黑龙江省海林市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的几何性质课件2新人教A版选修1_1_图文

2.2.2 双曲线的几何性质

学习目标

[目标定位] 1.了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等 几何性质. 2.能利用双曲线的几何性质解决一些简单的双曲线问题. 3.掌握直线与双曲线位置关系的相关知识.

[目标解读] 1.本节的重点是双曲线的几何性质的理解和应用,难点是 双曲线渐近线的理解. 2.通过类比椭圆的几何性质,体会数形结合思想在解题时 的运用.

情境切入
其实双曲线对我们来说并不陌生,在初中学习反比例函数 时,我们已经知道反比例函数的图象就是双曲线.如图,反比例 1 函数 y=x 的图象,它由两支构成,而且随着|x|→+∞,|y|→+∞ 时,函数图象向左、向右、向上、向下无限延伸,而且与坐标轴 永远不会相交,只能是无限地靠近 x 轴和 y 轴.则 x 轴,y 轴叫 此双曲线的渐近线, 那么双曲线还有什么几何性质呢?值得我们 去研究.

自主预习

感悟教材

学与思

标 准 方 程 x2 y2 y2 x2 a2-b2=1(a>0,b>0) a2-b2=1(a>0,b>0)

图 形

焦点 焦距 性质 范围 对称性 顶点

F1(-c,0),F2(c,0) ___________________

F __________________ 1(0,-c),F2(0,c)

|F1F2|=2c __________
≥a 或 y≤-a,x∈R x ≥a 或 x≤-a,y∈R y ___________________ ___________________

关于 x 轴、y 轴和原点对称 __________________________
(-a,0),(a,0) _________________ (0,-a),(0,a) _________________

轴长 离心率 性 质 渐近线 a、b、c 关系

2a ,虚轴长=______ 2b 实轴长=______
c e= (e>1) a _________________
x y b ± =0 或 y=± x a_______________ b a x y a ± =0 或 y=± x b a b ______________

c2=a2+b2

问题探究: 双曲线的离心率与开口大小有关系吗?怎样反映 这种关系?
c 提示:e=a= b2 1+a2,当 e 越大时,双曲线开口越大,当

e 越小接近于 1 时,双曲线开口越小.

x2 y2 2.在方程 2- 2=1 中,如果 a=b,那么双曲线的方程为 a b x2-y2=a2,它的实轴和虚轴的长都等于 2a,此时渐近线方程为

y=± x ,它们互相________ ________ 垂直 ,并且______ 平分 双曲线实轴与虚轴所 等轴双曲线 . 成的角,实轴和虚轴等长的双曲线叫做____________

特别提醒
x2 y2 不同的双曲线可能具有相同的渐近线,例如:双曲线a2-b2= y2 x2 1 与 2- 2=1 的渐近线就相同,所以具有相同渐近线的双曲线可 b a x2 y2 设为 2- 2=λ(λ≠0,λ∈R).λ>0 时,焦点在 x 轴上,λ<0 时,焦 a b 点在 y 轴上.

互动课堂

核心突破

导与练

(对应学生用书 P28)

要点一

利用双曲线方程研究其几何性质

求双曲线的简单几何性质应注意的问题: 1. 应注意双曲线与椭圆的几何性质的异同点, 不可混淆. 如 椭圆有 4 个顶点,双曲线只有两个顶点;椭圆有长轴、短轴,双 曲线有实轴、虚轴;椭圆的离心率 e∈(0,1),而双曲线的离心率 e>1 等. 2.要注意双曲线中的常量与变量,即双曲线的实轴长 2a, 虚轴长 2b, 焦距 2c, 离心率 e 以及 a2+b2=c2 的关系都与坐标系 的选取无关,是常量;而焦点坐标、顶点坐标、对称轴、渐近线 方程都随坐标系的改变而改变,是变化的量.

例 1 求双曲线 9y2-4x2=-36 的顶点坐标、焦点坐标、实 轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.并画出草图.

2 2 2 2 x y x y 【解】 将 9y2-4x2=-36 变形为 - =1,即 2- 2=1, 9 4 3 2

∴a=3,b=2,c= 13,因此顶点为 A1(-3,0),A2(3,0), 焦点坐标 F1(- 13,0),F2( 13,0), c 13 实轴长是 2a=6,虚轴长是 2b=4,离心率 e=a= 3 , b 2 渐近线方程 y=± ax=± 3x.

作草图:

反思与悟
(1)已知双曲线的方程求其几何性质时,若不是标准形式的先 化为标准方程,确定方程中 a、b 的对应值,利用 c2=a2+b2 得到 c,然后确定双曲线的焦点位置,从而写出双曲线的几何性质. (2)根据双曲线的标准方程求其渐近线方程的方法: ①画出以实轴长、 虚轴长为邻边的矩形, 写出其对角线方程, 特别要注意对角线斜率的确定; ②将双曲线标准方程等号右边的 1 改为 0,化简即可得双曲 线的渐近线方程,这也是常用的方法.

求双曲线 16x2-9y2=-144 的实半轴长、虚半轴长、焦点坐 标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.

2 2 y x 解:把方程 16x2-9y2=-144 化为标准方程 2- 2=1.由此 4 3

可知,实半轴长 a=4,虚半轴长 b=3,c= a2+b2=5;焦点坐 c 5 标为(0, -5), (0,5); 离心率 e=a=4; 顶点坐标为(0, -4), (0,4); 4 渐近线方程为 y=± 3x.

要点二 利用双曲线的几何性质求标准方程 利用双曲线的几何性质求解双曲线方程最常见的方法是利 用待定系数法,即利用焦点位置,设出双曲线标准方程,而后利 用已知条件,分别求得 a2,b2,即可得双曲线标准方程,若焦点 位置不确定, 则需要分类讨论, 分焦点在 x 轴或焦点在 y 轴进行.

例 2 求适合下列条件的双曲线的标准方程: 13 (1)一个焦点为(0,13),且离心率为 5 ; 1 (2)渐近线方程为 y=± 2x,且经过点 A(2,-3). 【思路启迪】 (1)中给出了焦点所在的坐标轴, 只需求出几 何量 a,b 的值,便可得到相应的标准方程;(2)中双曲线的焦点 位置不明确,应首先讨论焦点所在的坐标轴,再根据已知条件求 相应的标准方程.

【解】 (1)依题意可知,双曲线的焦点在 y 轴上,且 c=13, c 13 y2 x2 2 2 又a= 5 ,∴a=5,b= c -a =12,故其标准方程为52-122= 1. 1 (2)法一:∵双曲线的渐近线方程为 y=± 2x, x2 y2 若焦点在 x 轴上,设所求双曲线的标准方程为 2 - 2 = a b b 1 1(a>0,b>0),则a=2① 4 9 ∵A(2,-3)在双曲线上,∴a2-b2=1②

由①②联立,无解. y2 x2 若焦点在 y 轴上,设所求双曲线的标准方程为 a2 - b2 = a 1 1(a>0,b>0),则b=2③ 9 4 ∵A(2,-3)在双曲线上,∴a2-b2=1④ 由③④联立,解得 a2=8,b2=32. y2 x2 ∴所求双曲线的标准方程为 - =1. 8 32

1 法二: 由双曲线的渐近线方程为 y=± x, 可设双曲线方程为 2 x2 2 22 2 2-y =λ(λ≠0),∵A(2,-3)在双曲线上,∴ 2-(-3) =λ,即 2 2 λ=-8. y2 x2 ∴所求双曲线的标准方程为 8 -32=1.

反思与悟
根据双曲线的渐近线求标准方程,可以采取以下设法: n (1)若双曲线的渐近线方程为 y=± x, 则双曲线方程可表示为 m x2 y2 - =λ(λ≠0); m2 n2 x2 y2 (2)与双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)共渐近线的双曲线方程可表 x2 y2 示为a2-b2=λ(a>0,b>0,λ≠0);这样可避免分类讨论,从而减 少运算量提高解题速度.

求下列双曲线的标准方程: (1)与双曲线 x2-2y2=2 有共同渐近线,且过点 M(2,-2); 5 (2)过点 P(3,- 2),离心率为 . 2

x2 2 x2 解: 设与双曲线 -y =1 有公共渐近线的双曲线方程为 - 2 2
2 2 y2=k(k≠0),将点(2,-2)代入得 k= -(-2)2=-2, 2

y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 2 - 4 =1.

x2 y2 (2)若双曲线焦点在 x 轴上, 设其方程为 2- 2=1(a>0, b>0), a b ?9 2 ?a2-b2=1, 则有? ? c = 5, ?a 2
2

a2=1, ? ? 解得? 2 1 b =4, ? ?

y2 故双曲线方程为 x - 1 =1; 4

y2 x2 若双曲线焦点在 y 轴上,设其方程为 2- 2=1(a>0,b>0), a b ?2 9 ?a2-b2=1, 则有? ? c = 5, ?a 2

此方程组无解.

2 y 综上,所求双曲线的标准方程为 x2- 1 =1. 4

要点三 求双曲线的离心率 求双曲线的离心率的方法 由离心率的定义可知,求 e 的值,就是求 a 和 c 的值或 a 与 c 的关系,很多题目由于受到已知条件的限制不能同时解出 a 和 c c 的值,只能将条件整理成关于 a 和 c 的关系式,进而求出a.要 注意结合定义利用图形中几何量之间的关系(a,b,c,e 的关系) c 解题.常用的公式变形为 e= = a a>0,b>0. b2 1+? ? = a 1 b2 1- ? c ? ,其中

x2 y2 例 3 设双曲线 2- 2=1(b>a>0)的半焦距为 c, 直线 l 过(a,0), a b 3 (0,b)两点.已知原点到直线 l 的距离为 c,则双曲线的离心率 4 为( ) 2 3 A.2 B. 3 C. 2 D. 3

【解析】

x y 直线 l 的方程为 + =1,即 bx+ay-ab=0. a b

|b· 0+a· 0-ab| 3 3 2 于是有 = c,即 ab= c 2 2 4 4 a +b ∴16a2(c2-a2)=3c4.解这个方程得 3e4-16e2+16=0,∴e2 4 2 3 =4 或 e = 即 e=2 或 e= . 3 3
2

又 b>a>0,∴e=
【答案】 A

b2 1+a2> 2,故 e=2.

反思与悟
3 2 c 的处理方法为两边平方再利用 b2=a2 4

题目中的条件 ab=

c -c2 与 e=a及方程思想求解.

过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的弦 PQ, F1 是另一焦 π 点,若∠PF1Q= ,则双曲线的离心率 e 等于( 2 A. 2-1 B. 2 C. 2+1 D. 2+2 )

x2 y2 解析: 不妨设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0, b>0), F1 、 a b F2 分别为双曲线的左、右焦点,依题意知弦 PQ 所在直线的方程 2b2 π 为 x=c,代入双曲线方程,得|PQ|= a ,由于∠PF1Q=2,所以 1 b2 |F1F2|=2|PQ|,即 2c= a ,于是 2ac=b2=c2-a2,即 c2-2ac-a2 =0,e2-2e-1=0,解得 e= 2+1 或 e=1- 2(舍去).
答案:C

要点四 直线与双曲线的位置关系 1.直线与双曲线的位置关系 一般地,设直线 l:y=kx+m(m≠0)① x2 y2 双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0)② 把①代入②得 (b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0. b (1)当 b -a k =0,即 k=± 时,直线 l 与双曲线的渐近线平 a
2 2 2

行,直线与双曲线 C 相交于一点.

b (2)当 b -a k ≠0,即 k≠± 时, a
2 2 2

Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2). Δ>0?直线与双曲线有两个公共点,此时称直线与双曲线相 交; Δ=0?直线与双曲线有一个公共点, 此时称直线与双曲线相 切; Δ<0?直线与双曲线没有公共点, 此时称直线与双曲线相离.

2.弦长公式 斜率为 k(k≠0)的直线 l 与双曲线相交于 A(x1, y1), B(x2, y2), 则|AB|= 1+k2|x1-x2| = 1+k2 ?x1+x2?2-4x1x2 = = 1 1+k2|y1-y2| 1 1+k2 ?y1+y2?2-4y1y2

1 例 4 求经过点( ,2)且与双曲线 4x2-y2=1 仅有一个公共 2 点的直线方程. 【思路启迪】 判定直线与双曲线的位置关系,一般用判别 式法.

【解】 若直线的斜率存在,设为 k, 1 则所求直线方程为 y-2=k(x-2), 1 ? ?y-2=k?x- ?, 2 由? 2 2 ? ?4x -y =1, 将①代入②整理得 1 1 2 (4-k )x -2k(2-2k)x-(4k -2k+5)=0.③
2 2

① ②

(1) 当 直 线 与 双 曲 线 相 切 时 , 仅 有 一 个 公 共 点 , 所 以 有
? ?Δ=0, ? 2 ? 4 - k ≠0. ?

1 2 1 2 2 [-2k(2-2k)] -4(4-k )[-(4k -2k+5)]=0. 5 又∵k≠± 2,∴k=2. 5 3 故所求直线方程为 y=2x+4.

(2)当 k=2 时,方程③变为一次方程,且有唯一解,因而直 线①和双曲线仅有一个公共点,故得到 y=2x+1. (3)当 k=-2 时,同理可得直线 y=-2x+3. 1 1 若斜率不存在时,因为点(2,2)在直线 x=2上, 1 故所求直线方程为 x=2. 综上所述,符合题意的直线有四条,分别为 5 3 1 y=2x+4,y=2x+1,y=-2x+3 和 x=2.

反思与悟
Δ=0 并不是直线与双曲线仅有一个公共点的充要条件, 因此, 要考虑 k=± 2 及 k 不存在的情况.

已知双曲线 x2-y2=4,直线 l:y=k(x-1),试确定实数 k 的取值范围,使: (1)直线 l 与双曲线有两个公共点; (2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点; (3)直线 l 与双曲线没有公共点.

2 2 ? ?x -y =4, 解:由? ? ?y=k?x-1?,

消去 y,得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0,

(*) 当 1-k2=0,即 k=± 1,直线 l 与双曲线的渐近线平行,方 程化为 2x=5, 故方程(*)只有一个实数解, 即直线与双曲线相交, 有且只有 一个公共点. 当 1-k2≠0,即 k≠± 1 时, Δ=(2k2)2-4(1-k2)(-k2-4) =4(4-3k2).

2 ? ?4-3k >0, (1)? 2 ? 1 - k ≠0, ?

2 3 2 3 即- 3 <k< 3 ,且 k≠± 1 时,

方程(*)有两个不同的实数解, 即直线与双曲线有两个不同的 公共点.
2 ? ?4-3k =0, (2)? 2 ? 1 - k ≠0 , ?

2 3 即 k=± 时,方程(*)有两个相同的实数 3

解,即直线与双曲线有且只有一个公共点.
2 ? ?4-3k <0, (3)? 2 ? ?1-k ≠0,

2 3 2 3 即 k<- 3 或 k> 3 时,方程(*)无实数解,

即直线与双曲线无公共点.

2 3 2 3 综上所述,(1)当- 3 <k<-1 或-1<k<1 或 1<k< 3 时,直 线与双曲线有两个公共点. 2 3 (2)当 k=± 1 或 k=± 3 时, 直线与双曲线有且只有一个公共 点. 2 3 2 3 (3)当 k<- 3 或 k> 3 时,直线与双曲线没有公共点.

易错盘点
(对应学生用书 P30)

易错点

忽视双曲线的焦点位置

12 典例已知双曲线的渐近线方程为 y=± x,求双曲线的离心 5 率. 【错解】 c 故 e= = a 12 b 12 由 y=±5 x,知a= 5 . c2 = a2 b 2 13 1+? ? = . a 5

【错因分析】 上述解法忽视了对双曲线焦点位置的讨论, 因为双曲线的焦点位置不确定,既可能在 x 轴上,也可能在 y 轴 上,故应有两个解.

b 12 c 【正确解答】 当焦点在 x 轴上时,a= 5 ,故 e=a= = b 2 13 a 12 1+?a? = 5 ;当焦点在 y 轴上时,b= 5 , c e= = a c2 = a2 b2 1+? ? = a 5 2 13 1+? ? = . 12 12

c2 a2

误区警示
在处理此类题时,要先确定焦点位置,再进行求解.

3 已知双曲线的渐近线方程为 y=± 4x,则双曲线的离心率为 ( ) 5 A.4 5 7 B.3或6

5 5 6 5 C.4或3 D.5或4

b 3 c 解析:(1)当双曲线的焦点在 x 轴上时, = ,所以 e= = a 4 a b2 5 1+ 2= ; a 4 b 4 c (2)当双曲线的焦点在 y 轴上时,= .此时 e= = a 3 a 16 5 1+ = . 9 3 5 5 综合(1)(2)知,e=4或3,应选 C.
答案:C

b2 1+ 2 = a

要点归纳
1.已知几何性质,求双曲线的标准方程,常用待定系数法, 但要先确定焦点位置,若焦点位置不确定,可分类讨论,以防漏 x2 y2 解.另外,共渐近线的双曲线方程可设为a2-b2=λ(λ≠0),以此 避免讨论,简化运算.

2.渐近线是双曲线特有的性质.两方程联系密切,把双曲 x2 y2 线的标准方程a2-b2=1(a>0,b>0)(以此为例)右边的常数 1 换为 0, 就是渐近线方程. 反之由渐近线方程 ax± by=0 变为 a2x2-b2y2 =λ(λ≠0),再结合其他条件求得 λ 即可得双曲线方程.

3.在讨论直线和圆锥曲线的位置关系时,先联立方程组, 再消去 x(或 y), 得到关于 y(或 x)的方程. 如果是直线与圆或椭圆, 则无需讨论二次项系数是否为零(一定不为零),直接考虑 Δ 的情 况即可;如果是直线与双曲线,则需讨论二次项系数等于零和不 等于零两种情况,这是要特别注意的问题,另外注意直线斜率不 存在时的情形.

成功体验
(对应学生用书 P30)

1.(2012 年唐山统考)已知双曲线的渐近线为 y=± 3x,焦点 坐标为(-4,0),(4,0),则双曲线方程为( x2 y2 x2 y2 A. 4 -12=1 B.12- 4 =1 x2 y2 x2 y2 C. - =1 D. - =1 24 8 8 24 )

x2 y2 解析:由题意可设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0),由已 a b b b ? ? ? 2 ? ? = 3 ? = 3 a =4 ? ? a a 知条件可得? ,即? ,∴? 2 ,∴双曲线 ? ? b = 12 2 2 2 ? ? ? ?c=4 ? a + b =4 ? x2 y2 方程为 4 -12=1,选 A.

答案:A

2.双曲线 x2-y2=-3 的(

)

A.顶点坐标是(± 3,0),虚轴端点坐标是(0,± 3) B.顶点坐标是(0,± 3),虚轴端点坐标是(± 3,0) C.顶点坐标是(± 3,0),渐近线方程是 y=± x D.虚轴端点坐标是(0,± 3),渐近线方程是 x=± y

y2 x2 解析:双曲线方程为 - =1. 3 3 ∴顶点坐标是(0,± 3),虚轴端点坐标是(± 3,0)
答案:B

x2 y2 3.(2011 年湖南高考)设双曲线 2- =1(a>0)的渐近线方程 a 9 为 3x± 2y=0,则 a 的值为( )

A.4 B.3 C.2 D.1

x2 y2 x2 解析: ∵双曲线 2- =1(a>0), ∴双曲线渐近线方程为 2- a 9 a y2 =0,即 3x± ay=0.又由已知,双曲线渐近线方程为 3x± 2y=0, 9 ∴a=2.
答案:C

x2 y2 4.(2012 年天津文)已知双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)与 a b x2 y2 双曲线 C2: - =1 有相同的渐近线,且 C1 的右焦点为 F( 5, 4 16 0),则 a=________,b=________.

x2 y2 b 解析:双曲线 - =1 的渐近线方程为 y=± 2x,则 =2, 4 16 a 即 b=2a,又 c= 5,a2+b2=c2,所以 a=1,b=2.

答案:1

2

5 5.虚轴长为 12,离心率为 的双曲线标准方程为________. 4

内部文件,请勿外传

内部文件,请勿外传

x2 y2 y2 x2 解析:设双曲线标准方程为 2- 2=1 或 2- 2=1, a b a b c 5 由题意知 b=6, = ,又 c2=a2+b2, a 4 ∴c=10,a=8. x2 y2 y2 x2 ∴标准方程为64-36=1 或64-36=1.
x2 y2 y2 x2 答案: - =1 或 - =1 64 36 64 36

内部文件,请勿外传


相关文档

黑龙江省海林市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的几何性质课件1新人教A版选修1_1
黑龙江省海林市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的几何性质课件1新人教A选修1_1
黑龙江省海林市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的几何性质课件1新人教A版选修1_1 (1)
黑龙江省海林市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的几何性质课件1新人教A选修1_1 (1)
黑龙江省海林市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质课件2新人教A版选修1_120171025243
黑龙江省海林市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质课件2新人教A版选修1_1
黑龙江省海林市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的几何性质课时作业(无答案)新人教A版选修1_1
黑龙江省海林市高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 双曲线的几何性质课时作业新人教A版1-1 精
黑龙江省海林市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2抛物线的几何性质课件2新人教A版选修1_1
黑龙江省海林市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质课件2新人教A选修1_1
电脑版