《创新设计·高考一轮总复习》数学 第一篇 集合与常用逻辑用语 第2讲_图文

第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
【2014年高考浙江会这样考】 1 .考查四种命题之间的关系,明确四种命题的构成形式,

能运用所学知识判断命题或其等价命题的真假,多以填空
题或选择题的形式考查. 2 .判断指定的条件与结论之间的关系或探求其结论成立时 的条件等,一般以选择题、填空题的形式考查,有时融入 到解答题中综合考查.

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考点梳理
1.四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系

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(2)四种命题的真假判断 ①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的 真假性 . ②两个命题互为逆命题或否命题,它们的真假性没有关

系.

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2.充分条件、必要条件与充要条件

(1)“ 若 p ,则 q” 形式的命题为真时,记作 p?q ,称 p 是 q 的
充分 条件,q是p的 必要 条件. (2)如果既有p?q,又有q?p,记作p?q,则p是q的 充要条 件,q也是p的 充要 条件.

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【助学·微博】 一个等价关系

互为逆否命题的两个命题的真假性相同,对于一些难于判
断的命题可转化为其等价命题来判断. 两种方法 充分条件、必要条件的判断方法: (1)定义法:直接判断若p则q、若q则p的真假.

(2)集合法:记A={x|x∈p},B={x|x∈q}.若A?B,则p是
q的充分条件或q是p的必要条件;若A=B,则p是q的充要 条件.
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考点自测 π 1.(2012· 湖南)命题“若α=4,则tan α=1”的逆否命题是 ( π A.若α≠4,则tan α≠1 π C.若tan α≠1,则α≠ 4 π B.若α=4,则tan α≠1 π D.若tan α≠1,则α= 4 ).

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解析

按逆否命题的定义知原命题的逆否命题是:若tan

π α≠1,则α≠ .故选C. 4

答案 C

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1 2.(2012· 天津)设x∈R,则“x>2”是“2x2+x-1>0”的 ( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 ).

D.既不充分也不必要条件 1 2 解析 解不等式2x +x-1>0,得x<-1或x> 2 .可知:当
1 x> 时,2x2+x-1>0成立,但2x2+x-1>0时,不一定有 2 1 1 x> 2 .所以“x> 2 ”是“2x2+x-1>0”的充分而不必要条 件. 答案 A
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3.(课本习题改编)命题“如果b2-4ac>0,则方程ax2+bx+ c = 0(a≠0) 有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆

否命题中是真命题的个数为
A.0 C.2 解析 B.1 D.3

(

).

原命题为真,则它的逆否命题为真,逆命题为“若

方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实根,则b2-4ac

>0”,为真命题,则它的否命题也为真.
答案 D

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4.(2012·金华五校联考)已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c =3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是 ( ).

A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3
B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3 C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3 D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3 解析 同时否定原命题的条件和结论,所得命题就是它的

否命题.
答案 A

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5.下列命题中所有真命题的序号是________. ①“a>b”是“a2>b2”的充分条件;

②“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件;
③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件. 解析 ①由2>-3?/ 22>(-3)2知,该命题为假命题; ②a2>b2?|a|2>|b|2?|a|>|b|,该命题为真命题; ③a>b?a+c>b+c,又a+c>b+c?a>b;

∴“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件为真命题.
答案 ②③

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考向一 四种命题的关系及真假判断 【例1】?(2012·宁波模拟)下列有关命题的说法正确的是

(
≠0”

).

A .命题“若 xy = 0 ,则 x = 0” 的否命题为“若 xy = 0 ,则 x B.“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为真命题 C .命题“ ? x∈R ,使得 2x2 - 1<0” 的否定是“ ? x∈R ,

均有2x2-1<0”
D.命题“若cos x=cos y,则x=y”的逆否命题为真命题

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[ 审题视点 ] (1) 根据四种命题的定义判断一个原命题的逆命
题、否命题、逆否命题的表达格式. (2) 当判断一个命题的真假时,若命题简单可直接判断;否 则,利用其逆否命题进行真假判断. 解析 命题“若 xy = 0 ,则 x = 0” 的否命题为“若 xy≠0 ,则

x≠0” ,所以 A 错;命题“ ? x∈R ,使得 2x2 - 1<0” 的否定是
“ ? x∈R ,均有 2x2 - 1≥0” ,所以 C 错;命题“若 cos x = cos y,则x=y”为假命题,故其逆否命题也假,故D错;“若x+y =0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互为相反数, 则x+y=0”显然正确.所以应选B.

答案 B
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[方法锦囊] (1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种

命题真假的关键;(2)根据“原命题与逆否命题同真同假,
逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判 断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假;(3)认真 仔细读题,必要时举特例.

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【训练1】 以下关于命题的说法正确的有________(填写所有 正确命题的序号).

①“若log2a>0 ,则函数 f(x) =logax(a>0 , a≠1) 在其定义域
内是减函数”是真命题; ②命题“若 a = 0 ,则 ab = 0”的否命题是“若 a≠0 ,则 ab≠0”; ③命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为

真命题;
④命题“若 a∈M ,则 b?M”与命题“若 b∈M ,则 a?M” 等价.
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解析

对于①,若 log2a>0 = log21 ,则 a>1 ,所以函数 f(x) =

logax 在其定义域内是增函数,因此①是假命题,故①不正

确;对于②,依据一个命题的否命题的定义可知,该说法正
确;对于③,原命题的逆命题是“若x+y是偶数,则x,y都 是偶数”,是假命题,如 1 + 3 = 4 是偶数,但 3 和 1 均为奇 数,故③不正确;对于④,不难看出,命题“若 a∈M ,则 b?M”与命题“若b∈M,则a?M”是互为逆否命题,因此二

者等价,所以④正确.综上可知正确的说法有②④.
答案 ②④

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考向二 充分、必要、充要条件的概念与判断

【例2】?(2013·杭州模拟)给出下列命题:
①“数列 {an} 为等比数列”是“数列 {anan + 1} 为等比数 列”的充分不必要条件; ②“a=2”是“函数f(x)=|x-a|在区间[2,+∞)上为增函 数”的充要条件;

③“m=3”是“直线(m+3)x+my-2=0与直线mx-6y+
5=0互相垂直”的充要条件; ④设 a , b , c 分别是△ ABC 三个内角 A , B , C 所对的边, 若 a = 1 , b = √ 3 ,则 A = 30°是 B = 60°的必要不充分条 件.

其中真命题的序号是________ . 抓住2个考点

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[审题视点] 首先分清条件和结论,然后根据充要条件的定义 进行判断.

解析

对于①,当数列 {an} 为等比数列时,易知数列 {anan +

1}是等比数列,但当数列{anan+1}为等比数列时,数列{an}未

必是等比数列,如数列 1,3,2,6,4,12,8 显然不是等比数列,而 相应的数列 3,6,12,24,48,96 是等比数列,因此①正确;对于 ②,当 a≤2 时,函数 f(x) = |x - a| 在区间 [2 ,+∞ ) 上是增函

数,因此②不正确;对于③,当 m = 3 时,相应两条直线垂
直,反之,这两条直线垂直时,不一定有m=3,也可能m= 0.因此③不正确;
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b sin B 1 对于④,由题意得 = = 3,若 B=60°,则 sin A= , a sin A 2 注意到 b > a ,故 A= 30° ,反之,当 A= 30° 时,有 sin B = 3 ,由于 b>a,所以 B=60°或 B=120°,因此④正确. 2

综上所述,真命题的序号是①④.
答案 ①④

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[方法锦囊] 判断p是q的什么条件,需要从两方面分析:一

是由条件 p 能否推得条件 q ;二是由条件 q 能否推得条件 p.
对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合 思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外,还可利用原命 题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性,转化为判断它 的等价命题.

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【训练2】

(1)(2012· 镇海中学模拟)设{an}是等比数列,则 ( ).

“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ).

π (2)“x=2kπ+4(k∈Z)”是“tan x=1”成立的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

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解析

? ?a1<a1q, (1) ? 2 ? a q < a q ? 1 1 ,

当a1>0时,q>1,数列{an}是递

增数列;当a1<0时,0<q<1,数列{an}也是递增数 列.反之,显然成立.
? π? π (2)当x=2kπ+4(k∈Z)时,tan x=tan?2kπ+4?=1;反之, ? ?

π π tan x=1? x=kπ+ ,k∈Z ? / x=2kπ+ ,k∈Z. 4 4

答案 (1)C (2)A

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考向三 充要条件的应用 【例3】?(2013·宁波模拟)设 p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,

其中a<0;q:实数x满足x2-x-6≤0,或x2+2x-8>0,且
?p是? q的必要不充分条件,求a的取值范围. [审题视点] 由题意得? q ?? p,? p ? / ? q,再解不等式求 解. 解 ∵? p是? q的必要不充分条件,

∴q是p的必要不充分条件,
∴p是q的充分不必要条件.

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而p:A={x|x2-4ax+3a2<0,a<0}={x|3a<x<a,a<0}, q:B={x|x2-x-6≤0,或x2+2x-8>0}={x|x<-4或x≥
? ?3a≥-2, -2},∴A? B,即? ? ?a<0 ? ?a≤-4, 或? ? ?a<0.

2 综上可得-3≤a<0或a≤-4.
? 2 ? 故a的取值范围是(-∞,-4]∪?-3,0?. ? ?

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[方法锦囊] 对于条件或结论是否定式的命题,一般运用 等价法求解. 如 A?B 与?B??A,B?A 与?A??B,A?B 与?B??A 是等价关系.

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【训练3】 (2013·银川模拟)设条件p:2x2- 3x+1≤0,条件 q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若? p是? q的必要不充分条

件,求实数a的取值范围.

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1 条件 p 为: ≤x≤1,条件 q 为:a≤x≤a+1, 2 x|x>1,或 x<

1 ?p 对应的集合 A= 2, ?q 对应的集合 B={x|x>a+1,或 x<a}. ∵?p 是?q 的必要不充分条件, 1 1 ∴B 包含?A,∴a+1>1 且 a≤ 或 a+1≥1 且 a< . 2 2 1 ∴0≤a≤ . 2

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方法优化1 充要条件的判断方法 【命题研究】 从近两年的高考试题来看,充要条件的判定、 判断命题的真假和四种命题及真假是高考的热点.题型以

选择题为主,分值为 5分,属中低档题目.本讲知识常与
函数、不等式及立体几何中的直线与平面的位置关系等有 关知识相联系,考查函数的有关性质,不等式的解法及直 线与平面位置关系的判定和空间想象能力.

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【真题探究】? (2012·山东)设a>0且a≠1,则“函数f(x)=ax 在 R 上是减函数”是“函数 g(x) = (2 - a)x3 在 R 上是增函

数”的
A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件

(

).

D.既不充分也不必要条件

[ 教你审题 ] 先根据函数的性质确定这两个命题的充要条 件,然后根据定义法将其转化为两个简单命题进行判断.

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[ 一般解法 ] 若函数 f(x) = ax 在 R 上为减函数,则有 0 < a < 1;若函数g(x)=(2-a)x3在R上为增函数,则有2-a>0,

又a>0,且a≠1,所以0<a<1或1<a<2,所以“函数f(x)
= ax 在 R 上是减函数”是“函数 g(x) = (2 - a)x3 在 R 上是增 函数”的充分不必要条件,选A.
[优美解法] (举反例法)第 1 步 在(0,1)内任取一个实数, 不 1 妨取 a=2,前者?后者; 3 3 第 2 步 取 a=2,后者? / 前者(前提:想到 y=x 的图象 和性质).
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经典考题训练 【试一试1】 若a,b为实数,则“ab<1”是“0<a< ( ). B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 1 b ”的

A.充分不必要条件 C.充要条件

答案 B

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【试一试2】 (2012· 福建)已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则 a⊥b的充要条件是 1 A.x=-2 C.x=5 B.x=-1 D.x=0 ( ).

解析 a⊥b?2(x-1)+2×1=0?x=0. 答案 D

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【试一试 3】 (2012· 浙江八校调研 ) 对于定义在 R 上的函数 f(x),给出三个命题:

①若 f( - 2) = f(2) ,则 f(x) 为偶函数;②若 f( - 2)≠f(2) ,则
f(x) 不是偶函数;③若 f( - 2) = f(2) ,则 f(x) 一定不是奇函 数.其中正确命题的序号为________. 解析 ①设 f(x) = x(x2 - 4) ,则 f( - 2) = f(2) ,但 f(x) 是奇函 数;②正确;③设 f(x) = 0(x∈R) ,则f( - 2) = f(2) = 0 ,f(x)

是奇函数.所以②正确.
答案 ②

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π 【试一试4】 (2013· 莱芜市检测)在锐角△ABC中,“A= ” 3 3 是“sin A= 2 ”成立的________条件.

π 3 解析 因为△ABC是锐角三角形,所以A=3?sin A= 2 .
答案 充要

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【试一试5】 (2012· 杭州二模)下列四个命题:①“?x∈R, x2-x+1≤0”的否定;②“若x2+x-6≥0,则x>2”的 1 否命题;③在△ABC中,“A>30° ”是“sin A>2”的充分 不必要条件;④“函数f(x)=tan(x+φ)为奇函数”的充要 条件是“φ=kπ(k∈Z)”. 其中真命题的序号是________.

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解析 “?x∈R,x2-x+1≤0”的否定为“?x∈R,x2 -x+1>0”,①是真命题;“若x2+x-6≥0,则x>2”的 否命题是“若x2+x-6<0,则x≤2”,②是真命题;在△ 1 ABC中,“A>30° ”是“sin A>2”的必要不充分条件,③ 是假命题.函数f(x)=tan(x+φ)为奇函数的充要条件是 kπ “φ= 2 (k∈Z).”④是假命题,所以真命题是①②.
答案 ①②

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