整数的等比数列{an}中,已知 a4a7=-512,a3a8=124,求 a10

《2.5 等比数列前 n 项和公式》反思
一、你能用其他方式计算 264 吗?答:用对数知识。设 264=x,则 64lg2=lgx,假定计算 器是对数表, 也就是在对数发明之后还没有计算器, 但对数表数学家已经打破脑袋想尽一切 办法制定出来了,查对数表,查到 lg2,计算出 64lg2≈19,于是 x=1019。 二、这称为数学的奇异美,书上还有个例子也是讲数学的奇异美,那就是:如果能将一 张厚度为 0.05mm 的报纸对折,再对折??对折 50 次,报纸的厚度是多少?你你相信这时 报纸的厚度可以再地球和月球之间建一座桥吗? 习题 2.4P54 第四题。 数学美表现:语言美、简洁美、和谐美、奇异美、对称美、创新美、统一美、类比美、 抽象美、自由美、辩证美。 三、错位相减法名字取的好不好? 四、 同学们容易弄错的是 q 的多少次, 如何正确记住 q 的多少次?请同学们换个角度分 析下。 答:分子 n 次,分母 1 次,除一下就是 n-1 次,而前 n 项和最高 n-1 次。 五、这些题的作用就是熟悉熟悉公式,也就是死办法,记住公式然后套一下,等比数列 前 n 项和为什么比等差数列前 n 项和复杂?因为乘除比加减复杂, 我们先学习加减再学习乘 除。这些题目是会考题目,犯的错是知道怎解就是算错,因为运算能力不强,所以会考会气 死你。一些同学也看不起这些题目,是眼高手低的现象。 六、反思:即不是等差数列也不是等比数列,那就化不熟悉为熟悉即化成等差数列和等 比数列的和。 七、如果一个等比数列前 5 项的和等于 10,前 10 项的和等于 50,那么它前 15 项的和 等于多少? 答:反思:P58 练习 2:1、设前 5 项和为 x 这个办法是半死半活方法,说它死也不是

很死,说它活也不是很活,毕竟是书上练习题。 2、活办法:S5、S10-S5、S15-S10 成等比数列 八、课本 61 页 A6 答:注:这是死办法就是比较烦,不是难是繁加烦。没有活办法退回到死办法。为什么 出这些题目就是培养同学们的运算能力。是繁加烦让我们觉得难。 九、思考:已知一等比数列{an},其项数为偶数,其所有奇数项的和为 S 奇=100 ,公比 q=2,求其所有偶数项的和 S 偶。 活办法。 十、 已知数列?an ? 是等比数列,Sn是其前项和,

求证:S7,S14 ? S7,S21 ? S14成等比数列。
1、 分类讨论。 没有活办法只能退回到死办法就是记住公式去套, 2、 只是形式比较复杂, 不是难是繁加烦。就是培养同学们的运算能力,是繁加烦让我们觉得难。 3、活办法:设前 7 项为整体为 x,则前 14 项为 x+q7x,前 21 项为 x+q7x+q14x

完美教育的诠释再举 4 例
一、学生发现自己 我们知道解题四境界,懂、会、通、创。学生可以通过学习知道自己在哪个境界,这就 是学生的自己。 二、老师发现自己 在著名文章《教师三大类:教侠、教奴、教痞》中老师可以发现自己,或教侠或教奴或 教痞。如果是教侠如何生存下去,如果是教奴如何突破自己,如果是教痞该改邪归正。 三、学生老师发现自己 APOS 理论(以函数概念为例) 老师百度:APOS 理论 ? Action(活动)阶段:理解函数需要活动或操作。通过操作活动,理解函数的意义 ? Process(过程)阶段:把上述操作活动综合为一个函数过程。x ?x2 x ????? , ? Obiect(对象)过程:把函数过程当作一个独立的对象来处理。函数的加减乘除、复 合运算 ? Scheme(图式)阶段:函数概念以一种综合的心理图式存于大脑,形成知识的体系 (完整) 。 APOS 理论(以代数式概念为例) ? 代数式的本质在于“不定元”和数字可以像数一样进行运算 ? A:通过运算活动理解具体的代数式 ? P:体验代数式的过程 ? O:对代数式的形式化表述 ? S:建立综合的心理图式。学生头脑中建立代数式的心理表征:具体实例,运算过程, 字母表示一类数的数学思想,代数式的定义,能运用 学生和老师知道自己在哪个层次,于是发现自己,再突破自己。 四、学生老师发现自己 百度:SOLO 分类评价法 “SOLO” ,是英文“Structure of the Observed Learning Outcome”的缩写,意为:可观 察的学习结果的结构。SOLO 分类评价理论是香港大学教育心理学教授比格斯(J.B.Biggs) 首创的一种学生学业评价方法, 是一种以等级描述为特征的质性评价方法。 这种理论不仅有

完整的体系, 而且有坚实的实践基础。 比格斯和他的同事在澳大利亚和香港做过大量的实验, 使该理论与历史、地理、数学、英语等学科的评价结合起来,收到了较好的效果。 根据 SOLO 分类评价法,比格斯把学生对某个问题的学习结果由低到高划分为五个层 次:前结构、单点结构、多点结构、关联结构和抽象拓展结构,具体含义如下: 1.前结构层次(prestructural):学生基本上无法理解问题和解决问题,只提供了一些逻辑 混乱、没有论据支撑的答案。 2.单点结构层次(unistructural):学生找到了一个解决问题的思路,但却就此收敛,单凭 一点论据就跳到答案上去。 3.多点结构层次(multistructural):学生找到了多个解决问题的思路,但却未能把这些思 路有机地整合起来。 4.关联结构层次(relational):学生找到了多个解决问题的思路,并且能够把这些思路结 合起来思考。 5.抽象拓展层次(extended abstract):学生能够对问题进行抽象的概括,从理论的高度来 分析问题,而且能够深化问题,使问题本身的意义得到拓展。 学生和老师发现自己处于哪个层次,然后突破自己。

《3.1 不等关系与不等式(一)》
一、为什么学习不等关系与不等式? 答: 在生活生产实践中有许多现象如果抽象为模型分为两类一类是相等关系一类是不等 关系。说句直观话,相等关系少,不等关系多,相等关系是相对的,不等关系是绝对的。现 实中大部分是不等关系,少部分是相等关系。类比静止是相对的,运动是绝对的 下面我们看几个模型,同学们自己抽象出不等关系。 二、问题 2:某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售,可以售出 8 万本.根据市场调查,若 单价每提高 0.1 元,销售量就可能相应减少 2000 本.若把提价后杂志的定价设为 x 元,怎样 用不等式表示销售的总收入仍不低于 20 万元? 这是道初中难题跟高中毫无关系。到高中变基础题。 三、问题 3:某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种,按照生 产的要求,600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍.怎样写出满足上述所有不等关 系的不等式呢? 列出关系是初中知识,解不等式组是高中知识。 四、 以上的不等式或不等式组有培养同学们思维的严密性, 同学们在列出不等式或不等 式组时往往会漏掉一些, 所以学习数学后做事情不会丢三落四。 同学们经常疑问学了数学有 什么用,这就是学了数学的作用。

不等关系与不等式(第 2 课时)
一、学习数学有什么用? 荷兰数学家弗赖登塔尔的,他说: “与其说是学习数学,还不如说是学习‘数学化’ ;与 其说是学习公理系统,还不如说是学习‘公理化’ ;与其说是学习形式体系,还不如说是学 习‘形式化’” 。 数学教育家米山国藏指出: “学生进入社会后,几乎没有机会应用它们在初中或高中所 学到的数学知识,因而这种作为知识的数学,通常在学生出校门后不到一两年就忘掉了,然 而不管从事什么业务工作, 那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法, 却长期地在他们 的生活和工作中发挥着重要作用。 ” 所以学习数学,数学忘记了,但数学化不会忘记,学习公理,公理忘记了,但公理化不

会忘记,学习形式体系,形式体系忘记了,但形式化不会忘记。也就是数学化、公理化、形 式化一辈子都对你产生影响。 二、中国人的思维缺陷 1、不证而论 比如不懂逻辑学上的“充足理由律” ,给出论点来往往不证而论,只有论点,没有论据。 2、以“经典、经验”作为论据 总结:中国数学是经验型的,结构松散毫无逻辑,中国人做事也不讲逻辑。 西方人思维优点 擅长逻辑, 比如平面几何的公理系统, 从几个公理出发当成原点推出定理、 性质、 推论。 或由以定理、性质、推论为依据推出定理、性质、推论,每一步都有论据,这论据要么是公 理要么是定理、 性质、 推论。最后形成严密的公理化系统, 注意是严密,或严密的逻辑系统。 逻辑学就是发达于西方 学习数学有点就是学习西方人如何思维。 参考文章: 《中国人思维的五大缺陷》作者:芦笛 三、反思: 初中我们学习不等式是 1、零碎 2、杂乱 3、感性认识 4、不系统 5、无意识的。无 意识是什么意思?我们初中解不等式性质 1 到性质 8 都已经变成了自动化操作, 自己都没有 意识到。 而高中需要什么提高就是:1、公理化 2、系统化 3、理性认识 4、有意识的。 注:公理化相当于公理是“道”或受精卵。 “道”生一,一生二,二生三,三生万物, 相当于受精卵慢慢发育成人体。 把性质 1 到性质 8 当成公理,其他是推倒出来。

知识是什么?
在我们数学中有门数学叫分形几何, 它研究的是整体与局部是自相似的。 老师们可以百 度:分形几何。 人是大自然的局部,大自然是整体。我们根据分形几何原理打个比喻,有的人是猪,有 的人是猫,有的人是狗,有的人是虎,有的人是狮子。 人的出生是带来我是谁的问题,在成长过程中又想成为谁的问题,即我从哪里来要到哪 里去。 我们知道自闭症是儿童的一种病, 但我觉得人到了一定岁数比如 30 岁他的世界就自闭得 症了。他活在自己的世界里,听不进别人的话。比如人到 30 就很难再教育。所以到一定岁 数人人得自闭症。他的世界观、人生观、价值观是固定而坚不可摧,换种说法,他的世界是 自闭得症的。儿童的自闭症是儿童活在自己的世界里。但只要一个人是幸福的,那他这个自 闭症似的的世界是自闭完备圆满的。比如举个例子,一个真正的佛教徒是很幸福的,他躲在 佛的世界里寻找真谛。佛教是自闭完备圆满的。 知识是什么? 知识就是你想成为那个自己的自闭症似的世界里的语言。 当出生比如是猫时有关猫的知识你很容易学会也容易懂, 但你有可能想成为狮子, 于是 有关狮子的知识你很容易学会很容易懂。 比如你是市侩,那市侩哲学你就一通百通,非市侩哲学一窍不通。 比如你是反社会人格障碍患者,那你对反社会人格障碍患者的生存哲学、生活哲学、生 命哲学一通百通,非反社会人格障碍患者的哲学一窍不通。 你小时候理想是想成为数学家那有关数学的知识你特别容易懂。

《不等关系与不等式》(第 2 课时)反思
证明性质 1 到性质 8 的论据除了实数 a,b 大小的比较有以下事实外,还有些事实。 1、正数的相反数是负数,负数的相反数是正数。 2、正数相加是正数,负数相加是负数。 3、正正得正,负负得正,正负得负。 4、正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。 二、这节课可以实践我的完美教室理论。每个学生(中国人)认识自己,然后是发现自 己即思维有缺陷,然后是突破自己,成为那个像西方人思维的自己,自动化后做这个最好的 自己。

《3.2 一元二次不等式及其解法》
一、请同学们自学教材,教材给人什么感觉? 答:其实不是教材编的不好,但给人感觉是乱。 二、因为文理相通: 你们在学习《红楼梦》的时候,老师会告诉你一条线索就是以贾宝玉、林黛玉的爱情为 线索,以贾宝玉与薛宝钗的爱情为线索。长篇小说是很长的,没有线索就会显的很乱。线索 就是把许多洒落在地下的珍珠,用一条线把它们串起来,形成一条美丽的珍珠项链。那好, 在《一元二次不等式及其解法》这一节中线索是什么? 答:同学们都回答是图象,就是一元二次函数的图象。书上代数书写一大堆,其实只要 画一个图什么都有了。一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式这三者归一,就是归 一到一元二次函数图象,只要一画图,什么都有了。孙维刚老师的,八方联系、浑然一体、 漫江碧透、鱼翔浅底,我们是找到了一个例子。并且我们发现八方联系的方法就是去寻找联 系的线索。这一节中联系的线索就是一元二次函数图象。 三、文理为什么会相通? 复制上轮教学情境: 你们知道不知道哲学?其实同学们已经听说过哲学,因为我讲过。但我说哲学是“科学 的科学” ,同学们知道是什么意思吗?一个班同学们回答,就是在科学中追求科学;一个班 回答就是在科学中找规律。回答的都很好。哲学的研究对象包括自然科学、社会科学,人文 科学,哲学以这些为研究对象寻找规律。科学就是去寻找规律啊。说得通俗一点就是哲学以 理科比如数学、物理、化学,文科比如语文、历史、政治为研究对象,然后找出规律。所以 文理相通就是最后都采取哲学思维方式。 我们文理不通,当我举个武侠小说主人工学武功时,同学们都说是打通任督二脉,奇经 八脉,我们是任督二脉,奇经八脉没有打通。 四、初中也学过,高中再学,那要求有什么不同? 初中对一元二次方程、函数、不等式的认识 1、零碎 2、杂乱 3、感性认识 4、不系统 5、无意识的(形成了自动化) 6、具体 7、整体分析 8、经常从代数角度思考问题 高中对一元二次方程、函数、不等式的认识的提高 1、系统化 2、理性认识 3、有意识的(反思) 4、抽象(含字母)5、局部分析 6、 从几何角度思考问题 学习一元二次方程、函数、不等式一种重要能力需要提高:数形结合(数形结合,保证 及格) 。 五、⑴、学习数学先认识自己,再发现就是初中如何学习一元二次方程、函数、不等式

的自己,而这个自己是不好的,于是突破自己,成为那个就是要达到像高中一样的学习一元 二次方程、函数、不等式的自己,自动化化做这个最好的自己。 ⑵、老师如何认识自己?我们用 APOS 理论和 SOLO 分类评价法来认识自己,发现自 己属于哪个层次,然后突破自己,成为那个最高层次的自己,自动化后做最好的自己。 大家百度:APOS 理论、SOLO 分类评价法。

《3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》
一、什么是数学观?有什么作用?高考考什么? 数学观就是对数学的看法和认识, 每个人都会有对数学的看法和认识, 有的人是无意识, 有的人是有意识。有的人数学观先进影响大,有的 人数学观落后古怪粗浅幼稚。数学观有 意识或无意识的指导我们解题。高考考的就是数学观的优劣和高低。 一种无意识的数学观:小学只一步做出数学题,初中两三步,高中四五步,如果高中还 是两三步那学不好高中数学 二、恩格斯(1820-1895)曾于19世纪70年代提出过这样的论断: “纯数学的对象是 现实世界的空间形式和数量关系。 ”即数学是研究数与形的科学。 我国著名数学家华罗庚所说: “数缺形时少直观,形少数时难入微。 ” 著名的英国数学哲学家怀特海德(1861-1947)与数学家哈代(1877-1947 提出了“数学 是关于模式的科学”的观点。美国数学家斯蒂恩在《模式的科学》一文中也指出: “数学是 关于模式的科学。数学家们寻求存在于数量、空间、科学、计算机乃至想象中的模式。 数学是关于模式的科学的例子: ⑴、一元二次不等式 ⑵、二元一次不等式(组) 三、 我们知道数学知识有两个角度的本质即代数角度本质和几何角度本质即代数角度是 什么东西,几何角度是什么东西。 ⑴、一元一次不等式(组)的几何角度本质是什么? ⑵、二元一次不等式的几何角度本质是什么? 四、应用题有四难。今天继续讲应用题,同学们对照一下是第几难? 先不严格的定义什么是应用题。 就是用数学知识、 方法、 思想、 数学思维方式解决生产、 生活问题。 所以应用题可以分成两部分:背景知识,数学问题。背景知识分社会背景知识、自然背 景知识。 应用题第一难:实践操作难,即设计一种测量方法难 应用题第二难:难在我们对背景知识知道太少。背景是有关企业、医学、物理、汽车、 建筑物、地理、经济等等。我们在做应用题前要先熟悉这些知识。所以这里有个高原现象, 就是熟悉背景知识,我们不熟悉。 应用题第三难:就是把现实生活生产问题抽象为数学模型,能够提炼出数学模型,这种 抽象、提炼能力我们不会。 应用题第四难:难在我们对有关的数学知识、方法、思想、数学思维方式不熟练。有 关的数学知识、方法、思想、数学思维方式是我们解答出应用题的基础知识。所以这里有个 高原现象我们迈不上去,就是对有关的数学知识、方法、思想、数学思维方式的熟练,但我 们不熟练。即抽象出的数学问题难。 然后分析每道应用题是第几难?

《3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》反思

一、为什么二元一次不等式同侧同号,异侧异号? 答:大自然是有规律不是乱来杂乱无章的,说的宗教点就是上帝创造世界是按规矩来 的。 二、对于(x-y)(x+2y-2)表示什么区域,选择题和解答题解法是不同的。 三、在讲解钢板这道应用题时最好第一张钢板画个图形比如正方形,第二种钢板画个 图形比如正方形上面还有个小正方形。A 规格画个三角形,B 规格画个小正方形,C 规格画 个圆。 四、在讲解简单线性规划第一个例子时,设 z=2x+y 改为 y=-2x+z 时告诉同学要换个角 度看问题。 五、在讲解截距时要说明这个词造的不好,距让人想起距离,所以一定是正数,但截 距却是可正可负。 为什么要创造这个词就是为了容易表达一些现象。 学生对直线的截距不是 很理解,初中没有接触过,所以要独立讲解截距的概念。从代数角度讲解截距就是 b,从几 何角度讲解截距就是直线与 y 轴的交点的纵坐标。 有年高考因为也出了个新名词, 同学们一 看没教过于是慌了,其实截距这个概念没什么的。 六、在讲解钢板这道线性规划问题即求钢板数最少时,课件讲了许多办法,哪种办法 最好?我觉得还是个个检验法。比如先求出 A(3.6,7.8)那,取的最小值的整点就在点 A 附 近,我们一个个去试,比如(3,7)(3,8)(3,9)(4,7)(4,8)(4,9) 、 、 、 、 、 ,多试几个就试出 来了。这道应用题是抽象出的数学问题难。课件上介绍的打网格法其实是很土的。 七、已知:1≤x+y≤3 ①,-1≤x-y≤1 ② ,求 4x+2y 的取值范围。 解法 1:先求出 x,y 的取值范围,再得出 4x+2y 的取值范围。 反思:在已知中 x,y 是相互制约不独立的,你求出后,x,y 是独立不制约,所以范围 扩大了,通俗理解就是 x 取最大(小)值时,y 并不能同时取最大(小)值。 正确解法:把 x+y、x-y 看成整体,那 x+y、x-y 是相互独立不制约的,所以解法如下: 最后我们用线性规划解法来验证下。 八、解最后道有关配置咖啡的应用题时,当我们知道了解线性规划题的套路时剩下来 的已经不是难而是繁,所以请同学们不要怕繁。

《基本不等式》反思
一、⑴、我们知道做人有人的内涵,有的人有内涵,有的人没内涵。你们觉得赵爽的弦 图有没有内涵?内涵是什么? ⑵、同学们觉得这内涵很简单,其实在赵爽年代这是属于高科技顶尖的知识。比如牛顿 的三大定律在牛顿年代是只有伟大的物理学家才能明白, 现在高中生都能轻易懂的。 爱因斯 坦的狭义相对论刚开始时世界上只有 5、 个能懂, 6 现在懂狭义相对论的全世界有几千万人, 并且高中物理选修课中就有狭义相对论, 也就是狭义相对论一些高中生也能懂, 人类是一天 比一天聪明。 二、⑴、数学知识有两个角度的本质,形的角度本质和数的角度本质即代数角度本质的 和几何角度本质。 a ? b ? 2ab 代数角度本质是完全平方数大于等于 0,几何角度本质是
2 2

风车图案。 ⑵、 a ? b ? 2 ab 中 a>0、b>0 需要死记硬背吗?答:如果同负左边是负右边是正,如 果一正一负则根号里没有意义。 ⑶、 数学知识有两个角度本质, 形的角度本质和数的角度本质即代数角度本质和几何角

度本质。

a?b ? 2 ab 代数角度本质是一是重要不等式的推论二是完全平方数大于等于 0, 2

几何角度本质是半径不小于半弦。 三、例 1: (1)用篱笆围成一个面积为 100m 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多 少时,所用篱笆最短。最短的篱笆是多少? (2) 用一段长为 36m 的篱笆围成一个矩形菜园, 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时, 菜园的面积最大,最大面积是多少? 问:为什么会有求篱笆最短?为什么会有求篱笆围成的菜园面积最大? 答:根据实际意义,假定你是农场主,篱笆最短是省钱,菜园面积最大是可以种更多的 菜。这些不用死记硬背。 四、⑴. x>0 ,当 x 取什么值, x ?

1 的值最小?最小值是多少? x

引申:x<0 呢? x ?

2 1 呢? x ? 呢 x x

1 2 y ? x ? 图像怎样?y ? x ? 图像怎样? x x 1 y ? x ? 图像怎样? x

a b ? 与 2 的大小关系,并说明理由. b a a b ? 能得到什么结论? 请说明理由. (3) 已知 ab<0 寻找 b a 2 , x ? (0,?) ⑷求 f ( x) ? sin x ? 的最值。 sin x
(2) 已知 ab>0,寻找

《不等式》反思
一、6、在面积为定值 S 的扇形中,半径是多少时扇形的周长最小? 7、在周长为定值 P 的扇形中,半径是多少时扇形面积最大? 问为什么有这样的提问?需要死记硬背吗? 答: 我们可能做过游戏那就是用周长一定的封闭线去围成一个面积最大的区 域,要怎样围面积最大。围成面积最小是很简单的。为什么要围成面积最大这还 是有现实依据的, 那就是农场主用最短篱笆围成面积最大的菜园,即省钱菜种的 最多可以赚到最多的钱。
同样问题的题目还有: ⑴用篱笆围成一个面积为 100m 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用 篱笆最短。最短的篱笆是多少? ⑵用一段长为 36m 的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形菜园的长和宽各为多少时, 菜园的面积最大,最大面积是多少? ⑶必修 5 习题 3.4A 组 2.一段长为 30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园, 墙长 18m, 问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大?最大是多少? 分析:菜园面积最大可以种更多的菜于是可以赚更多的钱,所用篱笆最短可以最省钱。 二、近来河北衡水中学被指状元加工厂,只要高考制度在这种教育模式就无法避免。老 师可以百度:河北衡水中学军事化备考 被指状元加工厂。我的学生一直停留在某个层次无

法突破自己, 根据衡水中学的模式有种办法可以突破自己, 就是高效的魔鬼似的精讲精练的 题海战术。可又有谁会去傻傻的干呢?这是赔本生意,老师又苦又累,不合算、不值得。付 出多,得到少,除非学生自己干。

教室里要怎样才能幸福?
李镇西老师在其新浪博客中建议把完美教室修改为幸福班级。 于是我想到一个问题就是 在班级里如何才能幸福? 下面的观点都是综合了许多人的名言而成的。 首先在教室里师生同时认识自己,然后发现自己,觉得这个自己是不好的,于是突破自 己,成为那个好的自己,当那个好的自己自动化后就做最好的自己,后面还有加一句朱老师 的话: “生命的意义在于寻找属于自己的世界” 就是在教室里每个学生都能找到属于自己的 , 世界,在这个世界里你做了最好的自己,于是在这个世界里你很幸福。


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