【2015届备考】2014全国名校数学试题分类解析汇编(11月第四期):E单元+不等式

E 单元 目录

不等式

E 单元 不等式 ............................................................................................................................... 1 E1 不等式的概念与性质 .............................................................................................................. 1 E2 绝对值不等式的解法 .............................................................................................................. 3 E3 一元二次不等式的解法 .......................................................................................................... 5 E4 简单的一元高次不等式的解法 .............................................................................................. 6 E5 简单的线性规划问题 .............................................................................................................. 7 E6 基本不等式 ab ?

a?b ..................................................................................................... 18 2

E7 不等式的证明方法 ................................................................................................................ 19 E8 不等式的综合应用 ................................................................................................................ 20 E9 单元综合 ................................................................................................................................ 27

E1

不等式的概念与性质

【数学文卷·2015 届湖南省长郡中学 2015 届高三月考试卷(三)word 版】14.已知不等式

1 2x
2

?x

?1? ?? ? ?2?

2 x2 ? mx ? m? 4

对任意 x ? R 恒成立,则实数 m 的取值范围是______. E1 E8

【知识点】指数不等式解法;不等式恒成立的条件.

【答案】 【解析】-3<m<5 解析:根据指数函数的单调性得: x2 ? (m ? 1) x ? m ? 4 ? 0 对任 意 x ? R 恒成立,所以 ? ? (m ? 1)2 ? 4(m ? 4) ? 0 ,解得-3<m<5. 【思路点拨】利用指数函数单调性,将已知转化为一元二次不等式恒成立问题即可.

【数学文卷·2015 届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考(201411) 】6.下列说法正确 的是( ) A.若 a ? b ,则

1 1 ? a b

x B.函数 f ( x) ? e ? 2 的零点落在区间 ( 0 , 1 ) 内

C.函数 f ( x ) ? x ?

1 的最小值为 2 x

D.若 m ? 4 ,则直线 2 x ? m y ? 1 ? 0 与直线 m x ? 8 y ? 2 ? 0 互相平行 【知识点】不等关系与不等式;函数零点的判定定理;直线的一般式方程与直线的平行关 系.E1 B9 H1 【答案】 【解析】B 解析:A 中取 a=1,b=﹣1,错误; x B 中 f(0)f(1)=﹣1(e﹣2)<0,由根的存在性定理函数 f(x)=e ﹣2 的零点落在区间 (0,1)内正确; C 中 f ( x) ? x ?

1 ,当 x>0 时,才能取到最小值 2; x
,m=4,故为充

D 中,“直线 2x+my+1=0 与直线 mx+8y+2=0 互相平行”则 m≠0 且 要条件. 故选 B

【思路点拨】A 中取特值,a 正 b 负即可判断;B 中由根的存在性定理只需判断 f(0)f(1) 的符号; C 中注意检验基本不等式求最值时是否都是正实数; D 中可先求出“直线 2x+my+1=0 与直线 mx+8y+2=0 互相平行”的充要条件。

【数学文卷· 2015 届河北省衡水中学高三上学期期中考试 (201411) 】 8、 已知奇函数 f ? x ? 在 ( ??, 0) 上单调递减,且 f ? 2? ? 0 ,则不等式 ( x ? 1) f ( x ? 1) ? 0 的解集为( A. ? ?3, ?1? B. ? ?3,1? )

(2, ??)
B1

C. ? ?3,0? E1

(3, ??)

D. ? ?1,1?

(1,3)

【知识点】函数的性质;解不等式.

【答案】 【解析】D 解析:原不等式为: (1) ?

?x ? 1 ?x ? 1 ? ?? ?1? x ? 3 ? f ? x ? 1? ? 0 ? x ? 1 ? ?2或0 ? x ? 1 ? 2 ?

(2) ?

?x ? 1 ?x ? 1 ?? ? ?1 ? x ? 1 ? f ( x ? 1) ? 0 ??2 ? x ? 1 ? 0或x ? 1 ? 2

综上得不等式 ( x ? 1) f ( x ? 1) ? 0 的解集为 ? ?1,1?

(1,3) ,故选 D.

【思路点拨】根据已知,画出函数 f(x)的描述性图形,结合图形将原不等式转化为两个不等 式组求解.

E2

绝对值不等式的解法

【数学理卷·2015届西藏拉萨中学高三上学期第二次月考(期中考试) (201411) 】20. (本

题12分)已知函数 f ? x ? ? x ? 8 ? x ? 4 (1)解不等式 (2)若
f ? x? ?

f ? x? ? 2
1 2 t ? 4t ? 2 2 恒成立,求实数 t 的取值范围。

【知识点】含绝对值不等式 恒成立问题 E2 E8 【答案】 【解析】 (1)

? ??,5? ; ? 2, 6? . (2)

解析: (1)已知函数取绝对值可得:

?4, ? x ? 4 ? ? f ? x ? ? x ? 8 ? x ? 4 ? ??2 x ? 12, ? 4 ? x ? 8? ? ??4, ? x ? 8?
其图像如下:

所以

f ? x? ? 2

的解析为

? ??,5? ;


(2)由(1)可得

?4 ? f ? x ? ? 4

要使

f ? x? ?

1 2 t ? 4t ? 2 2 恒成立,

1 2 t ? 4t ? 2 ? ?4 只需 2 即可,


t 2 ? 8t ?12 ? 0 ? ?t ? 2??t ? 6? ? 0 ? 2 ? t ? 6



所以 t 的范围为

? 2, 6? .
1 2 t ? 4t ? 2 1 2 2 恒成立,即 f ? x ?min ? t ? 4t ? 2 ,进而通过解一元二次不等 2

【思路点拨】 根据零点分段法取绝对值可得分段函数, 画出其图像即可从图像读出不等式的

解集;

f ? x? ?

式求得 t 范围.

【数学理卷·2015届西藏拉萨中学高三上学期第二次月考(期中考试) (201411) 】14.若不

等式 x ?

1 ? a ? 2 ? 1 对于一切非零实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围为 x

【知识点】含绝对值的不等式 基本不等式 E2 E6

1 1 1 1 x? ? x ? ? 2 x ?2 x x x 1 ? a ? 3 解析: 因为 x 与 x 同号, 【答案】 【解析】 所以 (当
且仅当 x ? ?1 时取“=” ) ,所以

2 ? a ? 2 ?1

,解得 1 ? a ? 3 ,故答案为 1 ? a ? 3 .

【思路点拨】由题意对于一切非零实数

x 均成立,可得

x?

1 ? a ? 2 ?1 x min 即可,利用基

x?
本不等式求得

1 ?2 x min ,即可求解.

【数学理卷·2015 届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考(201411) 】二、填空题(本大 题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.) 11.不等式

1? x ? 0 的解集为_______ 2? x

___

【知识点】绝对值不等式的解法.E2 【答案】 【解析】{x | x ? 2或x ? 1} 解析:原不等式等价于 x = 1 或 í

ì x? 1 ? ,解得 x > 2 ? 2- x <0 ?

或 x = 1 ,所以原不等式的解集为 {x | x ? 2或x ? 1} ,故答案为 {x | x ? 2或x ? 1} 。 【思路点拨】对 x = 1 , x ? 1 分类讨论即可。

E3

一元二次不等式的解法

【数学文卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期期中考试(201411) 】20、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? [ax ? (a ?1) x ? a ? (a ?1) ]e (其中 a ? R )
2 2 2 x

(1)若 x ? 0 为 f ? x ? 的极值点,求 a 的值;
2 (2)在(1)的条件下,解不等式 f ? x ? ? ( x ? 1)( x ? x ? 1)

1 2

【知识点】导数的应用;不等式的解法. B12

E3

【答案】 【解析】 (1)a=0; (2)不等式的解集为{x|x<0 或 x>1}. 解析:(1)因为 f ? x ? ? [ax ? (a ?1) x ? a ? (a ?1) ]e ,所以
2 2 x
2 x 2 2 2 x 2 2 x f ?? x? ? ? ? 2ax ? (a ? 1) ? ?e ? ? ? ax ? (a ? 1) x ? a ? (a ? 1) ? ?e ? ? ? ax ? (a ? 1) x ? a ? ?e

0 因为 x=0 为 f(x)的极值点,所以由 f ? ? 0? ? ae ? 0 得 a=0

检验,当 a=0 时, f ?( x) ? xex ,有 x<0 时, f ?( x) ? 0 ;x>0 时, f ?( x) ? 0 . 所以 x=0 为 f(x)的极值点,故 a=0.------------4 分 (2)当 a=0 时,不等式 f ( x) ? ? x ? 1? ? 整理得 ? x ? 1? ?e x ? ?

?1 2 ? ?1 ? x ? x ? 1? ? ( x ? 1)e x ? ( x ? 1) ? x 2 ? x ? 1? ?2 ? ?2 ?

? ?

?1 2 ?? x ? x ? 1? ? ? 0 ,即 ?2 ??

?x ?1 ? 0 ?x ?1 ? 0 ? ? 或? x ?1 2 -----6 分 ? x ?1 2 ? ? e ? x ? x ? 1 ? 0 e ? x ? x ? 1 ? 0 ? ? ? ? ? ? ?2 ? ?2 ? ? ?
x 2 x x 令 g ( x) ? e ? ( x ? x ? 1), h( x) ? g ?( x) ? e ? ( x ? 1), h?( x) ? e ? 1
x x 当 x>0 时, h?( x) ? e ? 1 ? 0 ;当 x<0 时 h?( x) ? e ? 1 ? 0 ,

1 2

所以 h(x)在 ? ??,0 ? 单调递减,在 ? 0, ?? ? 单调递增,所以 h( x) ? h(0) ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 所以 g(x)在 R 上单调递增,而 g(0)=0,故 e x ? ?

?1 2 ? x ? x ? 1? ? 0 ? x ? 0 ; ?2 ?

?1 ? e x ? ? x 2 ? x ? 1? ? 0 ? x ? 0 ,所以原不等式的解集为{x|x<0 或 x>1}.----12 分 ?2 ?
【思路点拨】(1) 由 x=0 为 f(x)的极值点得, f ? ? 0? ? 0 ,解得 a=0,再检验 a=0 时,x=0 是否是函数 f(x)的极值点即可; (2)当 a=0 时,不等式 f ( x) ? ? x ? 1? ? 整理得 ? x ? 1? ?e x ? ?

?1 2 ? ?1 ? x ? x ? 1? ? ( x ? 1)e x ? ( x ? 1) ? x 2 ? x ? 1? ?2 ? ?2 ?

? ?

1 ?1 2 ?? x ? x ? 1? ? ? 0 ,利用导数分析函数 g ( x) ? e x ? ( x 2 ? x ? 1) 的单 2 ?2 ??

调性,得函数 g(x)在 R 上单调递增,而 g(0)=0,故 e x ? ?

?1 2 ? x ? x ? 1? ? 0 ? x ? 0 ; ?2 ?

?1 ? e x ? ? x 2 ? x ? 1? ? 0 ? x ? 0 ,由此得原不等式的解集. ?2 ?

E4

简单的一元高次不等式的解法

E5

简单的线性规划问题

【湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学 2015 届高三 10 月四校联考数学(文) 答案】10 已知函数的定义域是[-2,+ ? )且 f(4)=f(-2)=1, f ?( x ) 为 f(x)的导函数,且 f ?( x ) 的

x?0 ? ? y?0 图像如下图所示,则不等式组 ? 所围成的平面区域的面积是( ? f (2 x ? y ) ? 1 ?



A4

B5

C8

D2

【知识点】简单的线性规划问题 E5 【答案解析】A 由导函数的图象得到 f(x)在[-2,0]递减;在[0,+∞)递增∵f(4)=f(-2) =1∴f(2x+y)≤1?-2≤2x+y≤4

x?0 x?0 ? ? ? ? y?0 y?0 ∴? ?? 表示的平面区域如下 ? f (2 x ? y ) ? 1 ??2 ? 2 x ? y ? 4 ? ?

所以平面区域的面积为

1 ×2×4=4 故选 A 2

【思路点拨】利用导函数的图象判断出函数的单调性;利用函数的单调性化简不等式 f (2a+b)≤1;画出不等式组表示的平面区域;利用三角形的面积公式求出区域的面积.

【数学(理)卷·2015 届四川省南充市高三第一次高考适应性考试(201411) word 版】6.

? y ? 2x ? 若变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? y ? ?1 ?
A. ?

5 2

B.0

C.

5 3

D.

5 2

【知识点】简单的线性规划.E5

? y ? 2x ? 【答案】 【解析】C 解析:根据 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 画出线性区域如下图: ? y ? ?1 ?

y

A x B C

则线性目标函数 z ? x ? 2 y 过 A ? ,

5 ?1 2? ? 时有最大值,最大值为 3 。 ?3 3?

【思路点拨】先根据线性约束条件画出线性区域,再求出目标函数过 A 时取得最大值即可。

【数学(文)卷·2015 届四川省南充市高三第一次高考适应性考试(201411)word 版】9. 若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 满足约束条件 ?

?2 x ? y ? 6 ? 0 且最大值为 40,则 ?x ? y ? 2 ? 0

5 1 ? 的最小值为 a b 25 9 A. B. 4 6

C.1

D.4

【知识点】简单线性规划的应用.E5 【答案】 【解析】B 解析:不等式表示的平面区域阴影部分,

当直线 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 过直线 x - y + 2 = 0 与直线 2 x - y - 6 = 0 的交点 8,10 时,目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 取得最大 40, 即 8a +10b = 40 ,即 4a + 5b = 20 , 而

(

)

5 1 骣 5 1 4a + 5b 5 骣 5b a 5 9 + =琪 = +琪 ? 1= . 琪+ 琪 + a b 桫 a b 20 4 桫 4a 5b 4 4

故选 B. 【思路点拨】先根据条件画出可行域,设 z ? ax ? by( a ? 0, b ? 0) ,再利用几何意义求最 值,将最大值转化为 y 轴上的截距,只需求出直线 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) ,过可行域内的 点(4,6)时取得最大值,从而得到一个关于 a,b 的等式,最后利用基本不等式求最小值 即可. 【典例剖析】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划,以及利用 几何意义求最值,属于基础题.

【数学理卷·2015 届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三次模拟考试(201411)(1)】

? ? ?且f (6) ? 2, f ?( x)为f ( x)的导函数,f ?( x) 的图象 12.已知函数 f ( x) 的定义域 ?- 3,
如图所示,若正数 a, b满足f (2a ? b) ? 2, 则
b?3 的取值范围是( a?2



3 A. (??,? ) ? (3, ? ?) 2 9 C. (??,? ) ? (3, ? ?) 2

9 B. (? , 3) 2 3 D. (? , 3) 2

【知识点】线性规划.E5 【答案】 【解析】A 解析:如图所示:f′(x)≥0 在[-3,+∞)上恒成立 ∴函数 f(x)在[-3,0)是减函数,(0,+∞)上是增函数, 又∵f(2a+b)<2=f(6) ∴?

?2a ? b ? 0 ?2a ? b ? 6

画出平面区域 令t ?

b?3 表示过定点(2,-3)的直线的斜率 a?2

如图所示: t ? ? ??, ?

? ?

3? ? ? ? 3, ?? ? 故选 A 2?

【思路点拨】由题意可利用数形结合的方法求出范围,再根据所求值的几何意义求出结果. 【典例剖析】线性规划问题要注意数形结合的运用,同时要注意几何意义.

【数学理卷·2015 届湖南省长郡中学 2015 届高三月考试卷(三)word 版】13.已知 x,y

?x ? 0 ? 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 x2+4y2 的最小值是_________. ?y ? 0 ?
【知识点】与线性规划相关的问题. E5

【答案】 【解析】

x2 y2 4 2 2 ? ? 1 ,这个椭圆与与可行域有 解析:设 x ? 4 y ? z ( z ? 0) ? z 5 z 4

公 共 点 , 只 需 它 与 线 段 x+y=1( 0 ? x ? 1 ) 有 公 共 点 , 把 y=-x-1 代 入 椭 圆 方 程 得

5x 2 ? 8x ? 4 ? z ? 0 ,由判别式 ? ? 64 ? 4 ? 5 ? 4 ? z ? ? 0 得 z ?

4 4 ,且 x ? ? ? 0,1? 时, 5 5

z?

4 . 5

【思路点拨】把问题转化为直线与椭圆的位置关系问题求解.

【数学理卷·2015 届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考(201411) 】12.已知点 P ? t , 2 ?

?x ? y ? 4 ? 在不等式组 ? y ? x 所表示的平面区域内运动,l 为过点 P 和坐标原点 O 的直线, 则l ?x ? 1 ?
的斜率的取值范围为 . 【知识点】简单的线性规划;斜率的计算公式.E5 H1

?x ? y ? 4 ? 【答案】 【解析】[1,2] 解析:由不等式组 ? y ? x ?x ? 1 ?

可得所表示的可行域, 由图可知:当取点 P 1, 2 时, 直线 l 的斜率的取得最大值, k = 当取点 P 1,1 时, 直线 l 的斜率的取得最小值, k = 故答案为:[1,2]. 【思路点拨】由不等式组可得所表示的可行域,即可得到:当取点 P 1, 2 时,直线 l 的斜 率取得最大值.当取点 P 1,1 时,直线 l 的斜率的取得最小值。

( )

2 = 2. 1

( )

1 =1 1

( )

( )

【数学理卷·2015 届广东省广州市执信中学高三上学期期中考试(201411) 】11.设 x , y 满

?x ? 0 ? 足约束条件 ? x ? 2 y ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值是 ?x ? y ? 1 ?
【知识点】简单线性规划.E5 【答案】 【解析】5



解析:作出不等式组表示的平面区域,如图所示

做直线 L: 2x+y=0, 然后把直线 L 向可行域平移, 结合图象可知当直线 z ? 2 x ? y 过点 A 时,

z 最大,由 í

ì ? x - y =1 可得 A(2,1),即当 x=2,y=1 时,zmax=5. ? x - 2y = 0 ?

故答案为:5 【思路点拨】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=2x+y 表示直线在 y 轴上的截距,只需求出可行域内直线在 y 轴上的截距最大值即可.

【数学文卷·2015 届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期中考试(201411) 】 6 .设变量 x,y x-y+2≥0, ? ? 满足约束条件?x-5y+10≤0, ? ?x+y-8≤0, A.3,-11

则目标函数 z=3x-4y 的最大值和最小值分别为(

)

B.-3,-11

C.11,-3 D.11,3 【知识点】简单的线性规划问题 E5 【答案解析】A 作出满足约束条件的可行域,如右图所示,

可知当直线 z=3x-4y 平移到点(5,3)时,目标函数 z=3x-4y 取得最大值 3; 当直线 z=3x-4y 平移到点(3,5)时, 目标函数 z=3x-4y 取得最小值-11,故选 A. 【思路点拨】①作出可行域②z 为目标函数纵截距负四倍③画直线 3x-4y=0,平移直线观察 最值.

【数学文卷·2015 届湖南省长郡中学 2015 届高三月考试卷(三)word 版】11.已知 x,y

? x ? y ? 5 ? 0, ? 满足约束条件 ? x ? 3, ,且 z ? 2 x ? 4 y 的最小值为-6,则常数 k=______. ? x ? y ? k ? 0, ?
【知识点】 简单的线性规划问题. E5

【答案】 【解析】0 解析:画出可行域如图,平移目标函数 z ? 2 x ? 4 y 得点 B(3,-3-k)为最

优解,所以 ?6 ? 2 ? 3 ? 4 ? ?3 ? k ? ? k ? 0 .

【思路点拨】画出可行域,平移目标函数,确定最优解,代入目标函数求得 k 值.

【数学文卷·2015 届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考(201411) 】17. (本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,1), B(2,3), C (3,2) ,点 P( x, y) 在 ?ABC 三边 围成的区域(含边界)上,且 OP ? mAB ? nAC(m, n ? R) . (1)若 m

?n?

2 ,求 |OP| ; 3

(2)用 x, y 表示 m ? n ,并求 m ? n 的最大值. 【知识点】简单线性规划.E5 【答案】 【解析】 (1) |OP|=2 2 ; (2) 解析: (1)

uu u r

1

A(1,1), B(2,3), C (3,2) ? AB ? (1, 2) , AC ? (2,1)
又m

OP ? mAB ? nAC
? OP ?
(2)

?n?

2 3

2 2 AB ? AC ? (2, 2) 3 3

?|OP|=2 2
? ( x, y) ? (m ? 2n, 2m ? n)

OP ? mAB ? nAC

即?

? x ? m ? 2n ? y ? 2m ? n

两式相减得: m ? n ? y ? x

令 y ? x ? t ,由图可知,当直线 y ? x ? t 过点 B(2,3) 时, t 取得最大值 1,故 m ? n 的最大 值为 1.
y
3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1

B C A
1 2 3 4 5

x

O
–1 –2 –3

【思路点拨】 ( 1 ) 由 点 的 坐 标 求 出 向 量 AB 和 AC 的 坐 标 , 结 合 m

uuu r

uuu r

?n?
uu u r

2 ,再由 3
uuu r

uu u r uu u r uuu r OP ? mAB ? nAC 求得

的坐标,然后由模的公式求模; (2)由 OP ? mAB ? nAC 得到

uu u r

? x ? m ? 2n ,作差后得到 m ? n ? y ? x ,令 y ? x ? t ,然后利用线性规划知识求得 m ? n ? ? y ? 2m ? n
的最大值.

【数学文卷·2015 届湖北省黄冈中学高三上学期期中考试(201411) 】5. 已知 x , y 满足

? x ?1 ? ? x ? y ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?x ? 2 y ? 9 ?

)

12 A. B. 9 C. 6 D. 3 【知识点】简单的线性规划问题 E5 【答案解析】B 作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分)

由 z=2x+y 得 y=-2x+z 平移直线 y=-2x+z 由图象可知当直线 y=-2x+z 经过点 C 时,直线 y=-2x+z 的截距最大,此时 z 最大.由 ?

? x? y ?0 ?x ? 3 ,解得 ? ,即 C(3,3),代入目 ?y ? 3 ?x ? 2 y ? 9

标函数 z=2x+y 得 z=2×3+3=9.即目标函数 z=2x+y 的最大值为 9.故选:B 【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,即可求最大值.

【数学文卷· 2015 届河北省衡水中学高三上学期期中考试 (201411) 】 16、 在直角梯形 ABCD 中, AB // DC, AD ? AB, AD ? DC ? 2 AB ,点 M 是梯形 ABCD 内或边界上的一个动 点,点 N 是 DC 边的中点,则 AM ? AN 的最大值是

【知识点】向量的坐标运算;简单的线性规划问题. E5 系,则 AN ? ?1,2? ,设 AM ? ?x , y

F2

F3

【答案】 【解析】6 解析:以 A 我原点,直线 AB 为 x 轴,直线 AD 为 y 轴,建立直角坐标

? ,则 AM ?AN

=x+2y,由图可知点 C(2,2)为 AM ? AN

取得最大值的最优解,所以 AM ? AN 的最大值是 6. 【思路点拨】建立直角坐标系,把向量的数量积用坐标表示,再用线性规划求解.

【数学文卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期期中考试(201411) 】15、动点 P (a, b) 在

?x ? y ? 2 ? 0 a ?b?3 ? 区域 ? x ? y ? 0 上运动,则 w ? 的范围是 a ?1 ?y ? 0 ?
【知识点】与线性规划有关的问题. E5

【答案】 【解析】? ??, ?1? 设k ?

?3, ??? 解析:画出可行域如图,因为 w ?
?2, ??? ,所以 w ?

a ?b?3 b?2 ? 1? , a ?1 a ?1

b?2 ,则 k ? ? ??, ?2? a ?1

a ?b?3 的范围是 ? ??, ?1? a ?1

?3, ??? .

【思路点拨】画出可行域,变形目标函数,转化为求斜率范围问题.

【数学文卷·2015 届广东省广州市执信中学高三上学期期中考试(201411) 】13.若实数 x ,

?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 x ? y 的最大值为 ?x ? 1 ?
【知识点】简单的线性规划.E5 【答案】 【解析】3 解析:画出线性约束条件满足的线性区域如下图:

A

设 z= x ? y ,由 z 表示的几何意义可知:当直线经过 A(2,1)时,有最大值,最大值为 3, 故答案为 3. 【思路点拨】先画出平面区域,再结合 z 表示的几何意义可得结果。

E6

基本不等式

ab ?

a?b 2

【数学理卷·2015 届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考(201411) 】13. 已知点 C 在 直线 AB 上运动,O 为平面上任意一点,且 OC ? xOA ? 4 yOB ( x,y ? R + ),则 x ? y 的最大 值是 .

【知识点】基本不等式.E6 【答案】 【解析】 当且仅当x=4y=

1 16

解析:由题易知 x ? 4 y ? 1 , xy ?

1 1 x ? 4y 2 1 x?4y ? ( ) ? , 4 4 2 16

1 时取等号. 2

【思路点拨】先由已知条件得 x ? 4 y ? 1 ,再利用基本不等式即可.

【数学文卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期期中考试(201411) 】4、已知锐角 A, B 满 足 2 tan A ? tan( A ? B) ,则 tan B 的最大值为( )

A. 2 2

B. 2

C.

2 2

D.

2 4
C1 C5 E6

【知识点】两角和的正切;三角函数的值域;基本不等式.

【答案】 【解析】D 解析:设 tanA=a,tanB=b,因为 A, B 是锐角,所以 a、b 都是正数,由

2 tan A ? tan( A ? B) 得: 2 tan A ?

tan A ? tan B a?b ? 2a ? ,整理得 1 ? tan A ? tan B 1 ? ab

b?

a 1 1 2 1 2 ,当且仅当 ? 2a ? a ? 时等号成立,故选 D. ? ? ? 2 1 1 ? 2a 4 a 2 2 2 ? 2a a

【思路点拨】 利用两角和的正切公式, 把已知等式转化为 tanB 关于 tanA 的函数, 再由 tanA、 tanB 都是正数及基本不等式求得结论.

E7

不等式的证明方法

【数学理卷·2015 届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三次模拟考试(201411)(1)】

24.( 满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a | . (1) 若 a=-1,解不等式 f ( x) ? 3 ; (2) 如果 ? x ? R,
【知识点】不等式.E7 【答案】 【解析】 (1) (??, ? ] [ , ??) (2) (??, ?1] [3, ??) 解析: (Ⅰ) 当 a ? ?1 时,
f ( x) ? 2 ,求

a 的取值范围.

3 2

3 2

f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1|
由 f ( x) ≥3 得 | x ? 1| ? | x ? 1| ≥3 (ⅰ)x≤-1 时,不等式化为 1-x-1-x≥3 即-2x≥3 不等式组 ?

?x ? 1 3 的解集为 [ , ??) 2 ? f ( x) ? 3
3 2 3 2
??5 分

综上得, f ( x) ? 3 的解集为 (??, ? ] [ , ??) (Ⅱ)若 a ? 1, f ( x) ? 2 | x ? 1| ,不满足题设条件

??2 x ? a ? 1, x ? a, ? 若 a ? 1, f ( x) ? ?1 ? a, a ? x ? 1 f ( x) 的最小值为 1 ? a ?2 x ? (a ? 1), x ? 1 ? ??2 x ? a ? 1, x ? 1, ? a ? 1, f ( x) ? ?a ? 1,1 ? x ? a ?2 x ? (a ? 1), x ? a ?
f ( x) 的最小值为 a ? 1

所以 ?x ? R, f ( x) ? 2 的充要条件是 | a ? 1|? 2 ,从而 a 的取值范围为 (??, ?1] [3, ??) 【思路点拨】根据不等式的意义求出解集,再分情况讨论 a 的取值.

E8

不等式的综合应用

【数学理卷·2015 届湖南省长郡中学 2015 届高三月考试卷(三)word 版】21.(本小题满 分 13 分) 设函数 f ( x) ? 1 ? e? x ,函数 g ( x) ?

x (其中 a∈R,e 是自然对数的底数) . ax ? 1

(1)当 a=0 时,求函数 h( x) ? f ?( x) ? g ( x) 的极值; (2)若 f ( x) ? g ( x) 在[0,+∞)上恒成立,求实数 a 的取值范围. 【知识点】 利用导数求函数的极值;利用导数求不等式恒成立得条件. B12 E8 【答案】 【解析】 (1)函数 h( x) 在 x ? 1 处取得极大值 h(1) ? 解析: (1) f ?( x) ? ?e
?x

1 1 ,无极小值; (2) [0, ] . 2 e

(? x)? ? e? x ,
?x ?x

函数 h( x) ? f ?( x) g ( x) ? xe , h?( x) ? (1 ? x) e , 当 x<1 时, h?( x) ? 0 ;当 x>1 时, h?( x) ? 0 ,故函数在 (??,1) 上单调递增,在 (1, ? ?) 上单

1 .函数 h( x) 无极小值.?????(5 分) e x x ?x ?x ? 0, (2)由题 1 ? e ? 在 [0, ??) 上恒成立, x ? 0,1 ? e ? [0,1),? ax ? 1 ax ? 1 1 当 x ? 0, 则 a ? R ,若 x ? 0, 则 a ? ? 恒成立,则 a ? 0 . x x ?x ?x 不等式 1 ? e ? 恒成立等价于 (ax ? 1)(1 ? e ) ? x ? 0 在 [0, ??) 上恒成立, ? (6 分) ax ? 1
调递减.∴函数 h( x) 在 x ? 1 处取得极大值 h(1) ? 令 u( x) ? (ax ? 1)(1 ? e ) ? x, 则 u?( x) ? a(1 ? e ) ? (ax ? 1)e
?x ?x ?x

?1,

又令 ? ( x) ? a(1 ? e ) ? (ax ? 1)e
?x

?x

?1, 则 ??( x) ? e? x (2a ? ax ?1), x ? 0, a ? 0 .

?x ①当 a ? 0 时,??( x) ? ?e ? 0, 则 ? ( x) 在 [0, ??) 上单调递减,∴ ? ( x)=u?( x) ? ? (0)=0,

∴ u ( x) 在 [0, ??) 上单减, ∴ u( x) ? u(0)=0, 即 f ( x) ? g ( x) 在 [0, ??) 上恒成立? (8 分)
?x ②当 a ? 0 时, ? ?( x) ? ? a e ( x ?

2a ? 1 ). a

(i)当 2a ? 1 ? 0 ,即 0 ? a ?

1 时, ? ?( x) ? 0, 则 ? ( x) 在 [0, ??) 上单调递减, 2

∴ ? ( x)=u?( x) ? ? (0)=0, ∴ u ( x) 在 [0, ??) 上单调递减,∴ u( x) ? u(0)=0,

此时 f ( x) ? g ( x) 在 [0, ??) 上恒成立;??????????????????(9 分) (ii)若 2a ? 1 ? 0 ,即 a ? 单调递增, ∴ ? ( x)=u?( x) ? ? (0)=0, ∴ u ( x) 在 (0,

1 2a ? 1 2a ? 1 )上 时,若 0 ? x ? 时, ? ?( x) ? 0, 则 ? ( x) 在 (0, 2 a a 2a ? 1 ) 上也单调递增, a

∴ u( x) ? u(0)=0, 即 f ( x) ? g ( x) ,不满足条件.??????????????(11 分) 综上, f ( x) ? g ( x) 在 [0, ??) 上恒成立时,实数 a 的取值范围是 [0, ] .????(13 分) 【思路点拨】(1)利用导数公式求得 f ?( x ) ,进而求得 h?( x) ,根据 h?( x) =0 的根两侧 h?( x) 的 符号,确定极值情况; (2)首先确定在 [0, ??) 上,不等式中各式有意义的条件:只需

1 2

ax ? 1 ? 0 在 [0, ??) 上恒成立,当 a=0 时成立,当 a ? 0 时, x ? ?

1 ? 0 ? a ? 0 ,综上知 a

需求 a ? 0 时 f ( x) ? g ( x) 在 [0 , + ∞)上恒成立 ,实 数 a 的取值 范围 . 这时, 不等式

1 ? e? x ?

x 在 [0, ??) 恒成立,等价于 (ax ? 1)(1 ? e? x ) ? x ? 0 在 [0, ??) 上恒成立. ax ? 1

利用导数求函数 u( x) ? (ax ? 1)(1 ? e? x ) ? x, 在 [0, ??) 上最大值,使此最大值小于或等于 0 的 a 范围即为所求. 【典例剖析】本题第二问,在 a∈R 条件下,求 f ( x) ? g ( x) 在[0,+∞)上恒成立.实数 a 的取值范围,可以先由不等式 f ( x) ? g ( x) 中各式在[0,+∞)有意义,缩小 a 的取值范围, 成为 a ? 0 .在 a ? 0 的条件下,恒等变形不等式 f ( x) ? g ( x) 后,再确定其在[0,+∞)上 恒成立的条件,这是本题的特殊点.

【数学理卷·2015 届湖南省长郡中学 2015 届高三月考试卷(三)word 版】10.若存在正数 x 使 2x(x-a)<1 成立,则 a 的取值范围是 A. ? ??, ??? B. ( ?2, ?? ) C.( 0, ?? ) D. ( ?1, ?? )

【知识点】 不等式有解的条件的确定. E8

?1? 【答案】 【解析】D 解析:即不等式 x ? a ? ? ? 有正数解,由图像可知 ? a ? 1 ? a ? ?1, ?2?
故选 D.

x

【思路点拨】 把条件转化为不等式 x ? a ? ?

?1? 然后利用图像确定 a 满足的条件. ? 有正数解, ?2?

x

【数学文卷·2015 届湖南省长郡中学 2015 届高三月考试卷(三)word 版】21.(本小题满 分 13 分) 已知函数 f ( x) ? (2 ? a ) ln x ? (1)当 a=0 时,求 f ( x) 的极值; (2)当 a<0 时,求 f ( x) 的单调区间; (3)若对任意当 a ? (?3, ?2) 及 x1 , x2 ?[1,3] ,恒有 (m ? ln3)a ? 2ln3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成 立,求实数 m 的取值范围. 【知识点】 导数的应用;不等式恒成立问题. B12 E8

1 ? 2ax( a ? R). x

【答案】 【解析】 (1) f ( x) 的极小值为 2 ? ln 2, 无极大值; (2)当 a ? ?2 时, f ( x) 的递减 区间为 (0, ? ) 和 ( , ??) ,递增区间为 ( ?

1 a

1 2

1 1 , ) ;当 a = ? 2 时, f ( x) 在 (0, ??) 上单调递 a 2 1 2 1 1 1 , ??) ,递增区间为 ( , ? ) ; a 2 a

减;当 ?2 ? a ? 0 时, f ( x) 的递减区间为 (0, ) 和 ( ? (3) m ? ?

13 . 3

解析: (1)依题意知 f ( x) 的定义域为 (0, ? ?) ,

1 2 1 2x ?1 , f ?( x) ? ? 2 ? , x x x x2 1 1 1 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? , 当 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 时, f ?( x) ? 0 . 2 2 2 1 又∵ f ( ) ? 2 ? ln 2, ∴ f ( x) 的极小值为 2 ? ln 2, 无极大值.??????(3 分) 2
当 a ? 0 时, f ( x) ? 2 ln x ? (2) f ?( x) ?

2?a 1 2ax 2 ? (2 ? a) x ? 1 ? 2 ? 2a ? . x x x2

1 1 1 1 ? , 令 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? ? 或 x ? , 2 a 2 a 1 1 1 1 令 f ?( x) ? 0 得 ? ? x ? ; 当 ?2 ? a ? 0 时,得 ? ? , a 2 a 2 1 1 1 1 令 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 或x ? ? ,令 f ?( x) ? 0 得 ? x ? ? ; 2 a 2 a
当 a ? ?2 时, ?

当 a = ? 2 时, f ?( x) ?

(2 x ? 1) 2 ? 0, x2
1 a 1 2 1 1 , ); a 2

综上所述,当 a ? ?2 时, f ( x) 的递减区间为 (0, ? ) 和 ( , ??) ,递增区间为 ( ? 当 a = ? 2 时, f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减; 当 ?2 ? a ? 0 时, f ( x) 的递减区间为 (0, ) 和 ( ?

1 2

1 1 1 , ??) ,递增区间为 ( , ? ) .?(8 分) a 2 a

(3)由(2)可知,当 a ? (?3, ?2) 时, f ( x) 在区间 [1,3] 上单调递减; 当 x=1 时, f ( x) 取得最大值;当 x=3 时, f ( x) 取得最小值;

1 ? ? 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (1) ? f (3) ? (1 ? 2a) ? ?(2 ? a) ln 3 ? ? 6a ? ? ? 4a ? ( a ? 2) ln 3, 3 ? ? 3

(m ? ln3)a ? 2ln3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 恒成立,
2 2 ? 4a ? (a ? 2) ln 3 ,整理得 ma ? ? 4a , 3 3 2 13 2 38 a ? 0, ?m ? ? 4 恒成立, ?3 ? a ? ?2, ?? ? ?4? ? , 3a 3 3a 9 13 ? m ? ? . ????????????????????????(13 分) 3

? (m ? ln 3)a ? 2 ln 3 ?

【思路点拨】 (1)通过判断导函数为零的点两侧,导函数值的符号,确定极值情况; (2)通过对 a 取值的讨论,确定:导函数大于零的 x 范围是增区间,导函数小于零的范围 是减区间; (3)由(2)的结论,化简恒成立的不等式为: ma ?

2 ? 4a , 3

?3 ? a ? ?2, ?m ?

2 ? 4 恒成立,由此求得实数 m 的取值范围. 3a

【典例剖析】本题第(3)小问是不等式恒成立问题,虽然是常见题型,但本题有一定难度. 需要利用第(2)小问的结论求 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 在 x1 , x2 ?[1,3] 上的最大值,从而转化为常 规的恒成立问题求解.

【数学文卷·2015 届湖南省长郡中学 2015 届高三月考试卷(三)word 版】19.(本小题满 分 13 分) 已知等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26 .

(1)求 ?an ? 的通项公式; (2)若 m ?

?1, n ? 1, 2 an ,数列 ?bn ? 满足关系式 bn ? ? n?2 2 ?bn?1 ? m, n ? 2,

求证:数列 ?bn ? 的通项公式为 bn =2n ?1; (3)设(2)中的数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn,对任意的正整数 n,

( 1 ? n) (Sn ? n ? 2)+(n ? p) 2n?1 ? 2 恒成立,求实数 p 的取值范围.
【知识点】等差数列;已知递推公式求通项;不等式恒成立问题. D2 D1 E8

【答案】 【解析】 (1) an ? 2n ? 1, n ? N *. (2)证明:见解析; (3) ? ??, ? 1? . 解析: (1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d,由已知,有 ?

?a1 ? 2d ? 7, ?a1 ? 3, 解得 ? ?2a1 ? 10d ? 26, ?d ? 2.

所以 an ? 3 ? 2(n ?1) ? 2n ? 1, 即等差数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1, n ? N *. (3 分) (2)因为 m ?

2an 22 n ?1 ? ? 2n ?1 , 所以当 n ? 2 时, bn ? bn?1 ? 2n?1 . 2n ? 2 2n ? 2

?b2 ? b1 ? 2 ? 2 ?b3 ? b2 ? 2 n?1 证:当 n ? 2 时, bn ? bn?1 =2 ,所以 ? ??????? ?b ? b ? 2n ?1 ? n n ?1
将这 n-1 个式子相加,得 bn ? b1 ? 2 ? 22 ? 23 ???? ? 2n?1, 即

bn =1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ??? ? 2n?1 =
当 n=1 时, b1 ? 1 也满足上式.

1 ? 2n ? 2n ? 1 . 1? 2

所以数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? 2n ?1 .??????????????(7 分) (3)由(2) bn ? 2n ?1 ,所以 Sn ? (2 ? 22 ? 23 ???? ? 2n ) ? n=2n?1 ? (n ? 2), 所以原不等式变为 ( 1 ? n) 2 所以 p ?
n ?1

+(n ? p)2n?1 ? 2, 即 p 2n?1 ? 2 ? 2n?1,

1 ? 1 对任意 n ? N * 恒成立,所以 p ? ?1. n 2

所以 p 的取值范围是 ? ??, ? 1? .????????????????????(13 分) 【思路点拨】(1)利用已知求得首项和公差即可; (2)累加法证明结论; (3)由(2)中结论

化简恒成立的不等式,即 p ?

1 1 ? 1 对任意 n ? N * 恒成立,而 n ? 1 ? ?1 ,所以 p ? ?1. n 2 2

【数学文卷·2015 届湖南省长郡中学 2015 届高三月考试卷(三)word 版】14.已知不等式

1 2x
2

?x

?1? ?? ? ?2?

2 x2 ? mx ? m? 4

对任意 x ? R 恒成立,则实数 m 的取值范围是______. E1 E8

【知识点】指数不等式解法;不等式恒成立的条件.

【答案】 【解析】-3<m<5 解析:根据指数函数的单调性得: x2 ? (m ? 1) x ? m ? 4 ? 0 对任 意 x ? R 恒成立,所以 ? ? (m ? 1)2 ? 4(m ? 4) ? 0 ,解得-3<m<5. 【思路点拨】利用指数函数单调性,将已知转化为一元二次不等式恒成立问题即可.

【数学文卷·2015 届湖南省长郡中学 2015 届高三月考试卷(三)word 版】9.已知函数

f ( x) ? e x ? ax ? b ,若 f ( x) ? 0 恒成立,则 ab 的最大值为
A. e B. e
2

C. e

D.

e 2

【知识点】 导数法确定不等式恒成立的条件;B12 E8
x 【答案】 【解析】D 解析:因为 f ?( x) ? e ? a ,所以 a ? 0 时 f(x)是增函数, f ( x) ? 0 不恒

成立,当 a>0 时, f ?( x) ? e ? a =0 得 x=lna,易得 f(x)在 x=lna 处有最小值,要使 f ( x) ? 0
x

恒成立,需使 f (lna) ? 0 ? a ? alna ? b ? 0 ,即 b ? a ? a ln a , 所以 ab ? a (1 ? ln a), ? a ? 0? ,
2

设 g ? a ? ? a 2 (1 ? ln a),(a ? 0) ? g?(a) ? a(1 ? 2lna) ? 0 ? a ? e ,易得函数 g (a ) 在

a ? e 处有最大值 g ( e ) ?

e e ,所以 ab 的最大值为 ,故选 D. 2 2

【思路点拨】利用导数确定函数 f ( x) ? 0 恒成立的条件为 b ? a ? a ln a (a>0),从而得:

ab ? a2 (1? ln a), ? a ? 0? ,然后再用导数求 a2 (1 ? ln a), ? a ? 0? 的最大值即可.

【数学文卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期期中考试(201411) 】21、 (本小题满分 12 分)

f ? x? ?

a ? x ? (a ? 1) ln x ? 15a, F ? x ? ? 2 x 3 ? 3(2a ? 3) x 2 ? 12(a ? 1) x ? 12a ? 2 x

(1)当 a ? ?2 时,求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (2) 设函数 g ? x ? ? ?

? ?F ? x ? x ? 1 ( e 是自然对数的底数) , 是否存在 a 使 g ? x ? 在 ? a, ?a? ? ? f ? x? x ? 1
B12 E8

上为减函数,若存在,求实数 a 的范围,若不存在,请说明理由。 【知识点】导数的应用;由函数单调性求得参数的取值范围. 【答案】 【解析】 (1)f(x)的单调增区间是(0,1) , ? 2, ??? ; (2)实数 a 的范围是 ??3, ?2? . 解析: (1)当 a=-2 时 , f ?( x) ?

2 3 x 2 ? 3x ? 2 ? 1 ? ? , x2 x x2

2 设 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 3x ? 2 ? 0 ,所以 x<1,或 x>2

所以 f(x)的单调增区间是(0,1) , ? 2, ??? .---------4 分 (2)假设存在 a 使 g(x)在[a,-a]上减函数,则 a<0. 当 ?a, ?a? ? ? ??,1? ? ?1 ? a ? 0 时: 因为 F ?( x) ? 6x2 ? 6(2a ? 3) x ? 12(a ? 1) ? 6( x ?1)( x ? 2a ? 2), 所以①当 a ? ? ②当 ?

1 2 时, F ?( x) ? 6( x ?1) ? 0, F ? x ? 在定义域上为增函数,不合题意; 2

1 ? a ? 0 时,由 F ?( x) ? 0 得,1<x<2a+2, F ( x) 在 ? ??,1? 上为增函数,则在 ? a,1? 2 1 时,由 F ?( x) ? 0 得:2a+2<x<1,若 ? a, ?a? ? [2a ? 2,1] 则 a 不存在, 2

上也是增函数,也不合题意; ③当 ?1 ? a ? ?

所以 ?a, ?a? ? ? ??,1? 时,a 不存在.-----------------------8 分 当 1? ? a, ?a ? ? a ? ?1 时:因为 g(x)在[a,-a]上为减函数,则 F(x)在[a,1]上为减函数,f(x) 在 [1 , -a] 上也为减函数,且 F(1) ? f ?1? ,则 a ? ?3 ,由 2a ? 2 ? a 得 a ? ?2 ,所以

?3 ? a ? ?2 ,综上所述,符合条件的 a 满足 ??3, ?2? .-------12 分
【思路点拨】 (1)求定义域上导函数大于零的 x 范围即可; (2)易知若存在 a 使 g(x)在[a,-a] 上减函数,则 a<0. 分两种情况讨论:1》.当 ?a, ?a? ? ? ??,1? ? ?1 ? a ? 0 时,利用导数分 析 g ? x ? 在 ? a, ?a? 上为减函数的条件,此时 a 不存在;2》.当 1? ? a, ?a ? ? a ? ?1 时,可 得 F(x)在[a,1]上为减函数,f(x)在[1,-a]上也为减函数,所以只需 F(1) ? f ?1? 且 2a ? 2 ? a

解得 ?3 ? a ? ?2 ,综上得 a 的取值范围. 【典例剖析】本题第二问是较典型的一问. 假设存在 a 使 g(x)在[a,-a]上减函数,则 a<0. 所以区间[a,-a]不可能在 x>1 上,故讨论两种情况:当 ?a, ?a? ? ? ??,1? ? ?1 ? a ? 0 ;当

1?? a, ?a ? ? a ? ?1 .
(1)当 ?a, ?a? ? ? ??,1? ? ?1 ? a ? 0 时: 因为 F ?( x) ? 6x2 ? 6(2a ? 3) x ? 12(a ? 1) ? 6( x ?1)( x ? 2a ? 2), 所以①当 a ? ? ②当 ?

1 2 时, F ?( x) ? 6( x ?1) ? 0, F ? x ? 在定义域上为增函数,不合题意; 2

1 ? a ? 0 时,由 F ?( x) ? 0 得,1<x<2a+2, F ( x) 在 ? ??,1? 上为增函数,则在 ? a,1? 2
1 时,由 F ?( x) ? 0 得:2a+2<x<1,若 ? a, ?a? ? [2a ? 2,1] 则 a 不存在, 2

上也是增函数,也不合题意; ③当 ?1 ? a ? ?

所以 ?a, ?a? ? ? ??,1? 时,a 不存在. (2)当 1? ? a, ?a ?? a ?? 1 时:因为 g(x)在[a,-a]上为减函数,所以需要 F(x)在[a,1]上为减 函数,f(x)在[1,-a]上也为减函数,且 F(1) ? f ?1? ? a ? ?3 ①.
2 因为 F ?( x) ? 6x ? 6(2a ? 3) x ? 12(a ? 1) ? 6( x ?1)( x ? 2a ? 2), 而 a<-1 ? 2a ? 2 ? 0 ? 1,

可得 F ( x) 是 (2a+2,1) 上的减函数, 所以需要 2a ? 2 ? a 得 a ? ?2 ②, 由①②得 ?3 ? a ? ?2 . 综合(1) 、 (2)可知符合条件的 a 满足 ??3, ?2? . 函数图像得性质及关系,分析 a 的取值条件. 本题要注意:要结合 x ? 1, x ? 1 两段上

E9

单元综合


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